4. Замена переменных в двойном интеграле

Т е о р е м а 4. Пусть функция интегрируема в области , и функции , определены в области и взаимно однозначно отображают на ; непрерывно дифференцируемы в области , причем якобиан

либо неотрицателен, либо неположителен в . Тогда имеет место формула замены переменных в двойном интеграле:

.

П р и м е р 8. Вычислить интеграл

, (6)

если – область на плоскости , ограниченная прямыми:

.

Р е ш е н и е. Область интегрирования изображена на рис. 16.

у

5

7/3

D

1

O 3 7 15 x Рис. 16

Для непосредственного вычисления интеграла (6) область придется разбить на три части, привести интеграл (6) к сумме трех повторных интегралов, что является достаточно громоздким.

Поступим другим образом. Выполним замену:

. (7)

Тогда прямые и перейдут, соответственно, в прямые и на плоскости ; прямые и перейдут, соответственно, в прямые и на плоскости (рис.17).

v

5

G

7/3

3 O 1 u Рис. 17

Заметим, что функции (7) отображают взаимно однозначно. Область – прямоугольник на плоскости , то есть правильная область, как вдоль оси , так и вдоль оси .

Вычислим якобиан преобразования (7):

.

Отсюда находим: и .

Тогда получаем:

О т в е т: -8.

5. Двойной интеграл в полярной системе координат

О п р е д е л е н и е 4. Область , заданная на плоскости в полярной системе координат, называется правильной, если любой луч, соединяющий полюс и внутреннюю точку области , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис.18).

D

O  Рис. 18.

З а м е ч а н и е 7. Если полюс лежит вне области (рис. 19), то правильную в полярной системе координат область можно описать как область, ограниченную лучами где , и кривыми

, где .

φ

r₂φ

D

φ

 r₁φ



О  Рис. 19

Если полюс лежит внутри области (рис. 20), то область описывается неравенствами: , .

r₂φ

D

φ

О  Рис. 20

З а м е ч а н и е 8. На плоскости можно ввести прямоугольную систему координат и полярную систему координат, у которой полюс совпадет с , полярная ось – с осью . Тогда одна и та же область на плоскости может быть рассмотрена в разных системах координат и, например, не являться правильной в одной системе, но быть правильной в другой.

Переход от прямоугольных координат к полярным является частным случаем замены переменных в двойном интеграле. При этом

и ,

, где .

Т е о р е м а 5. Пусть выполнены условия:

1. непрерывна в замкнутой области ;

2. область является правильной в полярной системе координат:

;

3. функции ― непрерывны при .

Тогда справедливо равенство:

.

З а м е ч а н и е 9. Справедливо равенство:

, где – площадь области .

П р и м е р 9. Вычислить , если – область, заданная неравенствами: .

Р е ш е н и е. Область интегрирования изображена на рис. 21.

у

О 1 2 х

Рис. 21

Область не удовлетворяет условиям теорем 2 и 3 в прямоугольной системе координат , но является правильной в полярной системе координат.

При введении полярных координат уравнения границ области примут вид:

;

.

Поэтому в полярных координатах область описывается неравенствами:

.

Следовательно, получаем:

О т в е т: .

П р и м е р 10. Вычислить , если – четверть круга расположенная в первой четверти.

Р е ш е н и е. Область интегрирования изображена на рис. 22.

у

О х Рис. 22

Область является правильной в полярной системе координат. При этом область ограничена линиями: , .

Следовательно, получаем:

.

О т в е т: .