9. Дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно
О п р е д е л е н
и е 16. Пусть
функция
определена
на некотором множестве
и существует такая функция
определенная на некотором множестве
что
и выполняется равенство:
Тогда функция
называется неявной
функцией, заданной уравнением
(6)
Т е о р е м а 6.
Пусть функция
задана неявно уравнением (6), где
дифференцируема в точке
для которой
и
Пусть функция
дифференцируема в точке
Тогда ее производная в точке
вычисляется по формуле:
З а м е ч а н и е 10.
При выполнении
условий теоремы 6 в точке
дифференциал функции
,
заданной неявно уравнением (6), вычисляется
по формуле:
П р и м е р 14.
Найти производную функции
заданной неявно уравнением
и вычислить ее значение при
Р е ш е н и е.
Обозначив левую часть данного уравнения
через
найдем частные производные:
Тогда, воспользовавшись теоремой 6,
получаем:
(7)
Подставим теперь
в исходное уравнение
и найдем соответствующие значения
функции
Поэтому по формуле (7) находим:
О т в е т:
10. Дифференцирование функции двух переменных, заданной неявно
О п р е д е л е н
и е 17. Если
функция
определена
на некотором множестве
и существует такая функция
определенная на некотором множестве
что
,
и выполняется равенство
то функция
называется неявной
функцией, заданной уравнением
(8)
Т е о р е м а 7.
Пусть функция
неявно задана уравнением (8), где
дифференцируема в точке
для которой
и
Пусть функция
дифференцируема в точке
Тогда ее частные производные в точке
вычисляются по формулам:
(9)
З а м е ч а н и е 11. При выполнении условий теоремы 7 в точке полный дифференциал функции , заданной неявно уравнением (8), вычисляется по формуле:
П р и м е р 15.
Найти частные производные функции
заданной неявно уравнением
Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию:
(10)
Тогда уравнение, заданное в рассматриваемом примере, принимает вид (8). Вычислим частные производные функции (10):
Поэтому,
воспользовавшись формулами (9) при
условии
находим:
О т в е т:
12. Примеры
Вычислить пределы функций:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Найти точки разрыва функции:
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
Найти частные производные функции:
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Показать,
что для
функции
выполняется равенство:
32. Показать,
что
удовлетворяет уравнению:
Вычислить значения частных производных функции:
33.
в точке
34.
в точке
35.
в точке
36.
в точке
37.
Найти частные
производные сложной функции
где
38.
Найти
производную
сложной функции
где
39.
Найти
если
где
Найти полный дифференциал функции:
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
Найти значение
дифференциала функции
в точке
Вычислить приближенно число:
48.
49.
50.
Найти
если функция
задана неявно уравнением:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
Найти значение
производной функции в точке, для
которой
13. О Т В Е Т Ы
1.
1. 2.
0. 3.
е.
4.
1. 5.
.
6.
2. 7.
0. 8.
Не существует.
9.
.
10.
0. 11.
3. 12.
0. 13.
.
14.
– линия разрыва.
15.
(ось
)
– линия разрыва.
16.
– конус с вершиной в точке
и осью симметрии
– поверхностью разрыва.
17. – линия разрыва. 18. Точка – точка разрыва.
19.
– линия разрыва. 20.
– однополостный гиперболоид с осью
симметрии
– поверхность разрыва функции.
21.
22.
23.
.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
57.
