3. Частные и полное приращения функции

Для примера рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой окрестности точки .

Пусть настолько малы, что

, .

О п р е д е л е н и е 8. Частным приращением по х функции в точке называется выражение:

О п р е д е л е н и е 9. Частным приращением по у функции в точке называется выражение:

О п р е д е л е н и е 10. Полным приращением функции в точке называется выражение:

4. Частные производные функции

О п р е д е л е н и е 11. Частной производной по х функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют обозначения: или

Следовательно, имеем:

О п р е д е л е н и е 12. Частной производной по у функции в точке называется конечный предел отношения частного приращения к приращению при стремлении к нулю, если этот предел существует.

Используют обозначения: или

Следовательно, имеем:

З а м е ч а н и е 2. Из определения частных производных вытекает метод их вычисления: чтобы найти нужно продифференцировать выражение по по считая величину (величину постоянной.

З а м е ч а н и е 3. Понятия частных приращений, полного приращения, частных производных для функции любого числа переменных вводятся аналогично.

З а м е ч а н и е 4. Процедура вычисления частных производных функции нескольких переменных сводится к вычислению обыкновенной производной этой функции по одной из переменных при условии, что остальные переменные выступают в роли параметров.

Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, действующими для функции одной переменной. Однако требуется каждый раз помнить, по какой переменной вычисляется производная, а какие переменные при этом мысленно фиксируются.

П р и м е р 6. Для функции найти частные приращения и полное приращение в точке

Р е ш е н и е. Воспользовавшись определением, вычисляем в точке приращения функции :

Поэтому в точке находим:

О т в е т:

П р и м е р 7. Найти частные производные функции

(2)

и вычислить их значения в точке .

Р е ш е н и е. Считая в формуле (2) переменную постоянной, находим:

При нахождении считаем в формуле (2) переменную постоянной. Тогда находим:

Значения частных производных в точке вычислим, подставив в найденные выше формулы и

_{О т в е т:}

5. Дифференцируемость функции

О п р е д е л е н и е 13. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке ее полное приращение представимо в виде:

(3)

где при и не зависят от

Т е о р е м а 1 (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Т е о р е м а 2 (о связи дифференцируемости с существованием частных производных). Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке она имеет частные производные по и которые равны, соответственно, А и В :

Т е о р е м а 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные по и то функция дифференцируема в точке и в формуле (3) имеем:

З а м е ч а н и е 5. В случае функции большего (чем два) числа переменных понятие дифференцируемой функции вводится аналогично. При этом естественным образом обобщаются свойства, отмеченные в теоремах 13.

О п р е д е л е н и е 14. Функция называется дифференцируемой в области , если она дифференцируема в любой его точке.