2. Градиент и его свойства
Пусть функция
определена в области
,
где
,
дифференцируема в точке
Определение
2.
Градиентом
функции
в точке
называется
–
мерный вектор, обозначаемый
и вычисляемый по формуле:
.
(3)
В
частности, если
и
,
то
;
(4)
если
и
.
(5)
Замечание 3. Для вектора (5) его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
,
,
,
где
.
Тогда формула (2) примет вид:
Свойство
1.
.
Свойство
2.
,
где
.
Свойство
3.
Производная функции
в точке
по направлению вектора
равна скалярному произведению вектора
на единичный вектор
,
сонаправленный с
:
,
где
.
Свойство
4.
Производная
функции
в точке
по направлению вектора
равна проекции вектора
на вектор
,
то есть справедливо равенство:
.
Свойство
5.
Производная
функции
в точке
по направлению градиента функции
,
вычисленного в точке
,
равна длине вектора
,
то есть справедливо равенство:
С в о й с т в о 6. Производная функции в точке по направлению вектора принимает наибольшее значение по сравнению с производной функции в точке по любому другому направлению .
Свойство
7.
Вектор
направлен по нормали к поверхности
уровня
,
где число
равно
.
С в о й с т в о 8. Градиент не зависит от выбора системы координат.
Замечание
4. Градиент
(если он не
)
функции
в каждой точке
направлен в сторону наибольшего роста
функции
,
причем скорость изменения функции
в этом направлении равна длине вектора
.
Если
,
то
.
З а м е ч а н и е
5.
Из свойств 6, 7 устанавливается связь
между вектором
и числом
:
к поверхности , где
,
в точке
строим вектор
;
строим сферу, для которой | | является диаметром;
из точки проводим вектор ;
обозначим
угол между векторами
и
;
обозначим точку пересечения вектора с поверхностью сферы через (рис.1).
Тогда
.
Причем, изменив направление вектора на противоположное, производная изменит знак, но останется прежней по абсолютной величине.
u=c
M
Рис.
1
З а м е ч а н и е 6. Для функции трех переменных
в ц и л и н д р и ч е с к о й системе координат:
,
в с ф е р и ч е с к о й системе координат:
.
Для функции двух переменных в п о л я р н о й системе координат:
.
Пример 4. Найти градиент функции в точке .
Решение. В данном случае
; .
Следовательно, получаем:
.
Ответ:
.
П
р и м е р 5.
Найти градиент функции
в точке
Р
е ш е н и е. Так как
(см. пример 3), то по формуле (3) при
находим:
О
т в е т:
П р и м е р 6.
Найти величину наибольшей скорости
изменения функции
в точке
Р е ш е н и е. Найдем
частные производные функции
Вычислим
их в точке
Поэтому
и
Следовательно,
воспользовавшись свойством 7, находим
наибольшее значение скорости
изменения функции
в точке
=
О т в е т:
Пример
7.
Найти
производную функции
в точке
по направлению вектора
.
Р е ш е н и е . 1) Найдем вектор :
,
,
откуда
по формуле (5) получаем:
.
Найдем:
.
3)
Найдем по формуле (6):
.
Ответ:
.
П р и м е р 8.
Найти угол между градиентами функции
в точках
и
Р е ш е н и е. Найдем
частные производные функции
Тогда
Следовательно
Далее воспользуемся
формулой
где
.
Вычисляем:
Таким
образом,
где
О
т в е т:
Пример
9.
Найти
величину и направление наибольшего
роста функции
в точке
.
Решение.
Учитывая
замечание 5, решение сводится к поиску
и вычислению числа
.
В данном случае
;
;
.
Следовательно,
,
.
Ответ:
величина
наибольшего роста функции
в точке
равна
;
направление наибольшего роста функции
в точке
задается вектором
.