top-book

Лекция 6: Произведение пространств

невырожденность: ( ; ) = 0 , = = 0

субаддитивность: (x + y) (x) + (y)

монотонность: (a; b) (a1; b1), если a a1, а b b1.

Тогда

d ((x; x0); (y; y0)) := (d(x; y); d0(x0; y0))

задает метрику на M M0.

Доказательство: Симметричность d следует прямо из определения, а невырожденность из невырожденности . Неравенство треугольника выводится так:

d ((x; x0); (z; z0)) = (d(x; z); d0(x0; z0))

(d(x; y) + d(y; z); d0(x0; y0) + d0(y0; z0))

(d(x; y); d0(x0; y0)) + (d(y; z); d0(y0; z0)) = d ((x; x0); (y; y0)) + d ((y; y0); (z; z0)):

(первое неравенство следует из монотонности, второе из субаддитивности).

на произведении метрических пространств. Такая метрика называется метрикой произведения. Легко видеть, что R R R ::: изометрично

Rn.

p

Вместо x2 + y2 можно рассматривать другие функции, например1(x; y) := max(x; y) и 1(x; y) := x + y. Проверьте, что эти функции тоже задают метрику на M M0.

Задача 6.3. Пусть a; b 2 R 0. Докажите следующие неравенства.

p p

a2 + b2 a + b 2 a2 + b2:

max(a; b) a + b 2 max(a; b):

Часть III. Лекции по топологии

Из первого неравенства следует, что тождественное отображение

липшицево, и обратное ему тоже липшицево. Значит, (6.3.1) является гомеоморфизмом. Из второго неравенства следует, что тождественное отображение (M M0; d 1) ! (M M0; d 1 ) тоже является гомеоморфизмом.

Задача 6.4 (*). Будет ли тождественное отображение

(M M0; d 2 ) ! (M M0; d )

липшицевым для любой функции : (R 0)2 ! R 0, которая монотонна, выпукла и невырождена? Будет ли оно всегда гомеоморфизмом?

Из определения ясно, что открытые шары в (M M0; d 1) имеют вид Br(x) Br(x0). Такие шары, очевидно, открыты в топологии произведения, и поэтому тождественное отображение

M M0 ! (M M0; d 1)

является непрерывным. Обратное отображение непрерывно в силу Утверждения 6.7, поскольку непрерывны проекции (M M0; d 1) ! M и (M M0; d 1) ! M0 (обе эти проекции липшицевы).

6.4. Полуметрики и полунормы

Определение 6.9. Пусть d : M M ! R 0 функция, удовлетворяющая следующим условиям

Рефлексивность: d(x; x) = 0

Симметричность: d(x; y) = d(y; x)

Неравенство треугольника: d(x; y) d(x; z) + d(z; y)

для любых точек x; y; z 2 M. Тогда d называется полуметрикой ("semimetric").

Лекция 6: Произведение пространств

От определения метрики это отличается только отсутствием условия невырожденности: d(x; y) = 0 ) x = y.

Отметим, что условие d(x; y) = 0 задает на M отношение эквивалентности, что следует из неравенства треугольника (проверьте). Более того, если d(x; y) = 0, то

d(z; x) + d(x; y) d(y; z); d(z; y) + d(y; x) d(z; x);

в силу неравенства треугольника. Первое неравенство дает d(z; x) d(y; z), а второе дает d(z; x) d(y; z), поскольку d(x; y) = 0. Получаем, что d корректно определена на множестве M классов эквивалентности по отношению d(x; y) = 0. Эта функция является метрикой (проверьте). Мы получили следующее утверждение

Утверждение 6.10: каждое пространство (M; d) с полуметрикой наделено сюръективным отображением : M ! M в метрическое пространство (M; d), при этом

Начав с произвольного отображения : M ! M из множества M в метрическое пространство (M; d), определим на M функцию d по формуле (6.4.1). Это будет полуметрика (проверьте). Из Утверждения 6.10 следует, что любая полуметрика получается таким образом.

В геометрии линейных пространств, похожим образом определяются полунормы.

Определение 6.11. Пусть V векторное пространство над R, а : V ! R 0 функция со значениями в неотрицательных числах. Функцияназывается полунормой на V , если имеет место следующее

Неравенство треугольника: (v + v0) (v) + (v0).

Инвариантность относительно гомотетии: ( v) = j j (v),

для любых v, v0 2 V , и любого 2 R.

Лекция 6: Произведение пространств

Доказательство: Множества 1(U) открыты в силу непрерывности, и порождают слабейшую топологию, в которой все непрерывны. Пересечение таких множеств имеет вид

\

i

а конечные пересечения множеств из предбазы образуют базу (докажите это).

Определение 6.14. Построенная выше топология на MI называется

тихоновской топологией, или топологией произведения.

Задача 6.5. Пусть M хаусдорфово топологическое пространство. Докажите, что MI хаусдорфово.

Утверждение 6.15: Пусть (M; d) метрическое пространство. Для каждого индекса 2 I, определим полуметрику d на MI по формуле d (x; y) = d( (x); (y)). Рассмотрим топологию U1, определенную на M системой полунорм d . Тогда эта топология совпадает с тихоновской.

Доказательство: Предбазой для топологии U1 являются множество открытых шаров вида Br;d (x). Очевидно,

Br;d (x) = 1(U);

где U = Br( (x)) это открытый шар в M (докажите это). Поэтому предбаза для топологии U1 является предбазой для тихоновской топологии, и эти две топологии совпадают.

Часть III. Лекции по топологии

Определение 6.16. Пусть (M; fd g) пространство с семейством полуметрик, а fxig последовательность точек в M. Мы говорим, что fxig

последовательность Коши относительно этого семейства полуметрик, если для каждого индекса , и для каждого " > 0, почти все элементы fxig лежат в "-шаре B";d (x). Мы говорим, что (M; fd g) полно, если каждая последовательность Коши имеет предел в топологии, заданной полуметриками.

Теорема 6.17: Пусть M полное метрическое пространство, а I некоторый набор индексов. Рассмотрим MI с тихоновской топологией, и полуметриками, заданными выше. Тогда MI полно.

Доказательство: Пусть fxig 2 MI последовательность Коши. Отождествляя MI с Map(I; M), как выше, мы можем рассматривать xi как отображения I x!i M. По определению, fxig является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда для каждого индекса 2 I, образы fxi( )g задают последовательность Коши в M. Поскольку M полно, последовательность Коши fxi( )g сходится к элементу

x

x( ) 2 M. Это задает отображение I ! M, которое и будет пределом fxig.

Из этого доказательства ясно, что последовательность

fxig 2 Map(I; M)

x

сходится к I ! M в тихоновской топологии тогда и только тогда, когда последовательность fxi( )g сходится для любого индекса . Поэтому тихоновскую топологию называют еще топологией поточечной сходимости, и топологией почленной сходимости.

Когда M = R, а I = N (множество натуральных чисел), MI это множество последовательностей вещественных чисел, с топологией почленной сходимости. Эту топологию часто называют слабой топологией.

Слабую топологию открыл венгерский математик Фридьеш Рисс. Довольно рано стало ясно, что ее невозможно задать никакой нормой.

Обнаружив это, Рисс придумал в 1909-м году определение топологического пространства (независимое от нормы и метрики), основанное на

Лекция 6: Произведение пространств

Frigyes Riesz (1880 1956)

понятии замыкания. Таким образом появилось первое определение топологического пространства. Впоследствии идеи Рисса развил Хаусдорф, получив современное определение топологического пространства.

6.6. Пространства Фреше

Определение 6.18. Пусть V векторное пространство, на котором задана топология U. Пространство (V; U) называется топологическим векторным пространством, если x; y ! x + y непрерывно как отображение V V ! V , и для любого ненулевого 2 R, отображение x ! x задает гомеоморфизм из V в V .

Топология на топологическом векторном пространстве не обязательно задается нормой (даже если у пространства есть счетная база). Во многих случаях, топология задается не нормой, а системой полунорм. Есть и более экзотические способы задания топологии.

Лекция 6: Произведение пространств

n2-липшицево (докажите), проекции n непрерывны на Ih.

'

Шаг 2. Для любого топологического пространства X, отображение X ! It непрерывно тогда и только тогда, когда композиция ' i непрерывна для всех i (это следует из определения тихоновского куба; см. также доказательство Утверждения 6.7).

Поскольку проекции n : Ih ! [0; 1] непрерывны (Шаг 1), тождественное отображение Ih ! It непрерывно.

Шаг 3.

Лемма: Пусть (M; fd g) пространство с топологией, заданной системой полуметрик fd g, а d (x; ) : M ! R функция, которая переводит y в d (x; y). Тогда функция d (x; ) непрерывна.

Доказательство: Открытый шар Br;d (x) открыт по определению. Замкнутый шар

замкнут, поскольку каждая точка y, которая ему не принадлежит, принадлежит открытому шару B";d (x), для любого " < d(y; x) r. Поэтому прообраз любого открытого отрезка

d (x; ) 1(] ; [)

открыт (это дополнение открытого шара до замкнутого).

Шаг 4. Пусть v = fxig 2 [0; 1]N любая последовательность. Рассмотрим функцию v : It ! R,

где dk(fxig; fyig) = jxk ykj. Поскольку dk это k-я полуметрика, используемая для определения тихоновской топологии, функция

fyig ! dk(fxig; fyig)

непрерывна в силу леммы, доказанной в Шаге 3. Поэтому функция v тоже непрерывна.

Часть III. Лекции по топологии

Шаг 5.

Лемма: Пусть f : X ! M отображение из топологического пространства в метрическое пространство (M; d). Для любой точки z 2 M, рассмотрим функцию dz : M ! R 0, dz(x) := d(z; x). Тогда f непрерывна тогда и только тогда, когда композиции f dz : Z ! R непрерывны для всех z.

Доказательство: Функции dz непрерывны, ибо они 1-липшицевы. Поэтому если f непрерывна, то композиции f dz тоже непрерывны. С

другой стороны,

(f dz) 1([0; [) = f 1(B (z));

поэтому из непрерывности f dz следует открытость f 1(B (z)), что влечет непрерывность f.

Шаг 6. Рассмотрим тождественное отображение It ! Ih. Непрерывность 1 доказана на шаге 1, поэтому чтобы убедиться, что это гомеоморфизм, достаточно доказать, что это отображение непрерывно. В силу леммы из Шага 5, для этого достаточно доказать, что функция dh(v; ) : It ! R непрерывна, для любого v = fxig 2 [0; 1]N. Эта функция может быть явно записана как

и на шаге 4 мы доказали, что она непрерывна. Теорема 6.22 доказана. Тихоновский куб гомеоморфен гильбертову!

6.8. История, замечания

Я называл "тихоновским кубом" пространство [0; 1]N произведение счетного числа интервалов. Но никто не мешает нам взять в качестве множества индексов любое множество A, например несчетное. Пространство [0; 1]A с тихоновской топологией тоже называется тихоновским кубом. Оно компактно.

Для [0; 1]N этот удивительный факт, который называется теоремой Тихонова, можно вывести из гомеоморфизма [0; 1]N и гильбертова ку-