3. Замена переменных в тройном интеграле

Т е о р е м а 2 (формулы замены переменных в тройном интеграле). Пусть функция интегрируема в области пространства . Пусть функции

, (8)

удовлетворяют условиям:

1. непрерывно дифференцируемы в некоторой области пространства ;

2. устанавливают взаимно однозначное соответствие между областями и ;

3. якобиан преобразования (8)

(9)

неотрицателен или неположителен в .

Тогда справедливо равенство:

(10)

З а м е ч а н и е 3. Перейдем от декартовых координат к цилиндрическим координатам по формулам: (рис. 4).

Тогда якобиан (13) равен (где ) и формула (14) принимает вид:

z

M(,φ, z)

О

φ y



x Рис. 4

З а м е ч а н и е 4. Перейдем от декартовых координат к сферическим координатам по формулам: (рис. 5). Тогда якобиан (9) равен и неотрицателен, так как . Формула (10) принимает вид:

z

M(; φ; )

θ

О

φ y

х  Рис. 5

П р и м е р 3. Вычислить массу куба , если плотность в каждой точке куба задана формулой: .

Р е ш е н и е. Массу М куба вычислим по формуле:

М =

О т в е т: 24.

П р и м е р 4. Вычислить координаты центра тяжести однородного полушара .

Р е ш е н и е. Рассматриваемое тело – половина шара радиуса с центром в начале координат, расположенная не ниже плоскости Оху. Координаты центра тяжести полушара вычислим по формулам (6), где . Из симметрии рассматриваемого тела очевидно: . Поэтому необходимо найти только координату . Воспользовавшись сферическими координатами, получаем:

.

О т в е т: , .

4. Примеры

Вычислить тройные интегралы, взятые по областям :

1. , параллелепипед

2.  , пирамида, ограниченная плоскостями .

3. , параллелепипед

4. , область, ограниченная конусом и сферой .

5. Вычислить объем тела , ограниченного параболоидом и плоскостями .

6. Вычислить объем тела , ограниченного поверхностями и .

7. Определить массу пирамиды, ограниченной плоскостями , если плотность распределения массы в каждой ее точке равна координате z.

8. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного конусом и плоскостью .