2. Примеры
Исследовать на экстремум следующие функции:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
3. Ответы
1.
при
2. Экстремумов
нет.
3.
при
4.
при
5.
в точках
,
;
в точках
,
6.
при
7.
при
8.
при
9. Экстремумов
нет.
10.
при
11.
при
12.
при
13.
при
14.
при
в точках окружности
§ 8. Условный экстремум
1. Основные понятия
Пусть функция
где
определена в области
и на некотором подмножестве
заданы
уравнений связи:
(1)
О п р е д е л е н
и е 1. Точка
называется точкой
условного
экстремума
функции
при выполнении уравнений связи (1), если
является точкой обычного экстремума
сужения функции
на множество
З а м е ч а н и е
1. Часто
удается найти условный экстремум с
помощью прямого
метода:
разрешая
уравнения связи (1), например, относительно
сводят исходную функцию
к функции меньшего числа, но только
независимых переменных,
для которой далее решают задачу поиска
обычного экстремума.
Однако далеко не всегда даже в простейших случаях удается с помощью элементарных функций решить уравнения связи. Далее мы опишем метод неопределенных множителей Лагранжа, позволяющий находить условные экстремумы, не решая предварительно уравнения связи (1).
О п р е д е л е н и е 2. Функция
,
(2)
где
,
называется функцией
Лагранжа,
а коэффициенты
множителями
Лагранжа.
Т е о р е м а 1
(необходимые
условия условного экстремума).
Пусть
точка условного экстремума функции
в области
относительно уравнений связи (1). Пусть
функции
,
где
,
непрерывно дифференцируемы в окрестности
точки
.
Тогда существуют такие числа
не все одновременно равные нулю, что
точка
является критической для соответствующей
функции Лагранжа:
(3)
З а м е ч а н и е
2. Критические
точки
функции Лагранжа (3) удовлетворяют
системе:
.
З а м е ч а н и е
3. Координаты
точек
,
«подозрительных» на условный экстремум,
и соответствующие множители
функции (3) будут решениями системы
(4)
где
функция
вида (2). Последние т
уравнений системы (4) совпадают с
уравнениями связи (1).
З а м е ч а н и е
4. Задача
поиска точки условного экстремума
сводится к определению из системы (4)
чисел
,
и, тем самым, поиску соответствующей
функции
вида (3), которая является сужением
функции
на множество
и для которой точка
будет точкой обычного экстремума.
2. Метод лагранжа
Составить по функциям связи
функцию Лагранжа (2), считая
неопределенными коэффициентами;
Найти критические точки
функции (2), решая систему (4);
Исследовать соответствующую точку
на обычный экстремум для той функции
вида (2), где
и сделать аналогичный вывод относительно
точки
как точки условного экстремума функции
.
Во многих случаях
эту проверку проще выполнить, исследуя
знак второго дифференциала функции
при
и наличии условий связи. Если знак
в точке
определенный, то точка
является точкой условного экстремума:
если
,
то точка
– точка условного
минимума;
если
,
то точка
– точка условного
максимума.
В случае функции
двух переменных и при наличии одного
условия связи
для решения вопроса о характере условного
экстремума полезно знание следующего
достаточного
условия.
Т е о р е м а 2
(достаточное
условие условного экстремума функции
двух переменных).
Пусть точка
и число
найдены из системы
,
,
,
где – функция Лагранжа. Пусть
.
Если
,
то функция
имеет в точке
условный
максимум.
Если
,
то функция
имеет в точке
условный
минимум.
П р и м е р 1.
Найти экстремум функции
при условии, что
Р е ш е н и е.
Функция
определена на всей плоскости
Однако по условию задачи нас интересует
ее экстремум не на всей области определения
а лишь на ее подмножестве
С п о с о б I.
Из
уравнения связи
выразим переменную
.
Поэтому при отыскании экстремума рассматриваемая функция имеет вид:
.
(5)
Она
является функцией только одной переменной
Функция (5)
сужение функции
на множестве
Исследуя (5) на экстремум, находим ее
точку максимума
где
Следовательно, из уравнения связи можно найти соответствующее значение :
Поэтому точка
будет точкой максимума исходной функции
в случае, когда переменные
и
связаны дополнительным условием
.
При этом
С п о с о б II. 1) Составим функцию Лагранжа:
(6)
2) Найдем критические
точки функции
,
решая систему:
Следовательно,
критическая точка функции Лагранжа
(6).
Исследуем точку
на условный экстремум.
3) Подставим в
функцию Лагранжа (6) число
и исследуем полученную функцию
(7)
на экстремум в
точке
,
воспользовавшись теоремой 1.
а) Найдем вторые
частные производные функции
:
б) Учитывая, что
,
составим и вычислим определитель:
Следовательно, по теореме 2 – точка условного максимума.
С п о с о б III.
Исследуем
полученную функцию (7) на экстремум в
точке
,
воспользовавшись анализом знака второго
дифференциала
при наличии уравнения связи.
а) Найдем вторые частные производные функции (7):
б) Вычислим второй дифференциал:
.
в) Из уравнения
связи
находим:
.
Следовательно, второй дифференциал с
учетом уравнения связи имеет вид:
.
Таким образом, в
рассматриваемой точке
выполняется неравенство:
.
Следовательно,
точка
точка условного максимума функции (7),
причем
Поэтому
точка условного максимума функции
,
причем
О т в е т:
точка
условного максимума,
П р и м е р 2.
Найти экстремум функции
при условии
Р е ш е н и е. 1) Составим функцию Лагранжа:
(8)
Найдем критические точки функции
Отсюда находим:
.
Значит, получаем для функции
две критические точки:
и
3)
Исследуем точку
на обычный экстремум для функции (8),
где
Так как
то в точке
при
имеем:
Следовательно,
точка минимума функции
а значит, точка условного минимума
задачи. При этом
4) Исследуем точку
на экстремум для функции (8), где
В этом случае имеем:
.
Поэтому
точка
максимума функции
а значит,
точка условного максимума задачи. При
этом
О т в е т:
точка условного минимума,
точка условного
максимума,
П р и м е р 3. Найти экстремум функции
при условиях:
и
Р е ш е н и е. В данном случае из уравнений связи легко выразить:
(9)
Поэтому функция принимает вид:
где
.
(10)
Она является
функцией одной переменной
Исследуем функцию
из формулы (10) на экстремум.
1)
.
2)
Следовательно,
учитывая условие
находим критическую точку функции (10):
3)
Следовательно,
при переходе через точку
функция
меняет знак с «+» на «».
Поэтому
точка максимума функции (10). Значит,
соответствующая точка
,
где в силу формул (9)
будет точкой условного максимума задачи.
При этом
О т в е т:
точка условного максимума,
П р и м е р 4. Найти экстремум функции
при условии, что
Р е ш е н и е. 1) Составим функцию Лагранжа:
Найдем критические точки функции
,
решая систему:
Следовательно,
у функции Лагранжа две критические
точки:
и
Поэтому точки условного экстремума
(если они существуют) могут быть среди
точек:
и
3) Исследуем точку
на экстремум для соответствующей функции
Лагранжа при
.
Так как в данном случае
,
(11)
то
и матрица
имеет вид:
.
Для
нее
Следовательно,
точка минимума функции (11), а значит,
4) Исследуем точку
на экстремум для соответствующей
функции Лагранжа при
.
В данном случае
(12)
Поэтому
откуда
.
Вычисляем:
Следовательно,
точка максимума функции (12), а значит,
точка условного максимума функции
при этом
О т в е т:
точка условного минимума,
точка условного
максимума;
