top-book

Лекция 12: Связные пространства

Поэтому U = f 1(U1), V = f 1(V1), причем U1 и V1 не пересекаются. Поскольку f открыто, U1 и V1 открыты и непусты.

Следствие 12.13: Пусть f : X ! Y открытое отображение со связными слоями, и Y связно. Тогда X связно.

Замечание 12.14. Из этого следует, что произведение связных пространств X и Y связно. Действительно, отображение проекции : X Y ! Y открыто (докажите) и имеет связные слои.

Замечание 12.15. Если f : X ! Y не открыто, то связность X не вытекает из связности Y и слоев f. В качестве примера, рассмотрим естественное отображение из R с дискретной топологией в R с обычной топологией. Слои этого отображения – точки, образ связен, но R с дискретной топологией, очевидно, несвязно.

Замечание 12.16. Компоненты связности топологического пространства замкнуты, потому что замыкание связного множества связно.

Определение 12.17. Топологическое пространство называется вполне несвязным, если все его связные подмножества точки.

Утверждение 12.18: Пусть M хаусдорфово топологическое пространство, у которого есть база топологии, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Тогда M вполне несвязно.

Доказательство: Пусть m 2 M. В силу хаусдорфовости, у каждой точки m1 6= m есть открытозамкнутая окрестность, не содержащая m. По-

T

этому fmg пересечение открыто-замкнутых множеств, fmg = U . Любое связное подмножество Z M, содержащее m, содержится в каждом из этих открыто-замкнутых множеств целиком (докажите). Поэтому

T

Z U = fmg.

Следствие 12.19: Пространство Zp p-адических чисел вполне несвязно. Действительно, каждый открытый шар в Zp замкнут (докажите это).

Задача 12.1. Все ли открытые подмножества Zp открытозамкнуты?

Замечание 12.20. Пусть M топологическое пространство, а

f : M ! X произвольное отображение. Рассмотрим на X такую

Лекция 12: Связные пространства

График f(x) = sin(1=x)

Поскольку 0 компактно, тоже компактно, а следовательно

Шаг 1: U Z

замкнуто.

Шаг 2: Поскольку замыкание (U0) пересекает f0g [ 1; 1], оно не содержится в f . Следовательно, (U0) содержит подмножество вида

f( ; sin(1= )) j 0 < < cg;

и его замыкание Z содержит отрезок f0g [ 1; 1] целиком.

n f g n

Шаг 3: Поскольку Z (U0) содержит 0 [ 1; 1], образ (U0 U0) содержит отрезок f0g [ 1; 1]. Но это невозможно, потому что множество

0n 0 конечно.

U U

Часть III. Лекции по топологии

Лекция 13: Вполне несвязные пространства

13.1. Примеры вполне несвязных пространств

Пусть M топологическое пространство. Напомним, что M называется вполне несвязным (totally disconnected), если любое подмножество M, взятое с индуцированной топологией, несвязно, если оно содержит больше одной точки M.

Напомним, что подмножество U M называется открытозамкнутым (clopen), если оно одновременно открыто и замкнуто.

Замечание 13.1. Конечное пересечение, конечное объединение, дополнение открытозамкнутых подмножеств снова открытозамкнуто.

Замечание 13.2. Пусть в топологическом пространстве M есть предбаза из открытозамкнутых множеств. Тогда в M есть база из открытозамкнутых множеств. Действительно, базу можно получить из предбазы взятием конечных пересечений (докажите).

Замечание 13.3. Предположим, что у хаусдорфова топологического пространства M есть база топологии, состоящая из открытозамкнутых множеств. Тогда оно вполне несвязно. Действительно, в этом случае у каждого подмножества Z M есть база из открытозамкнутых множеств. В случае, когда Z содержит более одной точки, Z содержит непустое и не совпадающее с Z открытозамкнутое множество (выведите это из хаусдорфовости M).

Замечание 13.4. Пусть M топологическое пространство, у которого есть база из открытозамкнутых множеств. Тогда тихоновское произведение MI для любого набора индексов I имеет базу из открытозамкнутых множеств (докажите). Поэтому оно вполне несвязно.

Задача 13.1. Докажите, что произведение вполне несвязных пространств вполне несвязно.

Лекция 13: Вполне несвязные пространства

Пример 13.5: Пусть M = f0; 1g множество из двух точек, с дискретной топологией (такое множество называется двоеточием). Произведение любого числа двоеточий компактно (по теореме Тихонова), хаусдорфово и вполне несвязно.

Замечание 13.6. Предположим, что (M; d) метрическое пространство, причем метрика d : M M ! R не принимает значений в ин-

тервале , где . Тогда замкнутый шар открытозамкнут.

] ; [ > B (x)

Действительно, +" , для любого такого, что 2 ,

B (x) = B (x) " + " ] ; [

а шар B +"(x) открыт.

Пример 13.7: Из этого немедленно следует, что пространство Zp p- адических целых чисел вполне несвязно. Действительно, p-адическая метрика принимает значения в множестве fps; s 2 Zg, и в силу предыдущего замечания любой шар в Zp открытозамкнут (докажите).

Задача 13.2. Докажите, что Z2 гомеоморфно f0; 1gN.

Пример 13.8: Легко видеть, что Q (множество рациональных чисел, с естественной топологией) вполне несвязно (докажите это) и некомпактно.

Задача 13.3. Найдите все компактные подмножества в Q.

13.2. Пространства Стоуна

Определение 13.9. Компактное, вполне несвязное, хаусдорфово топологическое пространство называется пространством Стоуна

(Stone space).

Лемма 13.10: Пусть M пространство Стоуна, а x; y 2 M две разные точки. Тогда у x и y есть непересекающиеся, открытозамкнутые окрестности.

T

Доказательство: Пусть Z = U пересечение всех открытозамкнутых подмножеств, содержащих x. Если Z не содержит y, какое-то открытозамкнутое подмножество U 3 x не содержит y, тогда его дополнение MnU содержит y, и мы получим, что у x и y есть непересекающиеся открытозамкнутые окрестности. Поэтому достаточно доказать, что

Z = fxg.

Часть III. Лекции по топологии

Marshall Harvey Stone

(1903 1989)

Шаг 1: Предположим, что Z 6= fxg. Поскольку Z пересечение замкнутых подмножеств M, оно замкнуто. Поскольку Z несвязно, Z есть объединение непересекающихся подмножеств Z = Zx FZ0, замкнутых в Z,1 где Zx содержит x, а Z0 не содержит x. Но коль скоро Z замкнуто, Zx, Z0 замкнуты в M (проверьте это).

Шаг 2: Поскольку M компактно и хаусдорфово, M нормально, то есть

1Обозначение X = Y FZ используется, чтобы указать, что X есть объединение непересекающихся множеств Y и Z.

Часть III. Лекции по топологии

множество не пересекается с Z0, и содержит x, по построению. Значит, пересечение всех открытозамкнутых окрестностей x не не пересекается с Z0. Мы пришли к противоречию, и доказали, что Z = fxg. Лемма 13.10 доказана.

Из этой леммы немедленно следует

Теорема 13.11: Пусть M пространство Стоуна. Тогда у M есть база топологии, состоящая из открытозамкнутых подмножеств.

Доказательство: Пусть T топология на M, а T1 топология, полученная из базы, состоящей из всех открытозамкнутых подмножеств M. Естественное отображение

Id

(M; T ) ! (M; T1)

биективно и непрерывно (проверьте). В силу Леммы 13.10, пространство (M; T1) хаусдорфово (докажите это). Непрерывная биекция из компактного пространства в хаусдорфово является гомеоморфизмом, следовательно, топология T экивалентна T1.

Замечание 13.12. Из Леммы 13.10 немедленно вытекает, что для любой пары точек x; y 2 M, существует непрерывная функция

f : M ! f0; 1g;

принимающая значение 1 на x и 0 на y.

Пусть R = C(M; F2) кольцо непрерывных функций на M со значениями в F2 = f0; 1g. Рассмотрим отображение

что инъективно; поскольку M компактно, из этого вытекает, что это гомеоморфизм на его образ. Мы получили следующую теорему

Теорема 13.13: Пусть M пространство Стоуна. Тогда M гомеоморфно замкнутому подмножеству в тихоновском произведении f0; 1gI , для какого-то набора индексов I.

Лекция 14: Теорема Стоуна и теория категорий

Лекция 14: Теорема Стоуна о представлении булевых колец и теория категорий

14.1. Категории

Определение 14.1. Категорией C называется набор данных ("объектов категории", "морфизмов между объектами" и так далее), удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.

Данные:

Объекты: Множество Ob(C) объектов C (иногда рассматривают не множество, а класс Ob(C), который может и не быть множеством, например, класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

Морфизмы: Для любых X; Y 2 Ob(C), задано множество Mor(X; Y )

морфизмов из X в Y .

Композиция морфизмов: Если ' 2 Mor(X; Y ); 2 Mor(Y; Z), задан морфизм ' 2 Mor(X; Z), который называется композицией морфизмов.

Тождественный морфизм: Для каждого A 2 Ob(C) задан морфизм

IdA 2 Mor(A; A).

Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.

Ассоциативность композиции: '1 ('2 '3) = ('1 '2) '3.

Свойства тождественного морфизма: Для любого морфизма ' 2 Mor(X; Y ), IdX ' = ' = ' IdY .

Практически любая математическая структура является категорией. Например, категория множеств (морфизмы – произвольные отображения), категория линейных пространств (морфизмы линейные отображения), категории колец, полей, групп (морфизмы гомоморфизмы),

Часть III. Лекции по топологии

категория топологических пространств (морфизмы непрерывные отображения) и так далее.

Категории сами образуют категорию; морфизмами этой категории являются функторы.

Определение 14.2. Пусть C1; C2 категории. Ковариантным функтором из C1 в C2 называется следующий набор данных.

(i)Отображение F : Ob(C1) ! Ob(C2), ставящее в соответствие объектам C1 объекты C2.

(ii)Отображение морфизмов F : Mor(X; Y ) ! Mor(F (X); F (Y )), определенное для любой пары объектов X; Y 2 Ob(C1).

Эти даные определяют функтор из C1 в C2, если F (') F ( ) = F (' ), и F (IdX ) = IdF (X).

Легко видеть, что композиция функторов тоже функтор; таким образом, категория всех категорий тоже категория.

Пример 14.3: Любая "естественная операция" на математических объектах это функтор. Например, отображение X ! 2X на категории множеств, или отображение M ! MI на топологических пространствах, для заданного набора индексов I, или отображение V ! V V на линейных пространствах. Другим примером функтора является тождественный функтор из категории в себя. Еще один пример функтораотображение, ставящее в соответствие топологическому пространству его пространство связных компонент.

Определение 14.4. Если задана категория C, можно определить двойственную категорию ("opposite category") Cop. Множество объектов в Cop то же самое, что и в C, а MorCop (A; B) = MorC(B; A). Соответственно, композиция ' в C дает композицию op 'op в Cop. Проверьте, что это категория.

Определение 14.5. Контравариантный функтор из C1 в C2 это функтор из C1op в C2.

Пример 14.6: Примером контравариантного функтора является отображение, ставящее векторному пространству V в соответствие двойственное пространство V . Другим примером контравариантного функтора