top-book

Лекция 9: Произведение компактов

Y

Проекция с компактным слоем замкнута

9.3. Максимальные идеалы в кольцах

Все кольца в этой лекции предполагаются коммутативными (с коммутативным умножением) и с единицей (элементом 1 2 R таким, что 1 x = x для каждого x).

Напомним, что идеалом в кольце R называется подмножество I R, которое является подгруппой по сложению, и к тому же удовлетворяет следующему. Для каждого x 2 R; 2 I; произведение x также лежит в I. Это свойство записывается так: RI I.

Напомним, что гомоморфизмом колец называется отображение

'

R1 ! R2, которое переводит 1 в 1, 0 в 0, и согласовано со сложением и умножением (то есть удовлетворяет '(x + y) = '(x) + '(y),

'(xy) = '(x)'(y)).

'

Ядром гомоморфизма R1 ! R2 называется множество всех элементов R1, переходящих в 0.

Легко видеть, что ядро гомоморфизма идеал (проверьте). Для каждого идеала I R, факторгруппа R=I наделяется естественной структурой кольца (проверьте). Таким образом, идеалы в кольце подмножества, которые могут быть ядром гомоморфизма R ! R1.

Определение 9.8. Пусть R кольцо, а S R набор элементов R. Рассмотрим множество I R, состоящее из всех линейных комбинаций

Часть III. Лекции по топологии

вида

n

X

isi;

i=1

где si 2 S, а i 2 R. Легко видеть, что I это идеал. Этот идеал называеся

идеалом, порожденным элементами S.

Замечание 9.9. Пусть r 2 R любой элемент, а rR порожденное им подмножество R. Легко видеть, что rR 6= R тогда и только тогда, когда когда r не обратим1 в R (проверьте это).

Поэтому любое кольцо R, в котором любой идеал равен R либо 0, является полем (докажите).

Определение 9.10. Пусть R кольцо, а I $ R идеал. Идеал I называется максимальным, если не существует идеала I1 с I $ I1 $ R.

Утверждение 9.11: Идеал I R максимален тогда и только тогда, когда факторкольцо R=I поле.

Доказательство: Легко видеть, что идеалы I1 I находятся во вза- имно-однозначном соответствии с идеалами кольца R=I (проверьте это). Отсутствие идеалов I $ I1 $ R равносильно тому, что в R=I любой идеал равен 0 либо R. В силу Замечания 9.9, это равносильно тому, что R=I поле.

Определение 9.12. Напомним, что идеал I R кольца R называется простым, если для любых x; y 2 R, из xy 2 I следует, что x 2 I либо y 2 I.

Задача 9.2. Докажите, что любой максимальный идеал простой.

Напомним, что набор подмножеств S1 2M называется монотонным, или вложенным, если для любых p; q 2 S1, либо p q, либо q p. Максимальным элементом набора подмножеств S 2M называется такой элемент s 2 S, что для любого r 2 S, из r s следует r = s.

Напомним, что лемма Цорна (Zorn’s Lemma) следующее утверждение теории множеств, равносильное аксиоме выбора. Пусть S = fS g

1Напомним, что r 2 R называется обратимым в кольце R, если rr1 = 1, для какого-то r1 2 R.

Лекция 9: Произведение компактов

2M набор подмножеств множества M, которые удовлетворяют такому свойству: для любого монотонного поднабора fS g S, объединение

S

S тоже лежит в S. Тогда в S есть максимальный элемент.

Из леммы Цорна немедленно следует существование максимальных идеалов.

Теорема 9.13: Пусть I $ R идеал в кольце. Тогда существует максимальный идеал I1 I.

Доказательство: Пусть S 2R множество идеалов, содержащих I, и не равных R. Легко видеть, что для вложенного набора идеалов

получим, что в S существует максимальный элемент. Он и будет максимальным идеалом, содержащим I.

9.4. Лемма Цорна: история, замечания

Лемма Цорна была доказана Максом Цорном в 1935-м году. Цорн был алгебраистом, учеником Эмиля Артина (Emil Artin). Абстрактная алгебра в 1930-е годы развивалась весьма бурно (трудами Эмми Нетер, Эмиля Артина и Бартеля Ван дер Вардена, среди прочих), но для строгих доказательств приходилось постоянно прибегать к теории множеств. К тому времени эта наука была немало дискредитирована парадоксами. Примерно тогда же, Гёдель доказал, что невозможно доказать ее непротиворечивость, и теория множеств оказалась неожиданно шатким фундаментом для математики.

Для доказательства существования максимальных идеалов до Цорна использовалась теорема Цермело о существовании полного порядка на любом множестве (в англоязычной литературе эта теорема известна как "well-ordering principle"). К теореме Цермело математики традиционно относятся с большим недоверием. ("The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn’s lemma?" шутка, приписываемая Джерри Бонэ).

Цорн предложил строить абстрактную алгебру аксиоматически, не

Часть III. Лекции по топологии

Max August Zorn

(1906 1993)

прибегая к сложным конструкциям вроде теоремы Цермело, и предложил лемму Цорна (которую он называл "принципом максимума") в качестве одной из аксиом. Основным (практически единственным) применением этой леммы в алгебре является теорема о существовании максимальных идеалов.

Впрочем, нетрудно доказать, что теорема о существовании максимальных идеалов равносильна аксиоме выбора.

Название "лемма Цорна" впервые использовано американским математиком Джоном Тьюки (John Tukey).

Помимо алгебры, Цорн занимался теорией чисел и функциональным анализом. Среди прочего, ему принадлежит аксиоматическое построение алгебры октав ("octonions", "Cayley numbers"), и доказательство того,

Лекция 9: Произведение компактов

что квадрат любого бесконечного множества равномощен этому множеству.

9.5. Кольцо подмножеств и ультрафильтры

Определение 9.14. Пусть A; B M подмножества M. Определим

симметрическую разность A4B формулой

A4B := (A [ B)n(A \ B):

Определение 9.15. Пусть S 2M набор подмножеств M. Мы говорим, что S замкнут относительно конечных пересечений и симметрических разностей, если пересечение и симметрическая разность любых элементов S снова лежит в S. Если S замкнуто относительно конечных пересечений и симметрических разностей, и к тому же содержит

M, мы говорим, что S – кольцо подмножеств M.

Замечание 9.16. Легко видеть, что 2M является кольцом.

Определение 9.17. Пусть M подмножество M. Рассмотрим функцию : M ! f0; 1g,

(

nu(x) =

1; если x 2 ,

0; если x 2= .

Эта функция называется характеристической функцией подмножества M. Отождествив f0; 1g с полем F2 остатков по модулю 2, можно считать, что функция со значениями в F2.

Эта конструкция отождествляет 2M с множеством функций

M! f0; 1g:

Вдальнейшем, мы будем отождествлять подмножества и соответствующие им характеристические функции.

Пусть S 2M набор подмножеств M. Для каждого a 2 S, рассмотрим его характеристическую функцию : M ! F2. Такие функции можно складывать и умножать почленно.

Часть III. Лекции по топологии

Утверждение 9.18: Mножество функций

RS := f : M ! F2 j a 2 Sg

образует кольцо относительно почленного сложения и умножения тогда и только тогда, когда S кольцо подмножеств M.

Доказательство: Для любых ; M, имеем

+ = 4 ; = \ ;

поэтому замкнутость S относительно конечных пересечений и симметрических разностей равносильна замкнутости RS относительно сложения и умножения. Наличие в этом множестве нуля очевидно, потому что X4X = ?, а ? равно нулю. Наличие в этом множестве единицы следует из того, что M 2 S, а M = 1.

Мы построили арифметические операции (сложение, умножение) на любом кольце подмножеств S 2M .

Замечание 9.19. Теорема о существовании максимальных идеалов, будучи примененной к кольцу подмножеств, дает сюръективный гомоморфизм колец RS ! k, где k некоторое поле. Легко видеть, что все элементы RS удовлетворяют a2 = a (такие элементы называются идемпотентами. Поэтому все элементы k тоже идемпотенты. Согласно теореме Безу, многочлен P (x) степени i имеет не больше i корней в поле k (докажите это). Поскольку все элементы k являются корнями квадратного многочлена x2 x = 0, k поле из двух элементов.

Замечание 9.20. Пусть I R 2M максимальный идеал в кольце подмножеств, ' : R ! F2 – проекция R ! R=I, а A 2 R какой-то элемент. Поскольку M = 1, A либо MnA принадлежит I. Действительно, если A не принадлежит I, то '(A) = 1, а значит

'(MnA) = 1 '(A) = 0:

Лекция 9: Произведение компактов

Определение 9.21. Пусть M множество, 2M кольцо всех подмножеств M, а I максимальный идеал в 2M . Ультрафильтром на M называется множество всех X M, не лежащих в I.

Определение 9.22. Пусть x 2 M точка. Рассмотрим гомоморфизм 2M ! F2, ставящий функции : M ! F2 ее значение (x). Ядро этого отображения, очевидно, максимальный идеал. Дополнение к такому идеалу называется главным ультрафильтром. Главный ультрафильтр состоит из множества всех X M, содержащих x:

\\

(последнее равенство следует из того, что A 2 I , (MnA) 2= I, что ясно из Замечания 9.20).

Замечание 9.23. Многие математики считают, что понятие ультрафильтра парадоксально, и использовать ультрафильтры не следует, наравне с теоремой Цермело и другими экзотическими следствиями аксиомы выбора. Действительно, ультрафильтры, кроме главных, невозможно построить явно. Если у вас понятие ультрафильтра вызывает отторжение, пропустите конец этого раздела, и забудьте про ультрафильтры.

Ультрафильтры можно определить аксиоматически, что видно из следующей задачи.

Задача 9.3. Пусть M множество, а U 2M набор его подмножеств. Докажите, что следующие утверждения равносильны.

(i)U это ультрафильтр.

(ii)Выполнены следующие свойства.

A.если A B, A 2 U, то B 2 U.

B.Для любого A M, либо A, либо MnA лежат в U (но не одновременно).

C.Если A; B 2 U, то A \ B 2 U.

Ультрафильтры были введены в 1937-м году Анри Картаном, одним из основателей Бурбаки, и широко использовались в трактатах Николя Бурбаки.

Часть III. Лекции по топологии

Henri Cartan, 1996

(1904 2008)

Замечание 9.24. Пусть S 2M набор подмножеств. Рассмотрим идеал в 2M , порожденный S. Он равен 2M тогда и только тогда, когда M можно получить как объединение конечного поднабора в S (докажите).

Пусть теперь S = fX g 2M набор подмножеств M таких, что

S

X = M, но никакое конечное подмножество S не дает в объединении M. Так, к примеру, если M = Z, можно взять в качестве S множество всех конечных подмножеств Z.

Идеал, порожденный S, не равен M в силу Замечания 9.24. Поэтому он содержится в некотором максимальном идеале I. Поскольку

[[

A X = M;

A2I

этот ультрафильтр не главный.

Определение 9.25. Аддитивной мерой на кольце множеств S 2M

Часть III. Лекции по топологии

Поскольку A4B A [ B, имеем

Теорема 9.27: (теорема Александера о предбазе, “Alexander subbase theorem”) Пусть M топологическое пространство с предбазой fU g. Предположим, что любое покрытие M элементами fU g имеет конечное подпокрытие. Тогда M компактно.

Доказательство: Пусть M некомпактно, и пусть P покрытие M, не допускающее конечного подпокрытия. Рассмотрим идеал I в 2M , порожденный P. Абзацем выше доказано, что I 6= 2M . Пусть Im 2M максимальный идеал, содержащий I.

Шаг 1. Обозначим через U множество элементов предбазы fU g, содержащихся в Im. Докажем, что U это покрытие M. Поскольку Im это идеал, вместе с любым множеством Im содержит все его подмножества. По условию, Im содержит открытое покрытие M. Поэтому для для каждой точки x 2 M, и каждой базы топологии на M найдется элемент базы, который содержит x и содержится в Im. Взяв в качестве базы конечные пересечения U , мы получим

покрытие.

Шаг 2. На предыдущем шаге, мы получили, что U покрытие M элементами предбазы. Поскольку Im 6= 2M , а U Im. никакой конечный набор элементов U не дает в объединении M. Мы пришли к противоречию с условиями теоремы Александера о предбазе. Следовательно, M компактно.