top-book

Листок 0. Вещественные числа

Задача 0.52 (*). Пусть ai последовательность положительных вещественных чисел. Предел последовательности произведений

обозначается Q1i=0(1 + ai). Если этот предел существует, то говорят, что бесконечное произведение Q1i=0(1+ai) сходится. Пусть произведение Q1i=0(1+ ai) сходится. Докажите, что ряд P1i=0 ai сходится.

Задача 0.53 (*). Докажите, что бесконечное произведение Q1i=0(1+ 31n ) сходится.

Задача 0.54 (**). Пусть ряд Pai сходится. Докажите, что Q1i=0(1+ai) тоже сходится.

Задача 0.55 (!). Пусть a0 a1 a2 : : : монотонно убывающая последовательность положительных вещественных чисел, которая стре-

мится к нулю. Рассмотрим ряд P1 ( 1)iai. Докажите, что этот ряд

i=0

сходится. Такой ряд называется знакопеременным.

Задача 0.57. Докажите, что ряд P n12 сходится.

Задача 0.58. Докажите, что ряд P n1! сходится.

Задача 0.59 (!). Докажите, что ряд P 21n сходится. Вычислите, к чему он сходится.

Приложение. Вещественные числа.

Благодарности

Эти задачи существовали в виде рукописи с 2005-го года, и за эти 5 лет я получил множество ценных замечаний и комментариев. Особенно же я признателен Дмитрию Каледину, который сотрудничал в составлении задач и всей программы курса в 2005-м году. Немало исправлений было получено от Марины Прохоровой, Александра Шеня, Виктора Прасолова и Ивана Ремизова, которым я донельзя благодарен; и других людей, тоже чрезвычайно достойных и замечательных. Отдельная благодарность студентам, без которых это сочинение не было бы даже начато.