top-book

Лекция 9: Произведение компактов

James Waddell Alexander

(1888 1971)

Замечание 9.28. Отметим, что теорема Александера о предбазе влечет теорему Тихонова о компактности произведения (об этом ниже). Поэтому она равносильна аксиоме выбора.

Американский математик Джеймс Александер прославился в основном как один из основателей современной алгебраической топологии. Ему принадлежит изобретение симплициальных пространств и когомологий. Кроме того, Александер изучал теорию узлов, и немало ее развил. Он определил инвариант узлов, который сейчас называется его именем (инвариант Александера).

Александер происходил из очень влиятельной американской семьи и был миллионером. Несмотря на это, он был чрезвычайно левых взглядов. Когда в 1950-х годах в Америке начались гонения на социалистов, Александер стал одной из громких жертв преследований; в 1951-м году Александеру пришлось уйти из Принстонского Университета и Institute of Advanced Studies, где он работал. Александер дожил до 1971-го года фактическим отшельником, не появляясь на людях. Единственное пуб-

Лекция 9: Произведение компактов

Элементы предбазы, покрывающие часть произведения M1 M2

покрытием M . Поскольку M компактно, в U; есть конечное подпо-

Q

что M компактно.

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 10: Равномерная сходимость

10.1. Банаховы пространства

Определение 10.1. Пусть (V; ) пространство с нормой. Напомним, что (V; ) называется банаховым, если оно полно, как метрическое пространство.

Замечание 10.2. Предположим, что (V; 2) конечномерное пространство с евклидовой нормой, заданной как 2(v) = g(v; v), где g билинейная симметричная, невырожденная форма. В Лекции 2 мы доказали,

Id

что тождественный изоморфизм (V; ) ! (V; 2) является липшицевым, и обратное ему отображение тоже липшицево (такие отображения

Id

называются билипшицевыми). Из этого следует, что (V; ) ! (V; 2) переводит последовательности Коши в последовательности Коши. Поэтому (V; ) полно.

Мы доказали следующее утверждение

Утверждение 10.3: Любое конечномерное нормированное пространство1 банахово.

Отметим также, что единичный шар в (V; ) компактен. Действительно, он является замкнутым и ограниченным подмножеством в евклидовом пространстве (V; 2), что следует из билипшицевости тождественного

Id

отображения (V; ) ! (V; 2).

Следующая полезная теорема была доказана Ф. Риссом.

Пусть нормированное пространство, а 1 единичный

(V; ) B V

замкнутый шар в . Если 1 компактен, то конечномерно.

V B V

1Нормированное пространство пространство с нормой.

Лекция 10: Равномерная сходимость

тыми шарами радиуса 12 можно выбрать конечное подпокрытие. Пусть fx1; :::; xng центры шаров, которые составляют это подпокрытие. Тогда для каждого v 2 V , jvj 1, для какого-то xi имеет место jv xij < 12 .

Шаг 2: Следовательно, для каждого w 2 V , такого, что jwj , и для какого-то xi 2 fx1; :::; xng имеет место jw xij < 12 .

Шаг 3: Возьмем какой-то v 2 V , jvj 1. Выберем xi1 2 fx1; :::; xng такой, что jv xi1 j < 12 . Применив утверждение предыдущего шага к w = v xi1 , = 1=2, получим, что

Шаг 4: Мы доказали, что

1

v = X 2k1 1 xik :

k=1

Следовательно, v принадлежит линейной оболочке векторов fx1; :::; xng, которая таким образом должна содержать V целиком. Поэтому V конечномерно.

Пусть M топологическое пространство. Напомним, что функцию f : M ! R называют ограниченной, если supx2M jf(x)j < 1. Пусть Cb(M) пространство непрерывных, ограниченных, вещественнозначных функций на M. Пусть

jfj := sup jf(x)j:

x2M

Легко видеть, что это норма (докажите). Такая норма называется L1- нормой, или же sup-нормой на пространстве непрерывных, ограниченных, вещественнозначных функций.

Часть III. Лекции по топологии

Определение 10.4. Топология, определяемая sup-нормой на пространстве непрерывных, ограниченных функций Cb(M), называется топологией равномерной сходимости. Последовательность функций, которая сходится в такой топологии, называется равномерно сходящейся.

Теорема 10.5: Предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций непрерывен. Более того, пространство Cb(M) с supнормой банахово.

Доказательство. Шаг 1. Пусть ffig последовательность Коши ограниченных функций. Поскольку

jfi(y) fj(y)j sup jfi(x) fj(x)j;

x2M

для каждой точки y 2 M, ffi(y)g последовательность Коши. Поэтому fi поточечно сходятся к функции f : M ! R.

Шаг 2. Пусть ' : M ! R непрерывная функция, а ';" M R это объединение всех "-отрезков вида m ['(m) "; '(m) "]. Можно думать про ';" как про объединение графиков функций ' + c, где c 2 [ "; "]. Докажем, что множество ';" замкнуто. Для этого рассмотрим отображение = ' Id : M R ! R R. Легко видеть, что ';" =1(W ), где W замкнутое подмножество в R R, составленное из всех пар (x; y), таких, что jx yj ". Поскольку W замкнуто, а непрерывна,';" также замкнуто.

Шаг 3. Для каждого i, обозначим через "i число jf fij. График f лежит в замкнутом множестве fi;"i . Поскольку последовательность f"ig сходится к нулю, имеем

\

f = fi;"i : i

График функции f является пересечением замкнутых множеств, поэтому он замкнут.

Шаг 4. Поскольку функция f ограниченна, можно рассматривать ее как функцию f : M ! [ C; C]. Пусть : M [ C; C] ! M – обычная проекция. Легко видеть, что f 1([a; b]) = ( f \ M [a; b]). Поскольку проекция : M [ C; C] ! M имеет компактные слои, она замкнута (это было доказано на прошлой лекции). Поэтому f 1([a; b]) =

Лекция 10: Равномерная сходимость

( f \ M [a; b]) замкнуто, а значит, прообраз любого открытого интервала в [ C; C] открыт. Поскольку открытые интервалы являются базой топологии, f непрерывна. Мы доказали, что ffig равномерно сходится к непрерывной функции.

10.2. Примеры пространств Фреше

Пусть V топологическое векторное пространство, с хаусдорфовой топологией, заданной системой полунорм f g. Напомним, что V называется пространством Фреше, если каждая последовательность fxig, которая является последовательностью Коши относительно всех полунорм , сходится к x 2 V .

Пусть M локально компактное топологическое пространство, а Vпространство непрерывных функций на M. Для каждого компактного подмножества K M, рассмотрим полунорму на V ,

jfjK := sup jf(x)j:

x2K

Поскольку K компактно, а f непрерывно, имеем supx2K jf(x)j < 1. Эта система полунорм задает на V топологию, которая называется

топология равномерной сходимости на компактах. Легко видеть, что V является пространством Фреше (докажите).

Часть III. Лекции по топологии

Другой пример пространства Фреше получается, если рассмотреть пространство C1([0; 1]) гладких функций на отрезке. Рассмотрим, для каждого n, норму jfjCn , определенную следующим образом:

Легко видеть, что

j'jCn j'(k)jCn k

для любой n-кратно дифференцируемой функции '. (проверьте это). В частности, ffi(k)g последовательность Коши в Cn k-топологии, если ffig последовательность Коши в Cn.

Поскольку предел по C0-норме непрерывен, как было доказано выше, предел по Ck-норме k раз дифференцируемая функция. Действительно, fi будет k-кратной первообразной для fi(k), значит, f будет k-кратной первообразной для f(k) := lim fi(k) (чтобы получить это, докажите, что взятие первообразной перестановочно с взятием предела по равномерной сходимости).

Замечание 10.6. Мы получили, что пространство Ck([0; 1]) k раз дифференцируемых функций на [0; 1] полно относительно нормы j jCk . Действительно, пусть ffig – последовательность Коши относительно этой нормы. Поскольку j jCk j jC0 , из Теоремы 10.5 следует, что любая последовательность Коши в норме j jCk сходится к непрерывной функции. В силу вышесказанного, эта функция k раз дифференцируема.

Рассмотрим пространство C1([0; 1]) с системой норм, заданных Ci, i = 0; 1; 2; :::. В силу вышесказанного, если последовательность ffig сходится во всех этих нормах, предел этой последовательности гладкий. Поэтому C1([0; 1]) пространство Фреше.

10.3.sup-метрика на пространстве отображений

Определение 10.7. Пусть X топологическое пространство, Y – метрическое пространство. Отображение f : X ! Y называется ограни-

Лекция 10: Равномерная сходимость

ченным, если f(X) лежит в шаре Br(y) для какого-то y 2 Y , и r 2 R.

На множестве Mapb(X; Y ) ограниченных отображений из X в Y определена sup-метрика формулой d(f1; f2) := supx2X d(f1(x); f2(x)) (проверьте, что это метрика). Эта же метрика определяется на Cb(M) посредством sup-нормы (проверьте). Тот же самый аргумент, что доказывает Теорему 10.5 о банаховости Cb(M), доказывает полноту пространства Cb(X; Y ) непрерывных, ограниченных отображений. Для доказательства, надо убедиться, что последовательность Коши отображений ffig 2 Cb(X; Y ) сходится поточечно к отображению f 2 Mapb(X; Y ), а затем воспользоваться замкнутостью графика f, чтоб доказать его непрерывность. Для этого используется такая лемма.

Лемма 10.8: Пусть f : X ! Y отображение топологических пространств, причем график f X Y замкнут. Предположим, что Y компактно. Тогда f непрерывно.

Доказательство: Пусть X : X Y ! X отображение проекции. Для каждого замкнутого подмножества A Y ,

f 1(A) = X ( f \ X A):

Если Y компактно, то отображение X замкнуто (Лекция 9), поэтому множество

X ( f \ X A)

тоже замкнуто, а значит, f непрерывно (докажите).

Теорема 10.9: Пусть X топологическое пространство, Y полное метрическое пространство, а Cb(X; Y ) пространство непрерывных, ограниченных отображений, с sup-метрикой. Предположим, что любой замкнутый шар в Y компактен. Тогда Cb(X; Y ) полно.

Доказательство Теоремы 10.9.

Шаг 1: Поскольку d(f1(x); f2(x)) d(f1; f2), любая последовательность Коши ffig отображений поточечно сходится к ограниченному отображению f 2 Mapb(X; Y ). Для доказательства полноты Cb(X; Y ) осталось проверить, что f непрерывно.

Часть III. Лекции по топологии

Шаг 2: Предположим, что любой замкнутый шар в Y компактен. Тогда для любой последовательность Коши

ffig 2 Mapb(X; Y );

ffig целиком лежит в каком-то замкнутом шаре. Поэтому можно считать Y компактным, а значит, выполнено условие Леммы 10.8. Поэтому для доказательства непрерывности f достаточно убедиться в том, что его график замкнут.

Шаг 3: Пусть ' : X ! Y непрерывное отображение, где X топологическое пространство, а Y метрическое пространство. Обозначим через ';" X Y множество

';" = f(x; y) 2 X Y j d(f(x); y) "g:

Докажем, что ';" замкнуто. В самом деле, пусть : X Y ! Y Y отображает (x; y) в ('(x); y), а A" Y Y множество всех пар (y1; y2) таких, что d(y1; y2) ". Множество A", очевидно, замкнуто (проверьте), а ';" = 1(A"), значит, оно тоже замкнуто.

Шаг 4: Пусть "i = d(f; fi). Тогда

\

f = fi;"i i

(проверьте). Значит, f пересечение замкнутых множеств и оно замкнуто. В силу Шага 2, из этого следует непрерывность f. Мы доказали Теорему 10.9.

10.4. История, замечания

В 1821-м году Огюстен Коши опубликовал неправильное доказательство того, что поточечный предел непрерывных функций непрерывен. В скором времени, Абель и Фурье нашли контрпримеры к этому утверждению, a Дирихле обнаружил ошибку в доказательстве Коши.

Определение равномерной сходимости принадлежит, судя по всему, Кристофу Гудерманну (Christoph Gudermann). В 1841-м году ученик Гудерманна Карл Вейерштрасс опубликовал определение равномерной сходимости, и придумал немецкий термин "gleichm¨a ig konvergent", который