top-book

Лекция 7: Теорема о метризации

Доказательство теоремы 7.14.

Пусть fUig счетная база топологии M, а Ai := MnUi. Поскольку M нормальное, хаусдорфово пространство со счетной базой, каждое Ai является нуль-множеством. И в самом деле, из Утверждения 7.11 следует, что в M выполнено условие Т6. Из Теоремы 7.12 следует, что в такой ситуации существует функция fi : M ! [0; 1], такая, что fi 1(0) = Ai.

Возьмем следующее отображение из M в тихоновский куб:

Q

M !i fi [0; 1]N:

Поскольку Ui это база хаусдорфовой топологии, для любых двух точек x 6= y существует Ai, которое содержит x и не содержит y (докажите это). Поскольку fi 1(0) = Ai, соответствующая функция Урысона удо-

Q

влетворяет fi(x) = 0; fi(y) 6= 0. Поэтому := i fi инъективно.

Для доказательства Теоремы 7.14, осталось убедиться, что это гомеоморфизм M на его образ. А приори, это может быть и не так. Например, если M пространство с дискретной топологией, любое отображение M ! [0; 1]N непрерывно, но не любое вложение гомеоморфизм.

Чтобы было гомеоморфизмом на его образ, нужно, чтобы любое открытое множество в M получалось как прообраз 1(U), для какогото открытого U [0; 1]N. Для открытых множеств, принадлежащих базе Ui, это верно, ибо Ui = fi 1(]0; 1]), а множество Ui будет прообразом открытого множества вида

[0; 1] [0; 1] ]0; 1] [0; 1] [0; 1]N:

Поскольку каждое открытое множество в M получается объединением Ui, все открытые множества в M прообразы открытых подмножеств в [0; 1]N. Поэтому гомеоморфизм. Мы доказали теорему Урысона.

7.6. Теоремы о метризуемости

Теорема Урысона дает полную характеризацию метризуемых топологических пространств со счетной базой. Пространство со счетной базой является метризуемым тогда и только тогда, когда оно нормально и хаусдорфово.

Часть III. Лекции по топологии

Для пространств, не имеющих счетной базы, простого критерия метризуемости нет.

Существует много версий метризационной теоремы, которые не требуют счетной базы.

Самая полезная из них принадлежит Ю. М. Смирнову (1951), и требует определения паракомпактности. В дальнейшем это понятие использоваться не будет.

Определение 7.16. Покрытие fU g топологического пространства M называется локально конечным, если любая точка M лежит в конечном числе элементов fU g Покрытие fV g называется измельчением покрытия fU g, если каждый элемент fV g лежит в каком-то элементе fU g. Топологическое пространство M называется паракомпактным, если каждое покрытие M имеет локально конечное измельчение.

Английский математик Артур Харольд Стоун (Arthur Harold Stone), изобретатель флексагона, доказал в 1948-м году, что все метрические пространства паракомпактны. Теорема Смирнова о метризации утверждает, наоборот, что любое паракомпактное топологическое пространство метризуемо, если оно локально метризуемо, то есть если у каждой точки есть метризуемая окрестность. Таким образом удается ответить на вопрос о метризуемости многообразий (топологических пространств, которые локально гомеоморфны Rn).

Лекция 8: Компакты

Лекция 8: Компакты

8.1.Компакты и слабо секвенциально компактные пространства

Следующее определение хорошо всем знакомо.

Определение 8.1. Топологическое пространство M называется компактным, если каждое открытое покрытие M имеет конечное подпокрытие.

Термин "компакт" введен Фреше, а современное понятие компакта принадлежит П. С. Урысону и П. С. Александрову.

Павел Сергеевич Александров (1896 1982)

Замечание 8.2. Замкнутое подмножество компакта очевидно компактно (докажите). Обратное, вообще говоря, неверно. В отличие от ситуа-

Часть III. Лекции по топологии

ции, известной из метрической топологии, компактные подмножества не обязательно замкнуты. Замкнутость компакта следует из хаусдорфовости.

Действительно, пусть X M компактное подмножество, а z точка его замыкания, которая не лежит в X. Воспользовавшись хаусдорфовостью, найдем у каждой точки x 2 X окрестность U 3 x, замыкание которой Ux не содержит z. Выбрав из fUxg конечное подпокрытие, получим покрытие Ui, i = 1; 2; 3; :::; n множества X, причем для всех i, замыкание Ui не содержит z. Воспользуемся равенством

nn

[[

(докажите его). Получаем, что Sni=1 Ui замкнуто и не содержит z.

Замечание 8.3. Мы доказали, что всякое компактное подмножество в хаусдорфовом пространстве замкнуто. В нехаусдорфовом пространстве это не всегда верно (докажите).

Следующий элементарный факт чрезвычайно важен.

Утверждение 8.4: Пусть f : X ! Y непрерывное отображение. Тогда образ компактного подмножества X компактен.

Доказательство. Пусть Z X компактное подмножество, а f(Z) его образ. Возьмем открытое покрытие fU g множества f(Z). Прообразы элементов этого покрытия образуют покрытие ff(U )g компактного множества Z; выбрать из него конечное подпокрытие значит выбрать конечное покрытие из fU g.

Определение 8.5. Топологическое пространство M называется слабо секвенциально компактным, если каждая последовательность fxig в M имеет предельную точку (точку, в любой окрестности которой содержится бесконечное количество членов fxig).1

Замечание 8.6. Для метрических пространств, слабая секвенциальная компактность совпадает с обычной, как следует из теоремы Гейне-Бореля.

1Такие точки еще называются точками накопления.

Часть III. Лекции по топологии

тельность точек, такая, что

а x предельная точка этой последовательности. Поскольку f непрерывно, f(x) = supx2M f(x) (докажите).

Мы получили такую цепочку импликаций, верных для любого топологического пространства:

8.2. Компакты и нормальные пространства

Следующая простая теорема чрезвычайно полезна, потому что из нее вытекает существование функций Урысона на компактах.

Теорема 8.10: Пусть M компактное, хаусдорфово топологическое пространство. Тогда M нормально.

Доказательство.

Шаг 1: Докажем, что в M выполнена аксиома Т3, то есть для каждого замкнутого множества A M, и точки x 2= A, существуют непересекающиеся окрестности A и x. Это равносильно тому, что у A есть окрестность, замыкание которой не содержит x.

Для всех z 2 A, выберем окрестность Uz 3 z, замыкание которой

Uz не содержит x (такая окрестность существует в силу хаусдорфовости докажите). Поскольку A компактно, а Uz открытое покрытие A, из него можно выбрать конечное подпокрытие U1; :::; Un. Замыкание

S

множества Ui не содержит x, потому что

nn

[[

Шаг 2: Тот же самый аргумент позволяет вывести из T3 и компактности T4. Пусть A и B два непересекающихся замкнутых подмножества M.

Лекция 8: Компакты

Нам нужно найти окрестность A такую, что ее замыкание не пересекается с B. У каждой точки z 2 A есть окрестность Uz, замыкание которой не пересекается с B, в силу T3. Выбрав из fUzg конечное подпокрытие, как на предыдущем шаге, мы получим конечное покрытие A множествами U1; :::; Un такими, что Ui \ B = ?. Снова воспользуемся (8.2.1), и полу-

S

чим, что Ui окрестность A, замыкание которой не пересекается с B.

Для компакта проблема метризации дополнительно упрощается следующим простым и чрезвычайно важным наблюдением.

Утверждение 8.11: Пусть f : X ! Y непрерывное вложение хаусдорфовых топологических пространств, причем X компакт. Рассмотрим образ f(X) Y как топологическое пространство, с индуцированной топологией. Тогда f это гомеоморфизм.

Доказательство: Для доказательства, нам нужно убедиться, что образ открытого множества открыт в f(X). Это равносильно тому, что образ замкнутого множества замкнут.

Как мы только что видели, образ компактного подмножества всегда компактен. Поскольку X компактно и хаусдорфово, компактность подмножества равносильна его замкнутости. Поэтому образ любого замкнутого подмножества A X компактен в Y , а следовательно, замкнут.

Мы использовали этот факт несколько лекций назад, при доказательстве того, что непрерывное взаимно однозначное отображение из отрезка в отрезок это гомеоморфизм.

Замечание 8.12. Легко видеть, что из Утверждения 8.11 и леммы Урысона следует, что всякое компактное, хаусдорфово топологическое пространство M гомеоморфно подмножеству тихоновского куба [0; 1]I, где

. Непрерывное вложение I было построено в

I = M Mn M ! [0; 1]

(7.5.1) с использованием леммы Урысона и нормальности M, доказанной для компактов чуть выше. В силу Утверждения 8.11, отображениеявляется гомеоморфизмом M на его образ.

Лекция 9: Произведение компактов

fA g имеет общую точку. Тогда все Ai имеют общую точку. Действитель-

T

но, A = ? тогда и только тогда, когда fMnA g – покрытие M.

Пусть f : X ! Y непрерывное отображение Напомним, что для любой точки y 2 Y , прообраз f 1(y) называется слоем f.

Теорема 9.5: Пусть f : X ! Y замкнутое, непрерывное отображение, причем все слои f компактны. Тогда f собственное.

Доказательство: Пусть K Y компакт. Для доказательства 9.5, достаточно убедиться, что f 1(K) компакт. Заменив Y на K, а X на f 1(K), можно считать Y компактом.

Шаг 1: Пусть fA g – набор замкнутых подмножеств в X такой, что любое конечное подмножество A1; A2; :::; An fA g имеет общую точку. Добавив к fA g все конечные пересечения элементов fA g, получим набор замкнутых подмножеств X, обладающий тем же свойством. Будем считать, что fA g содержит все конечные пересечения своих элементов.

Шаг 2: Поскольку Y компактно, а все f(A ) замкнуты, ff(A )g имеет общую точку y 2 Y (докажите).

Шаг 3: Рассмотрим слой f 1(y) X. Пусть A1; A2; :::; An fA g. Любое

f 1(y) компактен, из этого следует, что набор fA \f 1(y)g имеет общую точку. Это доказывает Теорему 9.5.

9.2. Конечные произведения компактов

Теорема Тихонова утверждает, что любое (даже бесконечное) произведение компактов компактно. Для бесконечных произведений, ее доказательство требует аксиомы выбора. Как доказал Джон Келли (John L. Kelley) в 1950-м году, теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора.

Для конечных произведений, аксиома выбора не нужна, и компактность произведения компактов можно доказать непосредственно. К сожалению, доказательство получается чуть более сложным.

Часть III. Лекции по топологии

Пусть X, Y компакты, а : X Y ! Y проекция. Слои гомеоморфны X, и поэтому компактны. Таким образом, компактность произведения X Y вытекает из Теоремы 9.5, и следующего утверждения.

Утверждение 9.6: Пусть X, Y топологические пространства, причем X компактно, а : X Y ! Y – проекция. Тогда отображение замкнуто.

Доказательство: Пусть Z X Y замкнутое подмножество, а yпредельная точка множества (Z). Точка y лежит в (Z) тогда и только тогда, когда 1(y) \Z 6= ?. Если (Z) незамкнуто, для какой-то предельной точки имеем 1(y) \ Z = ?.

В этом случае, у каждой точки (x; y) 2 1(y) есть окрестность Ux;y, не пересекающаяся с Z. Выбрав Ux;y в базе топологии, можно считать, что Ux;y = Vx;y Wx;y, где Vx;y X окрестность x 2 X, а Wx;y Y окрестность y 2 Y .

Множество fUx;yg задает покрытие 1(y). Выберем у него конечное подпокрытие fVi Wig. Тогда fVig составляет покрытие X. Поэтому имеем

\[

X Wi Vi Wi

ii

(проверьте). Следовательно, множество X Ti Wi не пересекает Z. По-

T

этому y имеет окрестность i Wi, не пересекающую (Z), а значит, не является предельной точкой. Мы получили, что (Z) замкнуто.

Замечание 9.7. Если X некомпактно, Утверждение 9.6 неверно. Действительно, рассмотрим проекцию R R ! R, и гиперболу, то есть замкнутое подмножество Z R R, состоящее из пар f(x; y) j xy = 1g. Легко видеть, что (Z) незамкнуто (докажите).

Сравнивая Утверждение 9.6 и Теорему 9.5, мы получаем, что произведение компактных пространств компактно.