top-book

Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 10.21 (!). Докажите, что (M; x; ) стягиваемо.

Задача 10.22 (*). Пусть путь в (M; x; )= . Докажите, что гомотопен образу некоторого пути из (M; x; ).

Указание. Докажите, что можно поднять до пути в (M; x; ) локально, и воспользуйтесь тем, что для каждой точки в (M; x; )= ее прообраз в (M; x; ) связен.

Задача 10.23 (*). Выведите из этого, что (M; x; )= односвязно.

Замечание. Пусть (M; x) локально стягиваемое топологическое пространство с отмеченной точкой. Универсальное накрытие M можно таким образом отождествить с множеством пар (y 2 M, класс гомотопии путей 2 (M; x; y)).

10.3. Свободная группа и букет

Определение 10.5. Пусть (M1; x1), (M2; x2), (M3; x3), : : : – набор (возможно, бесконечный) связных топологических пространств с отмеченной точкой. Рассмотрим факторпространство несвязного объединения всех (M ; x ) по соотношению эквивалентности fx1g fx2g fx3g : : : Это

W

факторпространство называется букетом, обозначается (M ; x ). Также букет обозначается (M1; x1) _ (M2; x2) _ (M3; x3) _ : : :

Задача 10.24. Пусть все M связные (линейно связные, хаусдофовы). Докажите, что их букет связен (линейно связен, хаусдорфов).

Задача 10.25 (!). Пусть все M связные и односвязные. Докажите, что их букет односвязен.

Задача 10.26 (!). Пусть связный граф, у которого n вершин и n + k 1 ребер. Докажите, что его топологическое пространство M гомотопически эквивалентно букету k окружностей.

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Пусть у есть ребро r, соединяющее две разные вершины v1; v2, Рассмотрим граф 0, у которого n 1 вершин и n + k 2 ребер, полученный из следующим образом. Из выкидывается ребро r, а вершины v1 и v2 склеиваются в одну. Докажите, что M и M 0 гомотопически эквивалентны.

Определение 10.6. Зададим множество fa1; a2; : : : g мощности N (N может быть как конечным кардиналом, так и бесконечным). N-арное дерево DN это бесконечный граф, который определяется следующим образом. Вершины DN конечные последовательности из символов ai. Ребрами соединяются вершины, соответствующие A1A2 : : : Ak и A1A2 : : : AkAk+1 (все Ai принадлежат fa1; a2; : : : g).

Задача 10.27. Докажите, что в каждую вершину DN входят N + 1 ребер.

Задача 10.28 (!). Пусть MN топологическое пространство N-арного дерева, с естественной метрикой, построенной в начале этого листка. Докажите, что MN является звездчатым (любые две точки соединяются единственной геодезической). Докажите, что оно стягиваемо.

Задача 10.29 (!). Рассмотрим 2N 1-арное дерево. Раскрасим его ребра в N цветов, таким образом, что к каждой вершине сходится по 2 ребра каждого цвета. Рассмотрим букет из N окружностей, и раскрасим каждую из окружностей в свой цвет. Рассмотрим отображение из M2N 1 в букет из N окружностей, переводящее вершины графа в вершины букета, а ребро цвета ai в окружность такого же цвета. Докажите, что это универсальное накрытие.

Задача 10.30. Пусть fa1; a2; : : : g множество мощности N, а W множество конечных последовательностей (“слов”) из символов ai, aj 1, в которых нигде не встречаются подряд aiai 1, а также ai 1ai. Последовательность длины 0 обозначается e. Мы умножаем слова, записывая одно за другим и зачеркивая последовательно все aiai 1, ai 1ai, которые встречаются подряд. Докажите, что W образует группу.

Определение 10.7. Эта группа называется свободной группой, порожденной образующими fa1; a2; : : : g, обозначается FN .

Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии

Задача 10.31. Докажите, что F1 изоморфно Z.

Задача 10.32 (!). Пусть G любая группа, а fg1; g2; : : : g набор элементов из G, пронумерованный fa1; a2; : : : g. Докажите, что существует единственный гомоморфизм FN ! G, переводящий ai в gi.

Задача 10.33 (!). Постройте свободное действие FN на топологическом пространстве M2N 1 2N 1-арного дерева, транзитивное на вершинах.

Задача 10.34 (!). Докажите, что M2N 1=FN букет N окружностей, а фундаментальная группа букета свободна.

Задача 10.35 (!). Докажите, что любой (возможно, бесконечный) граф гомотопически эквивалентен букету окружностей.

Задача 10.36 (!). Выведите из этого, что любая подгруппа свободной группы свободна.

Указание. Воспользуйтесь теорией Галуа для накрытий.

Задача 10.37 (*). Пусть G1; G2; : : : какой-то набор групп. Рассмотрим множество W конечных последовательностей неединичных элементов из разных Gi, таких, что элементы одной и той же группы нигде не идут подряд. Если дана любая последовательность A элементов из Gi, из нее можно получить элемент W следующим способом. Если в A идут подряд два элемента из Gi, мы их перемножаем и заменяем эти два элемента на произведение. Если в A встречается единица одний из групп, мы ее вычеркиваем. Повторим эту процедуру столько раз, сколько нужно, чтобы получить элемент из W. Элементы W можно перемножать, записав одно слово после другого и применив вышеописанную процедуру. Докажите, что получится группа.

Определение 10.8. Эта группа называется свободным произведением групп G1, G2, : : : .

Задача 10.38. Докажите, что свободная группа от N образующих это свободное произведение N копий Z.

Задача 10.39. Докажите, что свободное произведение свободных групп свободно.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 10.40 (*). Пусть (M1; x1); (M2; x2); (M3; x3); : : : – набор связных топологических пространств с отмеченной точкой. Докажите, что фун-

W

даментальная группа букета 1( (M ; x )) изоморфна свободному произведению групп 1(M1; x1); 1(M2; x2); 1(M3; x3); : : : .

Часть III

Лекции по топологии

155

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

1.1. Метрические пространства и пополнение

Определение и свойства вещественных чисел см. в приложении в конце этой книги.

Обозначим через R 0 множество всех неотрицательных вещественных чисел.

Определение 1.1. Пусть M множество. Метрикой на M называется функция d : M M ! R 0, удовлетворяющая следующим условиям

Невырожденность: d(x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

Симметричность: d(x; y) = d(y; x)

Неравенство треугольника: d(x; y) d(x; z) + d(z; y)

для любых точек x; y; z 2 M.

Определение метрики весьма точно соответствует интуитивному представлению о "расстоянии". Аксиоматическое определение метрического пространства дал Морис Фреше в 1906-м году, но сам термин "метрическое пространство" (metrischer Raum) принадлежит Хаусдорфу. Слово "расстояние" часто используют как синоним "метрике", особенно в конструкциях типа "расстояние от x до y". Также говорят "расстояние от x до y в метрике d".

Пример 1.2: Дурацкий пример метрического пространства: M любое множество, а d(x; y) = 1 для любых точек x 6= y. Проверьте аксиомы.

Пример 1.3: Rn, со стандартным расстоянием d(x; y) = jx yj метрическое пространство. Проверьте аксиомы.

Определение 1.4. Пусть M; N метрические пространства. Вложение

M ,! N называется изометрическим вложением, если сохраняет

Часть III. Лекции по топологии

Maurice Fr´echet

(1878 1973)

расстояния: dM (x; y) = dN ( (x); (y)), для любых x; y 2 M. Изометричные пространства пространства, между которыми есть биекция, сохраняющая расстояния.

Определение 1.5. Пусть x 2 M точка в метрическом пространстве. Открытый "-шар B"(x) с центром в x множество всех точек, отстоящих от x меньше, чем на ":

B"(x) = fy 2 M j d(x; y) < "g

Определение 1.6. Пусть M метрическое пространство. Последовательность f ig точек из M называется последовательностью Коши, если для каждого " > 0, все элементы последовательности f ig, кроме конечного числа, содержатся в некотором "-шаре. Последовательности Коши f ig, f ig называются эквивалентными, если последовательность 0; 0; 1; 1; ::: является последовательностью Коши. (Докажите, что это отношение эквивалентности.)

Часть III. Лекции по топологии

Докажите, что это метрическое пространство.

Определение 1.9. Множество классов эквивалентности последовательностей Коши в M с метрикой, определенной выше, называется пополнением M.

Эта конструкция хорошо известна большинству студентов, ибо таким образом в курсе анализа определяется множество R вещественных чисел (как множество классов эквивалентности последовательностей Коши из Q). Пополнение метрического пространства впервые появилось у Хаусдорфа, в монографии “Grundz¨uge einer Theorie der geordneten Mengen, ” (1914).

Пополнение является полным метрическим пространством. Чтобы в этом убедиться, возьмем последовательность Коши

f i(0)g; f i(1)g; f i(2)g; :::

где все f i(0)g – последовательности Коши в M. Для доказательства

полноты , нам нужно предъявить последовательность Коши f ig эле-

M

ментов M такую, что f i(0)g, f i(1)g, f i(2)g, ... сходится к f ig. Первое, что приходит в голову взять диагональную последовательностьi := i(i). Этот аргумент не работает, потому что на i-м месте в последовательности Коши может стоять что угодно. Надо для каждого N заменить f i(N)g на подпоследовательность, которая сходится очень быстро, например, такую, что i(N); i+1(N); i+2(N); ::: содержится в шаре радиуса 2 i. Тогда k(k); k+1(k + 1); k+2(k + 2); ::: содержится в шаре радиуса

2 k+1 + 2 k + 2 k 1 + ::: < 2 k+2

то есть является последовательностью Коши. При этом, f i(N)g отстоит от f i(i)g не больше, чем на 2 N+1. Следовательно, f i(i)g это предел f i(0)g, f i(1)g, f i(2)g, ...

Мы доказали существование пополнения.

Пример 1.10: Пространство с метрикой d(x; y) = 1 для любых x 6= y полно (докажите).

Пример 1.11: Пространство Q с обычной метрикой неполно, и его пополнение – это R. К сожалению, буквально эту конструкцию для опреде-