top-book

Листок 3: Теоретико-множественная топология

Определение 3.6. Рассмотрим метрику d на Rn, заданную нормой

Топология на Rn, связанная с d, называется естественной. Естественная топология на подмножествах в Rn это топология, индуцированная с Rn.

Задача 3.15. Рассмотрим R с естественной топологией. Пусть M пространство с дискретной топологией, M0 пространство с кодискретной топологией. Найдите множество всех непрерывных отображений

а. Из R в M

б. Из M в R

в. Из M0 в R

г. Из R в M0.

Задача 3.16. Пусть ' : M ! M0 некоторое отображение топологических пространств. Верно ли, что если ' непрерывно, то прообраз любого замкнутого множества замкнут? Верно ли, что если прообраз любого замкнутого множества замкнут, то отображение непрерывно?

Задача 3.17. Приведите пример такого непрерывного отображение топологических пространств, что образ открытого множества не открыт. Приведите пример такого непрерывного отображение топологических пространств, что образ замкнутого множества не замкнут.

Определение 3.7. Пусть M топологическое пространство, Z M – произвольное подмножество, Z пересечение всех замкнутых подмножеств M, содержащих Z. Тогда Z называется замыканием Z.

Задача 3.18. Докажите, что Z замкнуто.

Определение 3.8. Пусть M топологическое пространство. Следующие условия Т0-Т4 называются условиями отделимости.

Часть II. Задачи по топологии

T0. Пусть даны любые две несовпадающие точки x; y 2 M, тогда по крайней мере у одной из них есть окрестность, которая не содержит другую.

T1. Любая точка M замкнута.

T2. Любые две различные точки x, y 2 M обладают окрестностями Ux, Uy, которые не пересекаются.

T3. В M верно Т1. Кроме того, для любой точки y 2 M, любая окрестность U 3 y содержит открытую окрестность U0 3 y, замыкание которой содержится в U.

T4. В M верно Т1. Кроме того, для любого замкнутого подмножества Z M, любая окрестность U Z содержит открытую окрестность U0 Z, замыкание которой содержится в U.

Условие Т2 известно как аксиома Хаусдорфа. Топологическое пространство, удовлетворяющее условию Т2, называется хаусдорфовым.

Задача 3.19. Докажите, что условие Т1 эквивалентно следующему: для любых двух несовпадающих точек x; y 2 M, найдется окрестность y, не содержащая x.

Задача 3.20. Докажите, что условие Т4 эквивалентно следующему: у любых двух непересекающихся замкнутых множеств X; Y M, найдутся непересекающиеся окрестности.

Задача 3.21. Пусть M топологическое пространство. Определим на M отношение эквивалентности следующим образом: x эквивалентно y тогда и только тогда, когда x 2 fyg и y 2 fxg. Обозначим множество классов эквивалентности через M0.

а.Проверьте, что это действительно отношение эквивалентности. Докажите, что M удовлетворяет условию T0 тогда и только тогда, когда M = M0.

б.Скажем, что подмножество U M0 открыто тогда и только тогда, когда открыт его прообраз при отображении M ! M0. Докажите, что это задает топологию на M0. Удовлетворяет ли она условию

T0?

Листок 3: Теоретико-множественная топология

в.Докажите, что открытые подмножества в M это в точности прообразы открытых подмножеств в M0.

г. Пусть топология на M кодискретная. Чему равно M0?

Задача 3.22. Выполняются ли условия Т0-Т4 в пространстве с дискретной топологией? С кодискретной?

Задача 3.23. Докажите, что условия Т0-Т4 выполняются в R.

Задача 3.24. Докажите, что условие T0 следует из T1, a Т1 следует из Т2.

Задача 3.25. Приведите пример пространства, не удовлетворяющего условию Т1. Приведите пример нехаусдорфова пространства, где все точки замкнуты.

Задача 3.26 (*). Приведите пример пространства, удовлетворяющего Т1, и такого, что любые два непустых открытых множества пересекаются.

Задача 3.27 (*). Докажите, что из Т3 следует Т2.

Задача 3.28 (*). Приведите пример пространства, где выполняется Т3, но не выполняется Т4.

Задача 3.29. Дано метризуемое топологическое пространство. Докажите, что в нем выполнены условия Т1, Т2, Т3.

Задача 3.30 (*). Дано метризуемое топологическое пространство. Докажите, что в нем выполнено условие Т4.

Задача 3.31 (*). Пусть множество M конечно.

а. Найдите все топологии на M, удовлетворяющие условию T1.

б.Бывают ли на M топологии, которые не удовлетворяют T1, но удовлетворяют T0?

**Пусть M состоит из n точек. Сколько разных топологий на M? Сколько из них удовлетворяют T0?

Часть II. Задачи по топологии

Определение 3.9. Множество M называется частично упорядоченным (по-английски: “poset”, “partially ordered set”), если на нем задано отношение x y (“x меньше либо равно y) с такими свойствами:

1.Если x y, а y z, то x z.

2.Если x y и y x, то x = y.

Задача 3.32 (*). а. Пусть M частично-упорядоченное множество; будем говорить, что подмножество S M открыто, если вместе с любым элементом x 2 S оно содержит все y 2 M, для которых y x. Докажите, что это задает топологию на M. Когда эта топология удовлетворяет свойству T0? а свойству T1?

б.Пусть M конечное множество, и на нем задана топология, удовлеворяющая свойству T0. Докажите, что она происходит из какогото частичного порядка на M.

Определение 3.10. Пусть Z M подмножество в топологическом пространстве. Подмножество Z называется плотным, если Z пересекается с каждым непустым открытым подмножеством M.

Задача 3.33 (!). Докажите, что Z плотно тогда и только тогда, когда замыкание Z есть все M.

Задача 3.34. Найдите все плотные подмножества в пространстве с дискретной топологией; с кодискретной топологией.

Задача 3.35. Докажите, что Q плотно в R.

Определение 3.11. Подмножество Z в топологическом пространстве M называется нигде не плотным, если для любого открытого подмножества U M, подмножество Z \ U не плотно в U.

Задача 3.36. Докажите, что замыкание нигде не плотного подмножества нигде не плотно.

Задача 3.37 (!). Докажите, что Z нигде не плотно тогда и только тогда, когда MnZ плотно в M.

Листок 3: Теоретико-множественная топология

Задача 3.38 (*). Постройте континуальное нигде не плотное подмножество в отрезке [0; 1] с естественной топологией.

Задача 3.39 (*). Постройте континуальное нигде не плотное подмножество в отрезке [0; 1] с естественной топологией.

Задача 3.40. Найдите все нигде не плотные подмножества в пространсте с дискретной топологией; в пространстве с кодискретной топологией.

Определение 3.12. Пусть M топологическое пространство, x 2 Mпроизвольная точка. База окрестностей x это такой набор B окрестностей x, что любая окрестность U 3 x содержит какую-то окрестность из B.

Задача 3.41. Пусть в топологическом пространстве M задан такой набор открытых подмножеств B, что для любой точки x 2 M, совокупность всех U 2 B, содержащих x, образует базу окрестностей x. Докажите, что B база топологии M.

Определение 3.13. Пусть M топологическое пространство. На M можно наложить два условия счетности. Если у каждой точки M найдется счетная база окрестностей, то говорят, что в M выполняется первая аксиома счетности. Если у M найдется счетная база открытых множеств, то говорят, что для M выполняется вторая аксиома счетности, либо что M пространство со счетной базой. Если в M

найдется плотное счетное множество, то говорят, что M сепарабельно.

Задача 3.42. Дано пространство M с дискретной топологией. Докажите, что в M выполняется первая аксиома счетности.

Задача 3.43. Пусть топологическое пространство M имеет счетную базу. Докажите, что оно сепарабельно.

Задача 3.44 (*). Пусть метризуемое топологическое пространство M сепарабельно. Докажите, что M имеет счетную базу.

Задача 3.45 (!). Дано метризуемое топологическое пространство. Докажите, что оно имеет счетную базу окрестностей в каждой точке.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 3.46. Постройте несепарабельное метризуемое топологическое пространство.

Задача 3.47 (**). Приведите пример счетного хаусдорфова пространства без счетной базы.

3.1. Топология и сходимость

Топологические пространства были изобретены как язык, на котором удобно говорить о непрерывных функциях. В листке 2 мы определили непрерывную функцию как функцию, сохраняющую пределы сходящихся последовательностей. К топологии можно подходить с аксиоматической точки зрения, приведенной выше, либо с точки зрения геометрической интуиции, определяя топологию на пространстве посредством задания класса сходящихся последовательностей, а непрерывные отображения как отображения, сохраняющие пределы.

Второй подход к топологии (при всех его очевидных преимуществах) наталкивается на теоретико-множественные трудности если в нашем пространстве нет счетной базы, приходится пользоваться полностью упорядоченными несчетными последовательностями. В дальнейшем мы будем работать в основном в пространствах со счетной базой окрестностей точки, и в такой ситуации весьма удобно определять топологию и непрерывность через пределы последовательностей.

Определение 3.14. Пусть M топологическое пространство, Z M – бесконечное подмножество. Точка x 2 M называется предельной точкой для Z, если в каждой окрестности x содержится z 2 Z. Пределом последовательности fxig называется такая точка x, что в любой окрестности x содержатся почти все xi. Последовательность называется сходящейся, если у нее есть предел.

Задача 3.48. Найдите все сходящиеся последовательности в пространстве с дискретной топологией; в пространстве с кодискретной топологией.

Задача 3.49. Пусть M хаусдорфово. Докажите, что у любой последовательности есть не более одного предела.

Листок 3: Теоретико-множественная топология

Задача 3.50 (*). Верно ли обратное (т.е. вытекает ли хаусдорфовость из единственности предела)? А если в M есть счетная база окрестностей точки?

Задача 3.51. Пусть в M предел любой последовательности единственен. Докажите, что в M выполнено условие отделимости Т1.

Задача 3.52. Пусть задано непрерывное отображение f : M ! M0 и некоторое подмножество Z M. Докажите, что f переводит предельные точки Z в предельные точки f(Z). Докажите, что f переводит пределы в пределы.

Задача 3.53 (!). Пусть отображение переводит предельные точки любого множества в предельные точки его образа. Докажите, что оно непрерывно.

Задача 3.54. Пусть дано пространство M с счетной базой окрестностей у каждой точки. Рассмотрим произвольное подмножество Z M. Докажите, что замыкание Z есть множество пределов всех последовательностей из Z.

Задача 3.55 (!). Пусть даны пространства M, M0 со счетной базой окрестностей у каждой точки, и отображение f : M ! M0, сохраняющее пределы последовательностей. Докажите, что f непрерывно.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 3.56 (*). А что, если в предыдущей задаче не требовать счетной базы окрестностей точки для M? Для M0?

Часть II. Задачи по топологии

Листок 4.

Произведение пространств

База топологии

Определение 4.1. Пусть дано топологическое пространство M и набор B из открытых подмножеств в M. Набор B называется предбазой для топологии на M, если любое открытое множество можно получить (возможно, бесконечным) объединением конечных пересечений открытых подмножеств, принадлежащих B, и базой, если любое открытое множество можно получить как объединение подмножеств. лежащих в B. У топологии на M есть счетная база, если есть база топологии, состоящая из счетного набора подмножеств.

Задача 4.1. Рассмотрим R с дискретной топологией. Докажите, что в нем нет счетной предбазы.

Задача 4.2 (!). Пусть задано топологическое пространство M со счетной предбазой. Докажите, что у M есть счетная база.

Задача 4.3 (*). Дано конечное множество M, jMj = 2n, с дискретной топологией, а B предбаза в M. Докажите, что jBj n. Найдите предбазу, в которой 2n элементов.

Задача 4.4. Рассмотрим R с естественной топологией, и пусть B множество всех интервалов, у которых концы конечные двоичные дроби. Докажите, что это база в топологии R.

Задача 4.5. Пусть дан набор подмножеств B в множестве M, такой, что [B = M. Рассмотрим все подмножества, которые можно получить из элементов B, а также M и ? конечными пересечениями и произвольными объединениями. Докажите, что получится топология на M.

Определение 4.2. Такая топология называется топологией, заданной предбазой B.

Листок 4. Произведение пространств

Определение 4.3. Пусть M1, M2 топологические пространства. Рассмотрим топологию S на M1 M2, заданную предбазой из подмножеств вида U1 M2, M1 U2, где U1, U2 открыты в M1, M2. Тогда (M1 M2; S)

называется произведением M1 и M2.

Задача 4.6. Докажите, что естественная проекция M1 M2 ! M1 непрерывна. Докажите, что множества вида U1 U2 задают базу в топологии на M1 M2.

1

Задача 4.7. Даны отображения топологических пространств X ! M1,

2

X ! M2. Докажите, что они непрерывны тогда и только тогда, когда произведение

1 2

X ! M1 M2

непрерывно.

Задача 4.8. Пусть M1, M2 удовлетворяет условию из списка, приведенного ниже. Докажите, что M1 M2 удовлетворяет тому же условию.

а. Свойство отделимости Т1.

!Условие Хаусдорфа (Т2). б. Свойство отделимости Т3. в. Сепарабельность.

!Наличие счетной базы окрестностей у каждой точки.

г.Наличие счетной базы.

Задача 4.9 (**). Верно ли это для аксиомы отделимости Т4?

Определение 4.4. Отображение

x ! (x; x) 2 X X

называется диагональным вложением, его образ диагональю в

X X.

Задача 4.10. Докажите, что диагональное вложение является гомеоморфизмом на свой образ (топология на X X предполагается индуцированной с X X).

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Воспользуйтесь задачей 4.7.

Задача 4.11. Докажите, что X удовлетворяет условию Т1 тогда и только тогда, когда диагональ является пересечением всех открытых множеств, ее содержащих.

Задача 4.12 (!). Докажите, что X хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ замкнута в X X.

Задача 4.13. Докажите, что топология на X дискретна тогда и только тогда, когда диагональ открыта в X X.

пространств X ! Y замкнут. Верно ли, что непрерывно?

Задача 4.15 (!). Пусть X ! Y морфизм топологических пространств, причем Y хаусдорфово. Докажите, что график замкнут.

Задача 4.16. Пусть M1, M2 метрические пространства, M = M1 M2

– их произведение, а d одна из перечисленных ниже функций на M M. Докажите, что d задает метрику на M.

а. d((m1; m2); (m01; m02)) = d(m1; m01) + d(m2; m02)

б. d((m1; m2); (m01; m02)) = max(d(m1; m01); d(m2; m02))

p

! d((m1; m2); (m01; m02)) = d(m1; m01)2 + d(m2; m02)2

Задача 4.17 (!). Докажите, что три метрические структуры из предыдущей задачи задают на M1 M2 одну и ту же топологию. Докажите, что эта топология эквивалентна топологии произведения на M1 M2, которое рассматривается как произведение топологических пространств.

4.1. Тихоновский куб и гильбертов куб

Определение 4.5. Пусть I некоторый набор индексов (возможно, несчетный), а M = XI множество отображений из I в фиксированное топологическое пространство X. На XI можно смотреть как на множество последовательностей точек X, индексированное I, либо как на