8. Примеры

Вычислить повторный интеграл:

1. 2.

Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями:

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в одном и

другом порядке, если область ограничена линиями:

_9. . 10.

11. . 12. .

Изменить порядок интегрирования в интегралах:

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл, если область

определена неравенствами:

21. 22.

23. 24.

25. 26.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь области,

ограниченной линиями:

27. 28. . 29. .

С помощью двойного интеграла вычислить объем тела,

ограниченного поверхностями:

30. . 31. .

32. . 33. .

С помощью двойного интеграла вычислить площадь поверхности:

34. Части сферы заключенной внутри цилиндра .

35. Части плоскости , отсеченной плоскостями , , .

36. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями: .

37. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями .

9. Ответы

1. . 2. 3. . 4. 5. 6. . 7. 8.

9. 10.

11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. . 26. 27.

28. 29. 30. 31. 32. 33.

34. 35. . 36. . 37. .

§ 10. Тройной интеграл

1. Определение тройного интеграла

Пусть в трехмерном пространстве с прямоугольной системой координат задана замкнутая область (тело) , ограниченная поверхностью . Рассмотрим в функцию (или , где ). Разобьем тело произвольным образом на областей , которые могут пересекаться только по своим границам.

Обозначим объем тела через . Тогда

, где  объем тела .

В каждой из областей выберем произвольным образом точку и вычислим значение функции в выбранной точке.

О п р е д е л е н и е 1. Сумма вида

(1)

называется тройной интегральной суммой для функции в области . Число называется диаметром разбиения области .

О п р е д е л е н и е 2. Если существует конечный предел тройной интегральной суммы (1) при стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора в них промежуточных точек, то он называется тройным интегралом от функции по области , а функция называется интегрируемой в .

Для тройного интеграла используется обозначение: Следовательно, по определению имеем:

. (2)

З а м е ч а н и е 1. Тройной интеграл (2) существует, если функция непрерывна в . Поэтому всюду далее, говоря об интегрируемости функции в области , будем предполагать ее непрерывность в .