top-book

Листок 8: Фундаментальная группа и пространство петель

Задача 8.57. Докажите, что естественная проекция Rn ! (S1)n это накрытие

Задача 8.58. Рассмотрим фактор Sn ! Sn=f 1g = RP n сферы по центральной симметрии, с естественной топологией (открытые множества это такие, прообраз которых открыт). Докажите, что это накрытие.

но. Докажите, что ~ локально линейно связно. Докажите, что любая

M

компонента линейной связности в ~ накрывает .

M M

~

Задача 8.61 (!). Пусть M ! M – накрытие, а M локально линейно

связно. Докажите, что ~ связно тогда и только тогда, когда оно линейно

M

связно.

~

Определение 8.19. Пусть : [a; b] ! M некоторый путь, а M !

! ~

M – накрытие M. Отображение ~ : [a; b] M называется поднятием, если ~ = .

~

Задача 8.62 (!). Пусть M ! M – накрытие, а : [a; b] ! M – путь, соединяющий x и y. Докажите, что для каждого x~ 2 1(fxg), существует и единственно поднятие ~, переводящее a в x~.

Задача 8.63 (!). Докажите, что гомотопные пути поднимаются до гомотопных путей, а ~(y) 2 1(fyg) однозначно определяется классом гомотопии в (M; x; y) и точкой x~.

Замечание. Обозначим через 1(M; x; y) множество классов гомотопии путей из x в y. Мы получили отображение

~

Пространство M называется универсальным накрытием, если оно связно и односвязно.

Часть II. Задачи по топологии

Замечание. Односвязность была определена только для линейно связных пространств. Но это ничему не мешает, поскольку из задачи 8.61

следует, что ~ линейно связно.

M

~

Задача 8.64 (!). Пусть M ! M – универсальное накрытие. Зафик-

сируем x 2 M и x~ 2 1(fxg). Рассмотрим отображение 1(M; x) !1(fxg), построенное в 8.63, ( ) = (~x; ). Докажите, что это биекция.

Задача 8.65. Докажите, что 1(S1) = Z.

Задача 8.66. Докажите, что 1((S1)n) = Zn.

Задача 8.67 (*). Докажите, что при n > 1 имеем 1(RP n) = Z=2Z.

Задача 8.68. Найдите фундаментальные группы всех букв русского алфавита, кроме “ф” и “В” (точнее, графов, смоделированных на этих буквах).

Задача 8.69 (*). Дан конечный связный граф, у которого n ребер и n вершин. Пусть M его топологическое пространство. Докажите, что

1(M) = Z.

Листок 9: Накрытия Галуа

Листок 9: Накрытия Галуа

Наука о накрытиях Галуа, про которую рассказывается в этом листке, весьма похожа на теорию Галуа алгебраических расширений полей. Это не случайно. В алгебраической геометрии методы топологии и дифференциальной геометрии применяются к объектам алгебраической и теоретико-числовой природы.

Гротендик определил фундаментальную группу алгебраического многообразия таким образом, что группа Галуа и фундаментальная группа топологического пространства оказались частными случаями более общей конструкции. При изучении накрытий и расширений полей, а также фундаментальной группы и группы Галуа, очень полезно держать в голове, что это похожие вещи.

Все топологические пространства в этом листке предполагаются хаусдорфовыми и локально связными.

~

Задача 9.1. Пусть M ! M – накрытие, а M1 связная компонента

~ ! ~ 0

физмом накрытий называется непрерывное отображение ' : M M , согласованное с проекцией в M иначе говоря, такое, что ' 0 = .

Множество морфизмов между накрытиями обозначается M ~ ~ 0 . or(M; M )

Изоморфизмом накрытий называется морфизм, который обратим, причем таким образом, что ' 1 ' = Id, ' ' 1 = Id.

~ ! ~ 0

Задача 9.3 (!). Пусть ' : M M – морфизм накрытий. Докажите,

что ~ ! ~ 0 – накрытие.

' : M M

окрестность U такая, что проекция : U ! (U) гомеоморфизм.

2~

!Пусть у каждой точки x M есть окрестность U такая, что проекция : U ! (U) гомеоморфизм. Всегда ли накрытие?

Часть II. Задачи по топологии

Докажите, что расщепляется тогда и только тогда, когда все связные

компоненты ~ изоморфны .

M M

9.1. Накрытия Галуа

M1 M M2 := f(m1; m2) 2 M1 M2 j 1(m1) = 2(m2)g:

Мы рассматриваем M1 M M2 как топологическое пространство (с топологией, индуцированной из M1 M2). Докажите, что естественное отображение M1 M M2 ! M – это накрытие.

Определение 9.3. Пространство M1 M M2 вместе с естественным отображением в M называется произведением накрытий M1, M2. Аналогичным образом определяется произведение любого конечного числа накрытий.

Замечание. Если пользоваться аналогией между расширениями полей и накрытиями, несвязные объединения накрытий соответствуют прямой сумме полупростых артиновых колец, а произведения тензорным произведениям.

Листок 9: Накрытия Галуа

Задача 9.10. Пусть M1, M2, M3 накрытия M. Докажите, что морфизмы из M3 в M1 M2 взаимно однозначно соответствуют парам морфизмов '1 : M3 ! M1, '2 : M2 ! M1.

Задача 9.11. Рассмотрим R как накрытие S1. Сколько связных компонент у R S1 R?

'

Определение 9.4. Пусть M1 ! M2 морфизм между двумя накрытиями M. Определим график ' как подмножество в M1 M M2, состоящее из пар вида (m; '(m)) для всех m 2 M1.

'

Задача 9.12 (!). Пусть M1 ! M2 морфизм между двумя накрытиями M, а ' его график. Докажите, что ' открыто и замкнуто в

'

M1 ! M2.

~

ся Gal([M : M])). Иногда группа Галуа накрытия называется группой монодромии, а по-английски deck transformation group (группа перелистывания колоды).

~

Задача 9.15 (!). Пусть M связно, а [M : M] такое накрытие Галуа, что у каждой точки M есть ровно n прообразов (такое накрытие на-

зывается -листным). Докажите, что у группы Галуа ~ ровно n [M : M] n

элементов.

Часть II. Задачи по топологии

зуйтесь предыдущей задачей.

Определение 9.6. Пусть группа G действует на множестве S. Действие называется свободным, если для любых g 2 G, s 2 S, s 6= gs, если g 6= 1. Действие называется транзитивным, если для любых двух s1, s2 2 S, найдется g 2 G такой, что g(s1) = s2.

Задача 9.17 (!). Пусть M ! M – накрытие Галуа, а x 2 M лю-

~ 1

бая точка. Докажите, что Gal([M : M]) действует на (x) свободно и транзитивно.

Указание. Установите взаимно однозначное соответствие между 1(X)

Докажите, что M ~ тогда и только тогда транзитивно действует на

Aut (M)

1 , когда ~ накрытие Галуа.

(x) [M : M]

Задача 9.19. Рассмотрим накрытие Rn ! Rn=Zn (S1)n. Докажите,

=

что это накрытие Галуа.

Задача 9.20. Зафиксируем n 2 Z. Рассмотрим n-листное накрытие S1 ! S1, t 7!nt. Докажите, что это накрытие Галуа.

Определение 9.7. Пусть M топологическое пространство, а G группа, действующая на M непрерывными преобразованиями. Рассмотрим пространство G-орбит M=G. Напомним (см. листок Топология 10), что на M=G следующим образом вводится топология: подмножество M=G открыто тогда и только тогда, когда его прообраз в M открыт. Множество M=G с этой топологией называется факторпространством M по действию G.

~ ~

Задача 9.21 (!). Пусть [M : M] накрытие, а G AutM (M) действует

на ~ автоморфизмами. Докажите, что это действие свободно, а

[M : M]

факторпространство ~ хаусдорфово и накрывает .

M=G M

Листок 9: Накрытия Галуа

Замечание. Фактор по G играет в теории накрытий Галуа ту же роль, что G-инварианты в теории расширений Галуа.

~

Задача 9.22 (!). Пусть [M : M] накрытие, а G его группа авто-

морфизмов. Докажите, что ~ изоморфно тогда и только тогда,

M=G M

когда ~ – накрытие Галуа.

[M : M]

Указание. Воспользуйтесь задачей 9.18.

'1 '2

Задача 9.23. Пусть M1 ! M2 ! M3 – последовательность накрытий, причем 'i сюръективны, а их композиция расщепляется. Докажите, что 'i расщепляются.

Задача 9.24 (!). Пусть M1 ! M2 ! M3 – последовательность накрытий, причем все Mi связны, а [M1 : M3] накрытие Галуа. Докажите, что M1 M3 M2 расщепляется как расслоение над M1.

Указание. Воспользуйтесь задачей 9.23, применив ее к последовательности

M1 M3 M1 ! M1 M3 M2 ! M1 M3 M3:

Задача 9.25 (!). Пусть M1 ! M2 ! M3 – последовательность накрытий, причем [M1 : M3] – накрытие Галуа. Докажите, что [M1 : M2] накрытие Галуа.

Указание. Воспользуйтесь задачей 9.23.

Задача 9.26. Пусть M1 ! M2 ! M3 – последовательность накрытий. Докажите, что

Задача 9.27. Выведите из этого следующее: если M1 ! M2 ! M3 – последовательность накрытий, причем [M1 : M2] и [M2 : M3] накрытия Галуа, то [M1 : M3] тоже накрытие Галуа.

Часть II. Задачи по топологии

~ !

Определение 9.8. Пусть M M накрытие. Факторнакрытием

~ называется накрытие ~ 0 ! , заданное вместе с последова-

M

M

]

M

:

M

[

тельностью накрытий ~ ! ~ 0 ! , где ~ ! ~ 0 сюръективно.

M M M M M

~

Задача 9.29 (!). (основная теорема теории Галуа) Пусть [M : M] накрытие Галуа с группой Галуа G. Рассмотрим соответствие, сопостав-

ляющее подгруппе 0 факторнакрытие ~ 0 . Докажите, что

G G [M=G : M]

это соответствие устанавливает биекцию между множеством подгрупп и множеством классов изоморфизма факторнакрытий.

Задача 9.30. Пусть M1 ! M2 ! M3 последовательность накрытий, причем [M1 : M3] накрытие Галуа. Рассмотрим естественную проекцию

M1 M3 M1 ! M2 M3 M2:

Пусть g 2 Gal([M1 : M3]), а eg M1 M3 M1 – компонента связности

f(m; g(m))g в M1 M3 M1. Докажите, что g 2 Gal([M1 : M2]) Gal([M1 :

M3]) тогда и только тогда, когда при проекции в M2 M3 M2 компонента eg переходит в диагональную компоненту.

Задача 9.31. Пусть M1 ! M2 ! M3 последовательность накрытий Галуа. Докажите, что естественная проекция

M1 M3 M1 ! M2 M3 M2

задает сюръективный гомоморфизм Gal([M1 : M3]) ! Gal([M2 : M3]). Докажите, что ker = Gal([M1 : M2]).

Указание. Воспользуйтесь тем, что группа Галуа Gal([Mi : M3]) отождествляется с множеством связных компонент Mi M3 Mi, и примените предыдущую задачу.

~ ! 0 ! ~ 0

Задача 9.32 (!). Пусть M M накрытие Галуа, а G M=G биективное соответствие между факторнакрытиями и подгруппами в группе Галуа, построенное выше. Докажите, что G0 является нормальной

подгруппой тогда и только тогда, когда ~ 0 накрытие Галуа.

[M=G : M]

Листок 9: Накрытия Галуа

9.2. Накрытия линейно связных пространств

Определение 9.9. Пусть M метрическое пространство. Напомним,

что геодезической в M называется такой путь [a; b] ! M, что d( (x); (y)) = jx yj. Длина геодезической это расстояние между ее концами. Путь называется кусочно геодезическим, если его можно разбить в объединение конечного числа геодезических сегментов. Длина кусочно геодезического пути определяется как сумма длин составляющих этот путь геодезических отрезков. Мы обозначаем длину пути через j j.

Определение 9.10. Пусть граф, а M его топологическое пространство. Мы говорим, что связен, если его топологическое пространство связно.

Задача 9.33 (!). Докажите, что граф связен тогда и только тогда, когда любые две вершины соединяются конечной последовательностью ребер. Докажите, что связный граф линейно связен.

Задача 9.34 (!). Пусть связный граф. По построению, на каждом ребре r M графа введены координаты, отождествляющие его с [0; 1]. Пусть кусочно линейный путь в M , то есть путь, составленный из

'i

конечного числа отрезков вида [ai; bi] ! [ i; i] r , где 'i линейна.

P

Определим j j := j i; ij, как сумму длин всех отрезков, составляющих этот путь. Определим d(x; y) := inf j j, где пробегает все кусочно линейные пути, ведущие из x в y. Докажите, что d(x; y) задает метрику, и M геодезически связен.

Определение 9.11. Эта метрика называется стандартной метрикой на топологическом пространстве графа.

Определение 9.12. Геодезически связное многообразие M называется звездчатым, если любые две точки M соединяются единственной геодезической.

Задача 9.35. Докажите, что любое выпуклое подмножество в Rn (со стандартной метрикой) звездчатое.

Задача 9.36 (*). Найдите на M = R2 такую метрику, что M геодезически связно, а из любой точки в любую идет бесконечно много геодезических.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 9.37 (*). Пусть дерево, то есть конечный связный граф, у которого n вершин и n 1 ребро. Докажите, что M со стандартной метрикой звездчатое.

Задача 9.38 (*). Пусть такой конечный граф, что M звездчатое. Докажите, что дерево.

Задача 9.39 (!). Пусть M локально компактное, геодезически связ-

y, проекция которых в M кусочно геодезична. Рассмотрим следующую

Докажите, что это метрика. Докажите, что ~ .

))

y

(

;

)

x

(

(

d

)

y

x;

(

d

В условиях предыдущей задачи, докажите, что ~

Задача 9.40 (*). M

геодезически связно.

Задача 9.41. Пусть M геодезически связное метрическое простран-

ство, а ~ ! его накрытие. Докажите, что связная компонента

M M

прообраза геодезической геодезическая в ~ ~ .

(M; d)

Указание. Докажите, что прообраз геодезической является геодезической в окрестности каждой точки. Затем воспользуйтесь неравенством

~

d(x; y) d( (x); (y)).

Задача 9.42 (!). Пусть (M; d) звездчатое метрическое пространство,

а ~ его связное накрытие. Пусть, кроме того, ~ любая

M ! M x 2 M

точка, а Ux множество точек y 2 M, которые можно соединить с x

геодезической. Докажите, что x открыто и замкнуто в ~ , и что x ~

U M (U ; d)

звездчатое. Выведите из этого, что естественная проекция ~ –

M ! M

изометрия и гомеоморфизм.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

~ !

Задача 9.43. Пусть M = [0; 1] [0; 1] квадрат, а M M его связное накрытие. Докажите, что это гомеоморфизм.