Найти критические точки функции
вычислить частные производные первого порядка функции
приравнять их все нулю,
решить систему
оставить из найденных решений
=
те, которые лежат в области
Исследовать точку на экстремум:
найти частные производные второго порядка функции
в точке
,
составить матрицу
,
вычислить ее главные диагональные миноры
Если
то
точка
минимума.
Если
то
точка
максимума.
Если числа
в последовательности
не равны нулю, но нарушено описанное
выше согласование их знаков, то в точке
экстремума нет (седловая точка).
П р и м е р 1.
Для функции
,
рассматриваемой на плоскости
точка
является точкой экстремума (точкой
минимума),
так как
П р и м е р 2.
Функция
рассматриваемая в области
имеет в точке
максимум.
Действительно, рассмотрим следующую окрестность точки :
Тогда
для любой точки
и
имеем:
Но
Следовательно,
для любой
,
П р и м е р 3. Исследовать на экстремум функцию
Р е ш е н и е. 1)
Найдем критические точки функции
Следовательно,
функция
имеет две критические точки:
и
2) Исследуем точку на экстремум. Так как
и
то
в точке
имеем:
Следовательно, в точке
экстремума нет.
3) Исследуем точку
на экстремум. В этой точке
Значит,
точка
минимума. Вычисляем:
О т в е т:
точка минимума и
П р и м е р 4. Исследовать на экстремум функцию
(7)
Р е ш е н и е. 1)
Найдем критические точки функции
определенной на плоскости
Отсюда получаем:
Значит, функция (7) имеет три критические точки:
,
,
.
2) Исследуем точку на экстремум. Так как
,
(8)
то в точке имеем:
,
Значит, теорема 3 не применима.
Исследуем в точке приращение функции (7):
Если
то
Если
то
Следовательно,
при
имеем:
Это означает, что приращение
в точке
принимает значения разных знаков, а
Поэтому в точке
экстремума нет.
3) Исследуем точку на экстремум. Тогда из формулы (8) получаем:
.
Следовательно,
точка
минимума. Вычисляем:
4) Исследуем точку
на экстремум. Тогда из формулы (8) получаем:
.
Следовательно,
точка
минимума,
О т в е т:
точки минимума и
П р и м е р 5. Исследовать на экстремум функцию
Указать седловые точки функции.
Р е ш е н и е. 1) Найдем критические точки функции.
Функция
дважды непрерывно дифференцируема во
всех точках
и ее первые частные производные
вычисляются по формулам:
Составим и решим систему:
Отсюда находим критические точки функции и:
2) Составим матрицу
Так как
то
Исследуем на экстремум точку
Имеем:
Поэтому
точка максимума, причем
Исследуем на экстремум точку
Имеем:
,
Следовательно, точка седловая точка.
5)
Исследуем на экстремум точку
Имеем:
Следовательно,
точка
седловая точка.
Аналогично
проверяется, что
и
не являются точками экстремума.
О т в е т:
точка максимума и
седловые точки.