3. Примеры

1. Найти производную функции по направлению вектора в точках и

2. Найти производную функции в точке по направлению вектора а) б) в) если и

3. Найти градиент функции в точке и определить в точке производную функции по направлению вектора

4. Для скалярного поля найти градиент в точке

5. Найти производную функции в точке по направлению ее градиента в этой точке.

6. Найти и построить градиент функции в точках и если а) б)

7. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол

8. Проверить, что в точке производная функции в любом направлении равна нулю.

9. Найти косинус угла между градиентами функции в точках и

10. Определить, по какому направлению должна двигаться точка при переходе через точку чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью.

11. Найти производную функции в точке в направлении градиента к поверхности в точке

12. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осями координат равные острые углы.

13. Найти производную функции в точках и в направлении: а) б) в) отрицательной полуоси Оу.

14. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от к точке

15. Найти производную функции в направлении:

а) биссектрисы I координатного угла, б) отрицательной полуоси Ох.

16. Найти в и градиент функции: а) б)

17. Для функции найти точки, в которых ее производная по любому направлению равна нулю.

4. Ответы

1. 2. а) б) в) 3. 4. 5.

6. а) В точке линия уровня градиент см. на рис. 2.

у

1 B

О 1 2 3 х

1 А

Рис. 2

В точке линия уровня градиент в точке см. на рис. 3.

у

  О х

B 2

Рис. 3

б) В точке линия уровня градиент см. на рис. 4.

у

1

О 1 х

-1

А Рис. 4

В точке линия уровня градиент в точке см. на рис. 5.

у

2

2 О х

B 2

2,5 Рис. 5

7. 9. 10. 11. 5. 12.

13. а) б) в) 14. 15. а) б)

16. а) б) 17.