top-book

Листок 4. Произведение пространств

бесконечное произведение X с собой. Обозначим через W (i; U) XI множество всех отображений I ! X, переводящих заданный индекс i в элемент из подмножества U X. Зададим предбазу B топологии на XI таким образом: U 2 B, если U = W (i; U) для какого-то индекса i 2 I и какого-то открытого подмножества U X. Такая топология называется

слабой, или тихоновской.

Задача 4.18 (!). Дана последовательность точек 1; 2; : : : в XI . Докажите, что она сходится тогда и только тогда, когда последовательностьk(i) сходится для каждого индекса i 2 I.

Замечание. Утверждение предыдущей задачи часто формулируют так: “пространство XI со слабой топологией есть множество отображений из I в X, с топологией поточечной сходимости”.

Определение 4.6. Пусть I некоторый набор индексов. Пространство [0; 1]I со слабой топологией называется тихоновским кубом.

Задача 4.19. Пусть на топологическом пространстве M задан набор непрерывных функций i : M ! [0; 1], проиндексированных набором индексов I. Докажите, что отображение

YY

i : m ! i(m)

i2I

в тихоновский куб [0; 1]I непрерывно.

Задача 4.20. Докажите, что любая точка тихоновского куба замкнута.

Задача 4.21 (*). Докажите, что тихоновский куб удовлетворяет условиям Т2 и Т3.

Задача 4.22 (!). Дан тихоновский куб [0; 1]I , где I счетно. Докажите, что у него есть счетная база.

Указание. Докажите, что совокупность всех U = W (i; ]a; b[) с рациональными a; b задает счетную предбазу в [0; 1]I , и воспользуйтесь задачей 4.2.

Задача 4.23 (**). Пусть множество I имеет мощность континуума или больше. Верно ли, что тихоновский куб [0; 1]I несепарабелен?

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Пусть задано счетное подмножество W хаусдорфова пространства. Докажите, что мощность замыкания W не больше континуума.

Задача 4.24 (!). Рассмотрим множество M = [0; 1]N множество последовательностей вещественных чисел в [0; 1], индексированных N. Рассмотрим функцию d : M M ! R,

q

X

d(f ig; f ig) = i 2j i ij2:

Докажите, что эта функция корректно определена и задает метрику на

[0; 1]N.

Определение 4.7. Метрическое пространство [0; 1]N с метрикой, построенной выше, называется гильбертовым кубом.

Задача 4.25 (!). Пусть задана последовательность f i(n)g точек в [0; 1]N. Докажите, что она сходится в тихоновской топологии тогда и только тогда, когда она сходится в топологии гильбертова куба.

Задача 4.26 (*). Выведите из этого, что тождественное отображение задает гомеоморфизм гильбертова куба и тихоновского куба.

Замечание. Мы получили, что если множество индексов I счетно, то тихоновский куб [0; 1]I метризуем.

Задача 4.27 (*). Пусть множество индексов I несчетно. Будет ли тихоновский куб [0; 1]I метризуем?

4.2. Нормальные топологические пространства

Определение 4.8. Пусть даны непересекающиеся замкнутые подмножества A; B M топологического пространства M. Непрерывная функция f : M ! [0; 1] называется функцией Урысона, если f(A) = 0; f(B) = 1.

Определение 4.9. Напомним, что топологическое пространство нормально (удовлетворяет условию отделимости Т4), если оно хаусдорфово, и для любых непересекающихся замкнутых подмножеств A; B M наидутся непересекающиеся окрестности.

Листок 4. Произведение пространств

Задача 4.28. Пусть для любых непересекающихся замкнутых подмножеств A; B M существует функция Урысона, и верно условие Т1 (все точки замкнуты). Докажите, что M нормально.

Задача 4.29. Пусть – метрическое пространство, A M – замкнутое

подмножество, а 'A(x) = d(x;A) . Докажите, что 'A непрерывно, прини-

d(x;A)+1

мает значения в [0; 1[, и 'A(z) = 0 , z 2 A.

Задача 4.30. Пусть f; g – непрерывные функции на топологическом пространстве M. Докажите, что max(f; g) непрерывно.

Указание. Докажите, что f g : M ! R R непрерывно, и функция max : R R ! R тоже непрерывна. Тогда max(f; g) задается как композиция непрерывных отображений.

Задача 4.31. Пусть – метрическое пространство, A; B M – непересекающиеся замкнутые подмножества, 'A, 'B – функции, определенные

Задача 4.33. Докажите, что любое метрическое пространство нормально.

4.3.Лемма Урысона и метризация топологических пространств

Определение 4.10. Пусть даны непересекающиеся замкнутые подмножества A; B M топологического пространства M. Непрерывная функция f : M ! [0; 1] называется функцией Урысона, если f(A) = 0; f(B) = 1.

Задача 4.34 (*). Пусть M нормально, а A; B M – непересекающиеся замкнутые подмножества. Докажите, что можно найти последовательность окрестностей Up=2q A, индексированную рациональными числами вида 0 < p=2q < 1, и удовлетворяющую следующим условиям:

Часть II. Задачи по топологии

(i)для всех p; q, B не пересекается с Up=2q .

(ii)Если p1=2q1 < p2=2q2 , то замыкание Up1=2q1 содержится в Up2=2q2 .

Указание. Воспользуйтесь индукцией.

Задача 4.35 (*). В условиях предыдущей задачи, определим функцию f : M ! [0; 1] формулой

f(m) = sup p=2q j m 2= Up=2q

вне A и положим f равной нулю на A. Докажите, что f непрерывна и является функцией Урысона.

Указание. Докажите, что отрезки вида ]p1=2q1 ; p2=2q2 [ задают предбазу топологии в [0; 1]. Докажите, что

f 1(]p1=2q1 ; p2=2q2 [) = Up2=2q2 nUp1=2q1 :

Выведите из этого, что f непрерывна.

Замечание. Мы получили следующую “лемму Урысона”: если M нормально, то для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств M существует функция Урысона.

Задача 4.36 (*). Пусть M хаусдорфово пространство со счетной базой B, удовлетворяющее условию Т4, I множество всех пар U1

U2 2 B, таких, что U1 U2, а FU1;U2 функции Урысона, соответствующие непересекающимся замкнутым множествам U1 и MnU2, а F : M ! [0; 1]I отображение в тихоновский куб, заданное как F (m) =

Q

U1;U22I FU1;U2 (m). Докажите, что F непрерывно и инъективно.

Задача 4.37 (*). В условиях предыдущей задачи, обозначим через G : F (M) ! M отображение, обратное F . Пусть дана последовательность точек fxig M такая, что FU1;U2 (xi) сходится к y 2 F (M)I для любой пары (U1; U2) в I. Выведите из этого, что последовательность fxig сходится к x := F 1(y). Докажите, что G непрерывно.

Задача 4.38 (*). Докажите, что любое хаусдорфово топологическое пространство M с счетной базой, удовлетворяющее условию Т4 можно реализовать как топологическое подпространство в гильбертовом кубе.

Листок 4. Произведение пространств

Замечание. Мы получили следующую теорему о метризации. Всякое нормальное топологическое пространство со счетной базой метризуемо.

Задача 4.39. Докажите, что любое подмножество гильбертова куба нормально и со счетной базой.

Задача 4.40. Любое ли метризуемое пространство нормально и со счетной базой?

Часть II. Задачи по топологии

Листок 5: Компактность

Определение 5.1. Пусть M топологическое пространство. Назовем покрытием M любой набор открытых подмножеств Ui M (возмож-

S

но, бесконечный, или даже несчетный), для которого M = Ui. Пространство M называется компактным, или просто компактом, если из каждого открытого покрытия M можно выбрать конечное подпокрытие. Подмножество Z M топологического пространства M называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии.

Задача 5.1. Докажите, что отрезок [0; 1] компактен. Когда компактно множество с дискретной топологией? С кодискретной топологией?

Задача 5.2 (*). Пусть в M задана такая топология: открытые множества это дополнения к конечным подмножествам (такая топология называется кофинитной). Найдите все компактные подмножества в M.

Задача 5.3 (!). Пусть Z компактно, a Z0 Z замкнуто в Z. Докажите, что Z0 тоже компактно. Следует ли из компактности подмножества его замкнутость?

Задача 5.4. Пусть топологическое пространство M хаусдорфово, Z произвольное подмножество M, а x 2= Z любая точка.

а.Докажите, что у Z есть такое открытое покрытие fUig, что замыкание каждого Ui не содержит x.

*Приведите пример нехаусдорфова Т1-пространства, где это не выполнено.

Задача 5.5 (!). Пусть M хаусдорфово. Докажите, что любое компактное подмножество в M замкнуто.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 5.6. Даны два компактных подмножества хаусдорфова пространства. Докажите, что у них есть непересекающиеся открытые окрестности.

Листок 5: Компактность

Задача 5.7 (!). Дано компактное хаусдорфово топологическое пространство. Докажите, что для него выполняется условие отделимости Т4.

Задача 5.8 (*). Существует ли компактное, хаусдорфово, неметризуемое топологическое пространство?

Определение 5.2. Топологическое пространство называется локально компактным, если у любой точки найдется окрестность, замыкание которой компактно.

Задача 5.9. Дано локально компактное хаусдорфово топологическое пространство. Докажите, что в нем выполнено условие Т3.

Задача 5.10 (**). Существует ли локально компактное, хаусдорфово топологическое пространство, в котором не выполнено первое условие счетности?

Задача 5.11 (**). Существует ли счетное, хаусдорфово топологическое пространство, которое не локально компактно?

Задача 5.12. Дано хаусдорфово топологическое пространство X. Обо-

S

значим через Xb множество X f1g (X, к которому добавили еще одну точку, обозначенную как 1) со следующей топологией: U Xb открыто либо если 1 2 U, а дополнение к U компактно как подмножество X, либо если 1 62U, и U открыто как подмножество X. Докажите, что это действительно топология, и пространство Xb компактно.

Определение 5.3. Пространство Xb называется одноточечной компактификацией пространства X.

Задача 5.13 (*). Всегда ли Xb хаусдорфово?

Задача 5.14. Пусть X = Rn с естественной топологией. Докажите, что Xb гомеоморфно n-мерной сфере.

Задача 5.15. Дано хаусдорфово топологическое пространство M, и подмножество Z в нем. Докажите, что следующие условия эквивалентны.

(i)У любой точки z 2 Z существует окрестность U 3 z, не содержащая других точек из Z.

Часть II. Задачи по топологии

(ii)M индуцирует на Z дискретную топологию.

(iii)Z не содержит своих предельных точек.

Определение 5.4. Замкнутое подмножество Z M, удовлетворяющее одному из условий задачи 5.15, называется дискретным.

Задача 5.16. Пусть у хаусдорфова топологического пространства Z M есть бесконечное дискретное подмножество. Докажите, что M некомпактно.

Пусть дан набор Zi подмножеств множества M. Будем говорить, что этот набор множеств монотонный, если для любых Zi, Zj из нашего набора Zi Zj или Zj Zi.

Задача 5.17. Докажите, что если топологическое пространство M компактно, то любой монотонный набор непустых замкнутых подможеств Zi M имеет непустое пересечение \iZi.

Задача 5.18. Пусть M хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой. Докажите, что M компактно тогда и только тогда, когда у M нет бесконечных дискретных подмножеств.

Указание. Если M содержит бесконечное дискретное подмножество, из задачи 5.16 следует, что M некомпактно. Если, наоборот, M некомпактно, то у M есть счетное покрытие S = fUig, такое, что никакое конечное подмножество S не покрывает M. Заменив Ui на объединение всех Uj; j i, можно считать, что U1 U2 U3 :::, причем ни один из Ui не содержит M. Взяв дополнения получаем набор замкнутых подмножеств A1 A2 :::, с нулевым пересечением. Возьмите в каждом Ai точку, докажите, что получится дискретное множество.

Задача 5.19 (!). Пусть M хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой. Докажите, что M компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек из M имеет предельную точку.

Замечание. Это свойство называется слабой секвенциальной компактностью.

Задача 5.20 (**). Существует ли слабо секвенциально компактное, некомпактное хаусдорфово пространство?

Листок 5: Компактность

Задача 5.21 (*). Дано топологическое пространство M, не обязательно хаусдорфово.

а.Может ли компактное подмножество M содержать бесконечное дискретное подмножество?

б.Может ли существовать ли некомпактное подмножество M, не содержащее бесконечных дискретных подмножеств?

**Пусть M хаусдорфово. Существует ли некомпактное подмножество M, не содержащее бесконечных дискретных подмножеств?

Задача 5.22 (!). Пусть f : M ! N непрерывное отображение топологических пространств. Докажите, что для любого компактного подмножества Z M, f(Z) всегда компактно.

Задача 5.23. Пусть дано подмножество Z R.

а.Докажите, что Z компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено (ограничено значит содержится в некотором отрезке [a; b]).

б.Докажите, что Z компактно тогда и только тогда, когда любое его подмножество имеет супремум и инфимум в Z.

Задача 5.24 (!). Пусть f : M ! R – непрерывное отображение топологических пространств. Докажите, что f достигает максимума и минимума на любом компактном подмножестве M.

Задача 5.25 (*). Пусть дано некомпактное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, которое удовлетворяет свойству отделимости Т4. Постройте непрерывную функцию f : M ! R, которая не достигает максимума.

Указание. Воспользуйтесь тем, что образ компакта - компакт.

Задача 5.26. Пусть f : M ! N непрерывное отображение топологических пространств, M компактно, а N хаусдорфово. Докажите, что f переводит замкнутые множества в замкнутые.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 5.27. Пусть f : M ! N непрерывное отображение топологических пространств, M компактно, а N хаусдорфово. Предположим, что f взаимно однозначно. Докажите, что f – гомеоморфизм.

Задача 5.28. Придумайте такое непрерывное взаимно однозначное отображение топологических пространств f : M ! N, что M компактно, но f не гомеоморфизм. (N не хаусдорфово).

5.1. Компакты и произведения

Определение 5.5. Непрерывное отображение f : X ! Y топологических пространств называется собственным, если для каждого компактного K Y прообраз f 1(K) X компактен.

Задача 5.29 (!). Пусть пространство Y хаусдорфово и имеет счетную базу окрестностей в точке. Докажите, что любое собственное отображение f : X ! Y переводит замкнутые подмножества X в замкнутые подмножества Y .

Указание. Пусть есть замкнутое Z X, образ которого не замкнут. Выберите последовательность точек yi 2 f(Z), которая сходится к точке y 2 Y , не лежащей в f(Z).

Задача 5.30 (**). Верно ли утверждение предыдущей задачи без предположения счетной базы?

Задача 5.31 (!). Пусть X, Y компактные топологические пространства. Докажите, что произведение X Y компактно.

Указание. Воспользовавшись тем, что множества вида U V , U открыто в X, V открыто в Y задают базу топологии на X Y , докажите сначала, что достаточно рассматривать покрытия X Y множествами такого вида. Затем для каждой точки y 2 Y выберите конечное подпокрытие подмножества X fyg X Y , состоящее из каких-то множеств Ui Vi, и заметьте, что множества Vy = \Vi образуют открытое покрытие пространства Y .

Задача 5.32. Дано подмножество X Rn. Докажите, что следующие свойства равносильны