top-book

Лекция 6: Произведение пространств

ба. Но для общего A доказательство компактности [0; 1]A имеет другую природу, и кажется совершенно неправдоподобным.

Андрей Николаевич Тихонов (1906 1993)

Тихонов доказал свою теорему в 1924-м году (ему было тогда 18 лет). В том же 1924-м году он доказал теорему о метризации любое хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, которое нормально (то есть удовлетворяет аксиоме Хаусдорфа Т4) метризуемо. Этот результат был немедленно (в 1925-м году) опубликован в Mathematische Annalen, тогда же вошел в переиздание учебника Хаусдорфа и стал широко известен.

Теорема Тихонова не была опубликована вплоть до 1930-го года, а ее полная версия (любое произведение компактов компактно), также известная Тихонову, не была опубликована им никогда: ее доказал неза-

ˇ

висимо от Тихонова чешский математик Эдуард Чех (Eduard Cech) в

Часть III. Лекции по топологии

1937-м году.

Дело в том, что среди старших товарищей Тихонова много лет никто не верил, что подобное утверждение может быть вообще верно. Теорема Тихонова (и его работа 1930-го года с публикацией) самая цитируемая и знаменитая теорема общей топологии. Но в 1920-х и начале 1930-х, когда Тихонов занимался чистой математикой, он был знаменит в основном работами о метризации.

Причина этого, видимо, лежит в парадоксальности самого понятия тихоновской топологии на произведении топологических пространств. Сейчас свежесть и необычность этого определения не ощущается, но в 1924-м году оно было в полной мере революционным.

Лекция 7: Теорема о метризации

Лекция 7:

Теорема о метризации

7.1. Нормальные топологические пространства

Определение 7.1. Топологическое пространство M называется нормальным, если любые два непересекающихся замкнутых подмножества A и B M имеют непересекающиеся окрестности.

Замечание 7.2. Напомним, что аксиома Хаусдорфа утверждает что любые две разные точки топологического пространства имеют непересекающиеся окрестности. Если все точки пространства замкнуты, то из нормальности вытекает хаусдорфовость. Пространство удовлетворяет аксиоме Т4, если оно нормально и хаусдорфово.

Определение 7.3. Пусть U; V два подмножества топологического пространства, причем замыкание U лежит в V . Это отношение обозначается так: U b V .

Замечание 7.4. Нормальность топологического пространства равносильнa такому свойству. Пусть U A – окрестность замкнутого множества A. Тогда есть окрестность V A такая, что V b U. Возьмем B := MnU, и воспользуемся определением нормальности. Это даст окрестность V A, которая не пересекается с некоторой окрестностью W B. Дополнение к W замкнуто, содержит V , и содержится в U, поэтому замыкание V тоже содержится в U.

Замечание 7.5. Пусть U0 b U1 два открытых множества в нормальном топологическом пространстве. Тогда существует открытое множество U1=2, с U0 b U1=2 b U1. Действительно, возьмем в качестве A замыкание U0, и воспользуемся предыдущим замечанием.

Замечание 7.6. Пусть M метрическое пространство. Тогда M нормально и хаусдорфово. Действительно, пусть A, B непересекающиеся

Лекция 7: Теорема о метризации

U1=2 b U1, потом возьмем U1=4 такое, что U0 b U1=4 b U1=2 и U3=4 такое, что U1=2 b U3=4 b U1. Воспользуемся индукцией. Получим, что для каждого двоично-рационального числа1 2 [0; 1] выбрано множество U , открытое при > 0, причем для < , имеем U b U .

<

(проверьте это). Это множество очевидно открыто. Аналогично,

>

а это множество, очевидно, замкнуто. Мы доказали лемму Урысона.

Замечание 7.10. Если в пространстве верна лемма Урысона, оно нормально (докажите).

1Напомним, что двоично-рациональным числом называется рациональное число вида 2nm , где n; m целые.

Часть III. Лекции по топологии

7.3. "Создатель советской топологии"

Основные результаты общей топологии принадлежат "московской школе топологии" Урысону, Александрову и Тихонову, которые провели начало и середину 1920-х годов, решая проблему метризации топологических пространств, и изучая компактные пространства.

П. С. Александров был учеником Н. Н. Лузина, специалиста по теории функций действительного переменного. В конце 1910-х годов, Лузин занимался общими вопросами теории множеств. В 1917-м году Лузин предложил Александрову доказать общую форму континуум-гипотезы (о несуществовании множеств мощности, промежуточной между X и 2X ). Сейчас известно, что ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание не следует из аксиом теории множеств. Александров провел немало времени, записывая доказательство этого утверждения, как оказалось неправильное. После того, этой катастрофы, Александров бросил математику, и стал режиссером.

Проведя несколько лет в занятиях театром и литературной деятельностью, Александров вернулся в Москву и поступил в аспирантуру. Там он встретился с П. С. Урысоном, студентом на 2 года его младше.

После возвращения в Москву Александров продолжил занятия функциями действительного переменного, популярные в Москве. Урысон принадлежал к другому поколению. Начав свое образование как физик, он опубликовал свою первую статью, о рентгеновском свечении, в 1915-м году, 17-ти лет, но в скором времени заинтересовался математикой. Защитив диссертацию по интегральным уравнениям, Урысон, по совету Д. Ф. Егорова, занялся топологией, и провел 1921 и 1922 годы, разрабатывая теорию размерности для общего метрического пространства.

Урысон пытался объединить абстрактные топологические конструкции Хаусдорфа с геометрическими идеями, почерпнутыми у Пуанкаре, и немало преуспел в этом сам предмет теоремы о метризации состоит в нахождении геометрической структуры на абстрактном топологическом пространстве.

В 1921-22 годах Урысон читал в Московском Университете курс, под названием "Топология континуума", на котором приобщал московскую математическую общественность к топологии, и приобщил; П. С. Александров называет Урысона "создателем советской топологии". Тогда же Урысон стал, на краткое время, научным руководителем А. Н. Колмогорова (Колмогорову было 18 лет, но он успел прославиться, найдя контр-

Лекция 7: Теорема о метризации

пример к одной из задач Н. Н. Лузина).

Кисследованиям Урысона вскоре присоединился и сам Александров,

ив 1923-м году Александров и Урысон написали совместную работу, где дали определение компактного пространства (в терминологии того времени "бикомпактного"; русские специалисты по общей топологии до сих пор иногда используют это слово).

1923-й и 1924-й годы Александров и Урысон провели в поездках заграницу. Деньги на эти поездки они зарабатывали, читая в Москве, Воронеже, Смоленске и других городах публичные лекции по теории относительности Эйштейна. Выгодное соотношение курса червонца к западным валютам привело к тому, что денег от 20 лекций хватало для полугодичной поездки по научным центрам Европы, и длительных пешеходных экспедиций.

За 2 года, оставшиеся до его смерти в 1924-м году (Урысон утонул в море у берегов Бретани), Урысон доказал теорему о метризации нормальных пространств со счетной базой; для доказательства этой теоремы он изобрел лемму, названную его именем.

Последней работой Урысона была статья об универсальном метрическом пространстве (универсальном пространстве Урысона), в которое изометрически вкладывается любое метрическое пространство ограниченной мощности и диаметра.

Лемма Урысона считается важнейшим результатом общей топологии, наряду с теоремой Тихонова о компактности произведения компактных пространств. Условие нормальности, которое требуется в лемме Урысона, совсем не ограничительно: как будет видно из следующей лекции, любое компактное, хаусдорфово пространство нормально.

Из леммы Урысона следует чрезвычайно полезная теорема Титце о продолжении (Tietze extension theorem): если A M замкнутое подмножество нормального топологического пространства, а f : A ! [0; 1]непрерывная функция на A, ее можно продолжить до непрерывной

функции F : M ! [0; 1] такой, что F = f.

A

Для доказательства этой теоремы требуется равномерная сходимость функций: надо записать f как сумму ряда, составленного из функций

P

fi : M ! [0; i], i < 1, постоянных на замкнутых подмножествах A, и продолжить каждую из этих функций до функции из M в [0; i] по лемме Урысона.

Часть III. Лекции по топологии

Павел Самуилович Урысон (1898 1924)

7.4.Нормальные пространства и нуль-множества

Пусть M топологическое пространство. Напомним, что M удовлетворяет аксиоме Т6, если оно хаусдорфово, нормально и каждое замкнутое подмножество в M получается как пересечение счетного числа своих окрестностей.

Утверждение 7.11: Любое хаусдорфово, нормальное пространство M со счетной базой удовлетворяет Т6.

Доказательство

Шаг 1: Пусть fUig множество всех элементов из счетной базы топологии M таких, что замыкание каждого Ui не пересекается с A. Выведите

S

из нормальности, что i Ui = MnA.

Лекция 7: Теорема о метризации

Шаг 2: Возьмем, для каждого Ui, открытое множество Vi := MnUi, где Ui – замыкание Ui. Пересечение всех Vi содержит A, поскольку Ui не пересекаются с A. С другой стороны,

Мы доказали, что в M выполняется аксиома Т6.

Теорема 7.12: Пусть M нормальное топологическое пространство, а A M замкнутое подмножество. Тогда следующие свойства равносильны.

(i)Множество A можно получить как пересечение счетного числа открытых окрестностей Wi A.

(ii)Существует непрерывная функция f : M ! [0; 1] такая, что A = f 1(0).

Доказательство: Из утверждения (ii) легко следует (i). Действительно, A = Ti f 1([0; 21i [), а все эти множества открыты. Следствие (i) ) (ii) можно получить, немного видоизменив аргумент, доказывающий лемму Урысона. Возьмем в качестве B пустое множество, и пусть V1 V2

функция Урысона, построенная по набору fU g, и принимающая значение 0 на A. Тогда f 1([0; 21i [) Vi, а значит

Часть III. Лекции по топологии

Определение 7.13. Пусть A M замкнутое подмножество, такое, что для некоторой непрерывной функции f : M ! [0; 1] имеем A = f 1(0). Тогда A называется нуль-множеством.

Таким образом, аксиома Т6 для топологического пространства M равносильна тому, что M нормально, хаусдорфово, а всякое замкнутое подмножество M является нуль-множеством.

7.5. Теорема Урысона о метризации

Пусть M нормальное, хаусдорфово топологическое пространство. Тогда для любых двух разных точек x; y 2 M найдется функция Урысона fx;y : M ! [0; 1], принимающая 0 на x, и 1 на y.

Возьмем в качестве множества индексов множество I = M Mn , где это диагональ. Функции fx;y задают отображение

в тихоновский куб; по определению топологии произведения, оно непре-

Q

рывно. Поскольку fx;y(x) 6= fx;y(y), отображение F := (x;y)2I fx;y инъективно.

Это утверждение не очень полезно. Из инъективности F не следует, что M гомеоморфно образу F . Также, тихоновский куб [0; 1]I не метризуем, если I несчетно.

Немного видоизменив этот аргумент, можно добиться и того, и другого.

Теорема 7.14: Пусть M нормальное, хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой. Тогда существует непрерывное, инъек-

тивное вложение N в счетное произведение отрезков. Более

M ,! [0; 1]

того, является гомеоморфизмом M на его образ.

Замечание 7.15. Из теоремы 7.14 немедленно следует теорема Урысона о метризации: любое нормальное, хаусдорфово топологическое пространство M со счетной базой метризуемо. Действительно, M гомеоморфно подмножеству тихоновского куба [0; 1]N, а тихоновский куб метризуем, ибо он гомеоморфен гильбертову кубу (об этом см. предыдущую лекцию).