top-book

Лекция 15: Фундаментальная группа

топны петли 0( 1 2) и ( 0 1) 2. Мы доказали, что 1(M; m) это группа.

Определение 15.19. Группа 1(M; m), определенная выше, называется фундаментальной группой топологического пространства (; m).

Замечание 15.20. Пусть

f

(X; x) ! (Y; y)

морфизм пунктированных пространств. Для любого пути 2 (X; x), композиция f задает путь в (Y; y). Пользуясь тем. что композиции f с гомотопными отображениями гомотопны (Утверждение 15.4), мы получаем, что ! f определяет отображение на классах эквивалентности петель 1(X; x) ! 1(Y; y). Из конструкции этого отображения сразу ясно, что это гомоморфизм групп. Отображение фундаментальных групп, индуцированное f, часто обозначается той же самой буквой.

Часть III. Лекции по топологии

Замечание 15.21. Напомним, что функтор из категории C1 в C2 задается отображением

F : Ob(C1) ! Ob(C2)

и отображениями

F : Mor(X; Y ) ! Mor(F (X); F (Y ));

определенными для любых X; Y 2 Ob(C1), переводящими IdX в IdF (X) и совместимыми с взятием композиций.

Замечание 15.22. Взятие фундаментальной группы определяет функтор из категории пунктированных пространств в категорию групп (проверьте это).

Замечание 15.23. Пусть f0; f1 : (X; x) ! (Y; y) гомотопные отображения. Тогда соответствующие гомоморфизмы фундаментальных групп совпадают. В самом деле, если f0 гомотопно f1, то f0 гомотопно f1, для любой петли 2 (X; x).

15.4.Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность

Определение 15.24. Пусть (X; x) пунктированное топологическое пространство. Рассмотрим отображение x : X ! X, переводящее все точки X в x. Пространство X называется стягиваемым, если x гомотопно тождественному отображению IdX .

Пример 15.25: Пусть (X; x) подмножество Rn. Это подмножество называется звездчатым, если для любой точки x0 2 X, отрезок [x; x0] целиком лежит в X. Рассмотрим отображение

X [0; 1] ! X;

переводящее (x0; t) в x t(x x0). Легко видеть, что это гомотопия IdX и x (докажите это). Мы получили, что любое звездчатое подмножество стягиваемо.

Лекция 15: Фундаментальная группа

Замечание 15.26. Пусть (X; x) стягиваемое пространство. Легко видеть, что отображение x : X ! X задает тривиальный гомоморфизм

1(X; x) !x 1(X; x)

(все элементы группы 1(X; x) переходят в 1). Поскольку отображениеx гомотопно тождественному, а гомотопные отображения топологических пространств индуцируют одинаковые отображения фундаменталь-

Id

ных групп, тождественное отображение 1(X; x) ! 1(X; x) равно отображению, переводящему все элементы в 1. Поэтому 1(X; x) = f1g.

Определение 15.27. Если 1(X; x) = f1g, пунктированное пространство (X; x) называется односвязным. В этой ситуации еще говорят, что у (X; x) нулевая фундаментальная группа.

Определение 15.28. Пусть X Y подмножество. Предположим,

1

что существует отображение Y ! X, тождественное на X Y , и гомотопное тождественному отображению IdY . В этом случае X называется деформационным ретрактом Y . Гомотопия 1 и IdY называется

деформационной ретракцией Y на X.

Пример 15.29: Пусть Y множество всех ненулевых векторов в Rn, а

единичная сфера. Рассмотрим отображение 1 , v .

X Y Y ! X v ! jvj

Отображение 1 гомотопно тождественному:

(v; t) =

v

jvjt

осуществляет гомотопию 1 и 0 = IdY .

Замечание 15.30. Отмеченное пространство (X; x) является стягиваемым тогда и только тогда, когда fxg деформационный ретракт X.

Определение 15.31. Отображение X f! Y называется гомотопической эквивалентностью, если существуют отображения

g; g0 : Y ! X такие, что g f гомотопно IdY , а f g0 гомотопно IdX . Аналогичным образом определяется гомотопическая эквивалентность пунктированных пространств. Морфизм (X; x) f! (Y; y) – гомотопическая

Часть III. Лекции по топологии

эквивалентность, если заданы морфизмы g; g0 : (Y; y) ! (X; x), причем g f гомотопно IdY , а f g0 гомотопно IdX как морфизм пунктированных пространств.

j

Пример 15.32: Если X ,! Y деформационный ретракт, то пространство X гомотопически эквивалентно Y . Действительно, естествен-

ция 1 j гомотопна IdY , по определению деформационного ретракта. В частности, любое стягиваемое пространство гомотопически эквивалентно точке.

f

Замечание 15.33. Пусть (X; x) ! (Y; y) гомотопическая эквива-

f

лентность пунктированных пространств, а 1(X; x) ! 1(Y; y) соответствующее отображение фундаментальных групп. Тогда существуют морфизмы g; g0, такие, что g f гомотопно IdY , а f g0 гомотопно IdX . Зна-

f

чит, у 1(X; x) ! 1(Y; y) нет ядра (потому что на фундаментальных группах f g0 = Id 1(X;x)). С другой стороны, поскольку g f = Id 1(Y;x),

f

отображение 1(X; x) ! 1(Y; y) сюръективно. Мы доказали, что это изоморфизм групп.

Следствие 15.34: Пусть (X; x) и (Y; y) гомотопически эквивалентные

пунктированные пространства. Тогда (X) (Y ).

1 = 1

15.4.1. История, замечания

Понятие гомотопии и фундаментальной группы было впервые строго определено Пуанкаре, в 1895-м году. Гомотопные пути и фундаментальную группу определил в 1866-м году Камиль Жордан; впрочем, Жордан в работах по топологии не пользовался понятием группы (которое он сам же и ввел, тоже в 1860-х, следуя Галуа, в работах о разрешимости алгебраических уравнений).

Фундаментальная группа есть первый (и самый простой) алгебраический инвариант топологических пространств. Существует немало функторов аналогичной природы: гомотопические группы, когомологии, К- теория, кобордизмы и т.д. Эти конструкции изучаются в алгебраической топологии, методами теории категорий.

Строгое изучение топологии затруднено патологичностью общих топологических пространств. Алгебраические топологи по большей части

Лекция 15: Фундаментальная группа

Marie Ennemond Camille Jordan

(1838 1922)

ограничиваются CW-комплексами, пространствами, которые склеены из симплексов (многомерных тетраэдров) наподобие многогранников.

Вбольшинстве курсов топологии, никакие другие пространства, кроме CW-комплексов, не рассматриваются, или практически не рассматриваются. Ограничив таким образом класс изучаемых пространств, можно перевести на язык категорий любое геометрическое утверждение.

Втой (достаточно общей) геометрической ситуации, с которой имеют дело в метрической геометрии и анализе, считать алгебраические инварианты пространств чрезвычайно затруднительно. По этой причине предмет алгебраической топологии практически никак не соотносится

спредметом общей топологии. С другой стороны, без понимания основ общей топологии заниматься геометрией и топологией проблематично.

Основные достижения математики XX века относились к алгебраической топологии и алгебраической геометрии; на протяжении столетия эти две науки параллельно и чрезвычайно интенсивно развивались, используя язык категорий и гомологической алгебры, специально разрабо-

Часть III. Лекции по топологии

танный для такой цели.

Каноническим учебником алгебраической топологии является книжка Фукса, Фоменко, "Курс гомотопической топологии". Для других целей полезен том Свитцера "Алгебраическая топология: гомотопии и гомологии". Теории категорий посвящен учебник Маклейна "Категории для работающего математика". Гомологическая алгебра изложена в прекрасной книге "Методы гомологической алгебры" Гельфанда-Манина.

Лекция 16: Накрытия Галуа

Лекция 16: Накрытия Галуа

16.1. Факторпространства

Определение 16.1. Пусть M топологическое пространство, а – отношение эквивалентности. Подмножество U M= множества классов M= называется открытым, если его прообраз в M открыт. Проверьте, что это определяет топологию на M= . Такая топология называется

фактортопологией, а пространство M= факторпостранством.

Определение 16.2. Пусть задано множество M. Легко видеть, что множество биекций Bij(M; M) из M в M образует группу с операцией композиции. Напомним, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм из G в группу биекций Bij(M; M). Иначе говоря, для каждого g 2 G, m 2 M, задана точка g(m), при этом g(g1(m)) = gg1(M), для любых g; g1 2 G.

Определение 16.3. В такой ситуации, орбитой точки x 2 M называется множество

Gx := fy 2 M jy = gx; g 2 Gg

всех точек, которые можно получить из x действием G.

Определение 16.4. Пусть M топологическое пространство, а G

группа. Мы говорим, что G действует на топологическом пространстве M, или G непрерывно действует на M, если G действует на M, причем для любого g 2 G, отображение m ! gm непрерывно.

Замечание 16.5. Аналогичным образом определяется действие группы G на объекте категории C. Действием группы на X 2 Ob(C) называется отображение G ! Mor(X; X) такое, что произведение элементов группы переходит в композицию морфизмов.

Определение 16.6. Пусть G группа, действующая на топологическом пространстве M. Факторпространством по действию группы называется пространство классов эквивалентности M= , где x y, если x и y лежат в одной орбите G. Также факторпространство называют

пространство орбит действия G.

Часть III. Лекции по топологии

Задача 16.1. Пусть M хаусдорфово, а G группа, непрерывно действующая на M. Всегда ли факторпространство M=G хаусдорфово?

Замечание 16.7. Пусть G группа, действующая на топологическом

пространстве M. Тогда естественная проекция M ! M=G является открытым отображением. В самом деле, пусть U открытое множество, а GU объединение всех точек вида gu, g 2 G, u 2 U. Тогда GU объединение открытых множеств вида gU, и оно открыто. Поскольку1( (U)) = GU, образ (U) открыт в M=G.

16.2. Категория накрытий

~

Определение 16.8. Пусть M, M топологические пространства, а :

каждой точки x 2 M, есть окрестность U 3 x такая, что 1(U) гомеоморфно U S, где S топологическое пространство с дискретной топо-

Замечание 16.9. Легко видеть, что любое накрытие этально (проверьте это).

Замечание 16.10. Пусть U X открытое подмножество, которое не является замкнутым. Отображение вложения j : U ! X этально, но не является накрытием (проверьте).

что слой 1(x) равномощен 1(y), для любых x; y 2 M.

Пример 16.11: Отождествим окружность S1 с одномерным тором R=2 Z. Естественная проекция R ! S1 является накрытием (докажите). Проекция Rn на тор T n = Rn=Zn также является накрытием (докажите это).

Лекция 16: Накрытия Галуа

Определение 16.12. Пусть G группа, действующая на топологическом пространстве M. Говорится, что действие G вполне разрывно, если у каждой точки x 2 M есть окрестность U такая, что U \ gU = ? для любого g 2 G такого, что g действует не тождественно в окрестности

U.

Утверждение 16.13: Пусть G группа, вполне разрывно действую-

щая на топологическом пространстве M. Тогда проекция M ! M=G является накрытием.

Доказательство: Пусть x 2 M любая точка, а U 3 x окрестность, удовлетворяющая U \ gU = ? для любого g 2 G такого, что g(x) 6= x. Поскольку открыто, U := (U) окрестность (x). Естественная проекция : U ! U по построению биективна и непрерывна. Поскольку каждое открытое подмножество U1 U получается как образ открытого подмножества вида GU1, где U1 U (Замечание 16.7), : U ! U гомео-

1

морфизм. Поэтому проекция M ! M=G этальна. Поскольку (U) объединение непересекающихся открытых множеств вида gU, где g 2 G, эта проекция является накрытием.

Пример 16.14: Примеры вполне разрывного действия группы на топологическом пространстве приведены выше (R ! S1, Rn ! T n). Подобных примеров можно изобрести немало.

Задача 16.3. Пусть M группа верхнетреугольных матриц (матриц, у которых на диагонали 1, ниже диагонали 0), а множество верхнетреугольных матриц с целыми коэффициентами. Докажите, что группа. Рассмотрим действие на M по формуле (m) = m, где обозначает умножение матриц. Докажите, что это действие вполне разрывно.

Часть III. Лекции по топологии

диаграмм

в вершинах которой стоят объекты категории, а стрелочки обозначают морфизмы. Говорится, что эта диаграмма коммутативна, если морфизм, полученный композицией стрелочек, идущих из одного объекта в другой, не зависит от выбора пути по стрелочкам.

В частности, диаграмма (16.2.1) коммутативна тогда и только тогда, когда 0 = .

Замечание 16.16. Накрытия пространства M образуют категорию. Объекты этой категории накрытия M, а морфизмы определены выше. Ассоциативность композиции морфизмов и существование тождественного морфизма очевидны (проверьте это).

~ ~ 0 M ~ ~ 0

Замечание 16.17. Множество морфизмов из M в M обозначается or(M; M ). Когда надо подчеркнуть зависимость от M, пишут

~

оно расщепляется, если M = M V , где V множество с дискретной топологией, и это разложение совместимо с проекцией в M. Расщепляющееся накрытие также называют тривиальным.

~

Определение 16.19. Пусть M ! M накрытие. Если U M

(проверьте). Оно называется ограничением накрытия на U. Ограничение накрытия на достаточно малое открытое множество U M тривиально, по определению накрытия. Это свойство часто выражают, говоря, что накрытие локально тривиально, а чтобы уточнить, что локальность понимается как локальность по M говорят, что оно локально тривиально по базе, или локально тривиально по M.