top-book

Часть III. Лекции по топологии

Замечание 14.12. Можно проверить, что это равносильно следующему: F задает биекцию на классах изоморфизма объектов, и биекцию

Mor(X; Y ) ! Mor(F (X); F (Y )).

Saunders Mac Lane

(1909-2005)

С точки зрения теории категорий, эквивалентные категории неразличимы.

Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий

14.2. Теория категорий: история, замечания

Категории были изобретены топологами Самуэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном в 1942-45 годах, для употребления в топологии. Эйленберг и Маклейн заметили, что алгебраические инварианты топологических пространств (такие, как фундаментальная группа) являются функторами. Также функторами являются различные естественные конструкции в топологии, например, "пространство петель", сопоставляющее пространству M пространство отображений C(S1; M) (Лекция 11). Эйленберг и Маклейн обнаружили, что алгебраическую топологию гораздо проще изучать, если абстрагироваться от геометрической стороны дела. Несмотря на кажущуюся абстрактность, условие функториальности того или иного отображения во многих случаях достаточно для доказательства единственности и для его явного вычисления, и дополнительные геометрические детали только затрудняют работу.

Основным алгебраическим инвариантом топологического пространства является группа когомологий; к середине 1940-х, топологи знали

сдесяток разных геометрических определений когомологий, но работать

сними было неловко, потому что эквивалентность доказывать не умели. Эйленберг и Маклейн, а в 1950-е Эйленберг и Стинрод определили когомологии в терминах категорий, таким образом, что проверить различные свойства когомологий оказалось очень просто.

В конце 1950-х теория категорий легла в основу алгебраической геометрии, разработанной А. Гротендиком, Ж. Дьедонне и группой Бурба-

´

ки, в книге "El´ements de g´eom´etrie alg´ebrique" и других книгах, и стала основным языком современной математики, без которого не обходится ни одна область, развившаяся после 1960-х.

В терминах категорий можно определить довольно много математических конструкций, не прибегая к "множествам", и их "элементам". Например, произведение объектов A и B категории C можно определить как такой объект A B, что функтор X ! Mor(X; A B) из C в категорию множеств эквивалентен функтору X ! Mor(X; A) Mor(X; B).

Многие математики предлагают отказаться от теории множеств в изложении основ математики, и использовать вместо нее аксиоматическую теорию категорий.1 Впрочем, сама теория категорий не свободна от

1Первым тут был, видимо, Ловир (F. W. Lawvere), предложивший категории в качестве фундамента математики в своей диссертации в 1963-м году; с тех пор эту точку зрения разнообразно развивали и логики, и специалисты по категориям.

Часть III. Лекции по топологии

Samuel Eilenberg

(1913-1998)

теоретико-множественных трудностей, которые связаны с тем, что Ob(C) для большинства категорий (для категории множеств, например) не множество, а класс.

Следуя Гротендику и Вердье, теоретико-множественные трудности в определении категории обыкновенно обходят следующим способом. Малой категорией называется такая категория, у которой Ob(C) и Mor(X; Y )множества. Вместо категории "всех" (множеств, пространств, колец и так далее) рассматривают категорию множеств, пространств, колец и так далее, с мощностью, ограниченной некоторым (раз и навсегда выбранным) кардиналом, который называется универсумом Гротендика, и определяется аксиоматически. Пользуясь аксиомами универсума, легко видеть, что каждая категория с объектами малой мощности эквивалентна малой категории.

К сожалению, существование универсума равносильно существова-

Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий

Alexander Grothendieck

(род. 28 марта 1928)

нию сильно недостижимых кардиналов в теории множеств. Подобная аксиома независима от аксиом ZFC (Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора). Непротиворечивость ZFC равносильна непротиворечивости ZFC, где дополнительно постулировано несуществование сильно недостижимых кардиналов. Из существования сильно недостижимых кардиналов можно вывести непротиворечивость ZFC в рамках самой ZFC, поэтому непротиворечивость аксиомы универсума строго сильнее, чем ZFC.

14.3. Булевы кольца и булевы алгебры

Определение 14.13. Идемпотент в кольце элемент, удовлетворяющий соотношению x2 = x. Булево кольцо кольцо (коммутативное, с единицей), где любой элемент является идемпотентом.

Замечание 14.14. Отметим, что в булевом кольце выполнено соотно-

Часть III. Лекции по топологии

шение 2x = 0 для любого x. Действительно,

0 = (x + 1)2 x 1 = (x2 x) + 2x = 2x:

Булевы кольца чрезвычайно важны в логике и информатике, ибо категория булевых колец эквивалентна категории булевых алгебр, то есть алгебр логических высказываний.

Определение 14.15. Пусть A множество, наделенное бинарными операциями ^ (коньюнкция, "и"), _ (дизъюнкция, "или"), и : (негация, "не"), и выделены элементы 1 ("истина") и 0 ("ложь"). A называется булевой алгеброй, если выполнены следующие условия.

ассоциативность: a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c, a _ (b _ c) = (a _ b) _ c

коммутативность: a ^ b = b ^ a, a _ b = b _ a

дистрибутивность: a^(b_c) = (a^b)_(a^c), a_(b^c) = (a_b)^(a_c)

абсорбция: a _ (a ^ b) = a, a ^ (a _ b) = a

дополнительность: a _ :a = 1, a ^ :a = 0.

Замечание 14.16. Этим условиям, очевидно, удовлетворяет любой набор логических утверждений, которые могут принимать значения “истинно” и “ложно”. Логические операции ("и", "или", "не") превращают такой набор утверждений в булеву алгебру.

Замечание 14.17. Пусть A булева алгебра. Зададим на A умножение и сложение следующим образом: a b := a ^ b, a + b := (a _ b) ^ :(a ^ b) (сумма соответствует "симметрической разности", или, что то же самое, "исключающему или"). Полученные операции удовлетворяют аксиомам кольца (это ясно из ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности; проверьте). Ноль и 1 играют роль 0 и 1, а соотношение a2 = a следует из аксиомы дополнительности a+:a = 1, которая (после домножения на a) влечет

^ a + ^ :a = a

применив ^ :a = 0 (дополнительность), обретем a2 = a. Мы получили функтор F из категории булевых алгебр в категорию булевых колец.

Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий

Теорема 14.18: Этот функтор эквивалентность категорий.

Доказательство: Чтобы доказать, что F : C ! C1 эквивалентность, надо построить обратный функтор G, то есть из каждого булева кольца произвести булеву алгебру. Делается это весьма просто: если A булево кольцо, операции :; ^; _ определяются формулами :a = 1 a, a^b = ab, a_b = ab+a+b. Аксиомы булевой алгебры проверяются непосредственно (проверьте их), а взаимная обратность F и G очевидна из конструкции.

Пример 14.19: Пусть M любое топологическое пространство, а R = C(M; F2) кольцо непрерывных функций на M со значениями в поле F2 из двух элементов. Тогда R булево кольцо. Оно называется кольцом открытозамкнутых подмножеств M, а соответствующая булева алгебра – алгеброй открытозамкнутых подмножеств.

Следующая простая лемма известна из Лекции 9.

Лемма 14.20: Пусть R булево кольцо, а I R максимальный идеал

вR. Тогда R=I F .

=2

Доказательство: Поскольку R состоит из идемпотентов, поле R=I тоже состоит из идемпотентов. Это значит, что все его элементы являются корнями многочлена x2 x = 0. По теореме Безу, многочлен степени m в поле не может иметь больше m разных корней, значит, R=I состоит из двух элементов.

Замечание 14.21. Похожий аргумент доказывает, что каждый простой идеал в булевом кольце максимальный. Действительно, пусть I Rпростой идеал. Тогда R=I кольцо без делителей нуля, все элементы которого идемпотенты. Для любого x 2 R=I, имеем x(1 x) = 0, значит, или x или 1 x равны 0.

14.4. Спектр Зариского для булева кольца

Определение 14.22. Пусть R булево кольцо, а Spec(R) – множество максимальных (или простых; в силу Замечания 14.21, все простые идеа-

Часть III. Лекции по топологии

лы в R максимальны) идеалов в R, снабженное топологией Зариского. Напомним, что база открытых множеств в топологии Зариского состоит из множеств

Af := fm 2 Spec(R) j f 2= mg;

где f 2 R какой-то элемент R. Пространство Spec(R) называется спектром, или пространством Зариского кольца R.

Замечание 14.24. Из этого немедленно вытекает, что все множества Af открытозамкнуты, и значит, Spec(R) вполне несвязно (докажите).

Замечание 14.25. Если x 6= y 2 Spec(R) максимальные идеалы, найдется f 2 x, f 2= y. В этом случае, Af , A1 f непересекающиеся окрестности x и y. Мы получили, что Spec(R) хаусдорфово.

Лемма 14.26: Пусть R кольцо, а Spec(R) – его пространство Зариского. Тогда Spec(R) компактно.

состоит из всех идеалов, содержащих f. Пусть I идеал, порожденный всеми f . Очевидно,

[\

M = Af , ? = Vf :

Поэтому никакой максимальный идеал не содержит всех f . Значит, I не содержится в максимальном идеале, и поэтому 1 2 I. Из этого следует, что 1 выражается в виде линейной комбинации конечного числа f :

n

X

1 = ifi; i 2 R:

i=1

Мы получаем, что

n

\

? = Vfi ;

i=1

Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий

а поэтому M = Sni=1 Afi . Мы доказали, что M = Spec(R) компактно.

Замечание 14.27. Мы доказали, что Spec(R) для любого булева кольца

– хаусдорфово, компактное, вполне несвязное топологическое пространство. Оно называется пространство Стоуна булева кольца.

Замечание 14.28. Соответствие

R ! Spec(R)

задает контравариантный функтор из категории булевых колец в категорию пространств Стоуна1 (докажите это).

Оказывается, что каждое пространство Стоуна M можно получить таким образом. Из Утверждения 14.32, доказанного ниже, следует, что M гомеоморфно спектру кольца C(M; F2) непрерывных функций на M со значениями в F2 = f0; 1g.

Лемма 14.29: Пусть M пространство Стоуна, а R = C(M; F2). Пусть m $ R некоторый идеал. Тогда все функции f 2 m имеют общий нуль в M (точку, где все эти функции зануляются).

Доказательство. Шаг 1. Если у m нет общего нуля, то

[

M = f 1(1):

f2m

Мы получили открытое покрытие M. Поскольку M компактно, из него можно выбрать конечное подпокрытие. Поэтому есть конечный набор f1; :::; fn 2 m такой, что M = Sni=1 fi 1(1).

Шаг 2. Каждый элемент f 2 R имеет вид U , где U = f 1(1), а Uхарактеристическая функция U. Поэтому есть такой набор открытых множеств Ui с Ui 2 m, что M = Sni=1 Ui.

1Напомним, что пространства Стоуна хаусдорфовы, компактные, вполне несвязные топологические пространства.

Часть III. Лекции по топологии

Шаг 3. U[V = U + V + U V . Пусть теперь W = Sni=1 Ui. Воспользовавшись индукцией, получим, что W = P ( U1 ; U2 ; :::), где P полином

без свободного члена.

Шаг 4. Мы получили, что 1 = M = P ( U1 ; U2 ; :::) = P (f1; f2; :::). Поэтому 1 лежит в идеале m. Противоречие! Значит, у m есть общий нуль.

Лемма 14.30: Пусть M пространство Стоуна, а R = C(M; F2) – кольцо непрерывных функций на M, со значениями в F2 = f0; 1g. Пусть m R максимальный идеал. Тогда у функций f 2 m есть единственный общий нуль (точка, где они все зануляются).

Доказательство: Существование общего нуля следует из Леммы 14.29. Пусть есть две несовпадающие точки x1 6= x2 2 M такие, что все f 2 m зануляются в x1 и x2. Поскольку непрерывные функции на M разделяют точки, гомоморфизм

R ! F2 F2; (f) = (f(x1); f(x2))

сюръективен (докажите). С другой стороны, (m) = 0, поскольку все элементы m зануляются в x1, x2. Это дает сюръективный гомоморфизм : R=m ! F2 F2. Но поскольку R=m = F2, это невозможно. Противоречие! Мы доказали единственность общего нуля максимального идеала.

Замечание 14.31. Лемма 14.30 дает биекцию Spec(R) ! M, где R = C(M; F2). Докажем, что эта биекция гомеоморфизм. База топологии на M задается открытозамкнутыми множествами, то есть множествами вида

Af = fx 2 M j f(x) = 1g:

Те же самые Af задают базу открытых подмножеств в Spec(R).

Мы доказали такое утверждение

Утверждение 14.32: Пусть M пространство Стоуна, а R = C(M; F2)

– кольцо непрерывных функций на M, со значениями в F2 = f0; 1g. Тогда M гомеоморфно Spec(R).