top-book

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

ления R использовать нельзя, потому что метрика на метрическом пространстве принимает значения в R. Поэтому приходится сначала определять R как множество классов эквивалентности последовательностей Коши в Q, а затем определять пополнение метрического пространства, повторяя эту же самую конструкцию еще раз.

Пример 1.12: Пространство Rn с обычной метрикой полно (докажите).

1.2. Нормирование на группах и кольцах

Метрику можно вводить на различных алгебраических объектах группах, кольцах, полях и так далее. Делается это следующим образом.

Определение 1.13. Пусть G абелева группа, а d метрика на G. Мы будем использовать обозначение x; y ! x + y для групповой операции в абелевых группах. Говорят, что (G; +; d) метрическая группа, если операция x ! x взятия обратного элемента есть изометрия, и операция x ! x + g есть изометрия для любого g 2 G. В этом случае также говорят что метрика согласована с групповой структурой, или что метрика инвариантна.

Определение 1.14. Функция : G ! R 0 называется нормой на группе если

(i)(g) = ( g), (0) = 0.

(ii)(g) > 0 для любого g 6= 0.

(iii)(g + g0) (g) + (g0), для любых g; g0 2 G.

Легко видеть, что для любой нормы функция d (x; y) := (x y) задает метрику на G, согласованную с групповой структурой. Обратно, любая такая метрика задает норму (x) := d(x; 0) (проверьте).

Множество последовательностей Коши в метрической группе с операцией почленного сложения образует группу, а последовательности Коши, эквивалентные нулю подгруппу этой группы. Это легко видеть из следующего соображения. Пусть A; B G подмножества в группе. Множество всех сумм вида fa + b j a 2 A; b 2 Bg обозначается A + B.

Часть III. Лекции по топологии

Легко видеть, что сумма двух шаров радиуса "; "0 содержится в шаре радиуса " + "0. Следовательно, для любых последовательнпстей Коши faig fbig, все члены суммы fai + big, кроме конечного числа, содержатся в шаре сколь угодно малого наперед заданного радиуса.

Факторгруппа группы последовательностей Коши по подгруппе последовательностей Коши, эквивалентных нулю это пополнение G. Таким образом, пополнение метрической группы есть снова метрическая группа. Эта конструкция хорошо известна для группы рациональных чисел по сложению; таким образом строится аддитивная структура на множестве вещественных чисел.

Определение 1.15. Пусть A кольцо, с ассоциативным, коммутативным умножением, а : A ! R 0 функция на A. называется нормой на кольце, если выполнены следующие условия

(i)Рассмотрим A как группу, с групповым законом, заданным сложе-

нием. Тогда это норма. Иначе говоря, (g) > 0 для каждого

g6= 0, (0) = 0, (g) = ( g), и (g + g0) (g) + (g0).

(ii)Норма мультипликативна: (xy) = (x) (y).

Примером нормы на кольце является отображение t ! jtj, определенное на Q и на R. Другим примером является дискретная норма:(t) = 0, если t = 0, и 1 в противном случае. Она мультипликативна на любом кольце таком, что из xy = 0 следует x = 0 или y = 0 (такие кольца называются кольцами без делителей нуля).

Кольцо с нормой наделено инвариантной метрикой, построенной по формуле d (x; y) = (x y). Множество последовательностей Коши в таком кольце, с операциями почленного сложения и умножения, образует кольцо, а последовательности, эквивалентные нулю идеал в этом кольце.1 Фактор по этому идеалу есть пополнение R по метрике d . Мы получили, что пополнение кольца по метрике, заданной нормой снова кольцо.

Аналогичную процедуру можно провести с полем. Почленного деления последовательности Коши на последовательность Коши не получится, потому что в ненулевой последовательности Коши могут содержаться

1Напомним, что идеал I в кольце A это подгруппа по сложению в A, такая, что для любых a 2 A; 2 I произведение a лежит в I. Факторгруппа по идеалу наделена естественной структурой кольца. Обратное тоже верно: для любого сюръективного

'

гомоморфизма колец A ! A1, ядро ' является идеалом.

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

элементы, равные нулю. Но каждую последовательность Коши, не эквивалентную нулю, можно заменить на подпоследовательность, не содержащую нулей, а такие подпоследовательности можно делить почленно. То, что частное снова будет последовательностью Коши, проверяется за 3-4 строки вычислений.

Из этого следует, что пополнение поля с нормой – это поле. Именно таким образом, исходя из множества последовательностей Коши в Q, строится поле R.

1.3.Целые p-адические числа: неархимедова геометрия

Начиная с интересных нормирований на кольцах, можно получать очень полезные алгебраические объекты. Зафиксируем простое число p.

Определение 1.16. Пусть x 2 Z представимо в виде x = p x1, где x1 не делится на p, а 2 Z 0. Тогда p-адическая норма p(x) равна p . Положим p(0) = 0. Проверьте, что это норма. Пополнение Z относительно такой нормы называется кольцом целых p-адических чисел, обозначается Zp.

Аналогичная конструкция, примененная к Q, даст пополнение Qp, которое называется полем p-адических чисел. Любое рациональное число a 2 Q можно представить в виде a = p mn , где n, m взаимно просты с p, а целое число, однозначно заданное разложением числителя и знаменателя a на простые множители. Определим (a) := p . Докажите, что это нормирование на поле Q.

p-адическая норма задает метрику, обычным способом: d(x; y) = (x y). Эта метрика довольно замечательна геометрически, ибо обладает свойством неархимедовости:

d(x; y) max(d(x; z); d(y; z)):

Из этого условия следует аксиома треугольника, но оно сильнее. Для нормы, то же самое записывается в виде

(x + y) max( (x); (y)):

Часть III. Лекции по топологии

Проверьте, что эти условия равносильны. Проверьте это неравенство для p-адической нормы.

Неархимедовость метрического пространства равносильна такому условию. Пусть задан треугольник x; y; z, с длинами сторон a; b; c. Тогда две из сторон равны, а третья меньше каждой из них. Действительно, пусть aсамая длинная сторона. Из неархимедовости следует, что a max(b; c), поэтому b или c имеет такую же длину, а третья сторона (самая маленькая) такая же, или меньше.

Геометрически, это свойство можно переговорить так: любой треугольник в неархимедовом пространстве равнобедренный, и его основание меньше двух других сторон.

Если B"(a) "-шар в неархимедовом пространстве, с центром в a, а x; y две его точки, то d(x; y) max(d(x; a); d(y; a)) ". Поэтому "- шар с центром в любой точке B"(a) совпадает с B"(a). В неархимедовом пространстве, любая точка шара является его центром.

Неархимедова геометрия довольно полезна в теории чисел, алгебраической геометрии и других науках. Например, в физике высоких энергий, некоторые версии теории струн развивают, исходя из того, что физическое пространство в очень малых (квантовых) масштабах имеет геометрию, приближающуюся к неархимедовой.

1.4. Арифметика p-адических чисел

Легко видеть, что в любой полной группе с инвариантной метрикой, за-

P

данной нормой , ряд вида gi сходится, если сходится соответствующий ряд из норм P (gi) (проверьте). Поскольку (piz) p i, для любой последовательности целых чисел zi, ряд P1i=0 zipi сходится к целому p- адическому числу. Действительно,

(геометрическая прогрессия). В частности, сходится ряд

1 + p + p2 + p3 + :::

Дробное число 1 1 p является целым p-адическим! Действительно, сумма этого ряда, будучи умножена на 1 p, дает 1 (проверьте это).

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

Если два целых числа a; b принадлежат "-шару, с 2" < p i, разность a b делится на pi (проверьте). Записав элементы последовательности Коши f ig целых чисел в p-ичной системе счисления, мы получим нечто вроде

0000000000000000000000000000000000020

0000000000093275091374509172340957210

0000000000000026381637617631863181610

0000000000007927931793719279129881610

0000000000000000009812038102829881610

0000082739812739127397038102829881610

0003719237912723927397038102829881610

7213719237912723927397038102829881610

Из этой таблицы наглядно видно, что соответствующая последовательность цифр стабилизируется: на i-м месте, начиная с какого-то момента, стоит одна и та же цифра. Пределом ее будет, очевидно, сумма вида

P1i=0 zipi, где 0 zi p 1 i-я цифра с конца, в p-ичном представлении N , для достаточно большого N.

Как и вещественные числа, p-адические числа можно складывать и умножать в столбик, не забывая переносить переполнение в следующий регистр. Продумайте эту процедуру, самостоятельно посчитайте произведение и сумму каких-нибудь p-адических чисел.

Для каждого n, не делящегося на p, уравнение nx = 1 mod p имеет целое решение. Пусть v := 1 nx. Очевидно, (v) p1 , и поэтому сумма

вида 1+v +v2 +v3 +::: сходится. Поскольку (1+v +v2 +v3 +:::)(1 v) = 1,

имеем 1 + v + v2 + v3 + ::: = xn1 , поэтому n1 = x + vx + v2x + v3x + :::. Таким образом, в кольце целых p-адических чисел определено деление на любое

n, взаимно простое с p.

Из этого видно, что рациональное число a 2 Q является целым p- адическим тогда и только тогда, когда a = mn , и n взаимно просто с p. Другими словами, рациональное число a 2 Q является целым p- адическим тогда и только тогда, когда (a) 1. Целые p-адические числа это шар радиуса 1 в Qp, с центром в любом целом числе, например, в нуле (центром шара в неархимедовом метрическом пространстве является любая его точка).

В кольце p-адических чисел можно совершать и более сложные алгебраические операции, например, вычислить квадратный корень. Из раз-

Часть III. Лекции по топологии

ложения Тэйлора следует, что сумма ряда

( 1)i(2i)!xi

(1 2i)(i!)24iN2i 1

(1.4.1)

удовлетворяет S2 = N2 + x, если этот ряд сходится. Из S2 = N2 + x и единственности разложения в ряд Тэйлора следует ряд комбинаторных тождеств (по одному для каждой степени x), которые можно усмотреть непосредственно. Воспользовавшись этими комбинаторными тождествами, получим, что из абсолютной сходимости (1.4.1) в каком-нибудь нормированном поле (например, в p-адическом) следует, что его сумма тоже удовлетворяет S2 = N2 + x.

число. Частное (2(i!)i)!2 целое, потому что это биномиальный коэффициент. Получаем, что норма i-го члена этой суммы оценивается через

(здесь мы используем неравенство

k1 k

верное для любого целого k; докажите его). Используя равенство (1.4.2), и абсолютную сходимость ряда P(2i 1)p i (докажите), мы получаем, что ряд (1.4.1) сходится. Поэтому в кольце p-адических чисел, для нечетного p, можно вычислять квадратный корень из числа вида N2 + x, где x делится на p, а N взаимно просто с p.

Задача 1.1. Какие квадратные уравнения можно решить в Zp? А какиев Qp?

Это рассуждение можно обобщить для произвольного алгебраического уравнения. Знаменитая лемма Гензеля (Hensel’s lemma) утверждает, что любое полиномиальное уравнение вида P (x) = 0 с целыми коэф-

Лекция 1: метрика, пополнение, p-адические числа

Задача 1.2. Докажите лемму Гензеля.

Kurt Hensel (1861 1941)

p-адические числа изобрел в 1897 году Курт Гензель, который руководствовался идеями Куммера. Гензель, ученик Кронекера, был внуком сестры композитора Мендельсона. Он надеялся, посредством p-адических чисел, решать вопросы теории чисел, и немало решил их. Впрочем, метрика и сходимость p-адических чисел была совершенно непонятна Гензелю и его современникам.

Гензель доказал, что любое вещественное число можно представить как сумму ряда, который будет сходиться в Zp; изучая p-адическую сумму этого ряда, он доказал несколько ошибочных теорем о вещественных числах. Например, Гензель представил ep как сумму сходящегося p-адического ряда, и вывел отсюда неправильное доказательство трансцендентности числа e.

p-адические числа были концептуально не поняты вплоть до 1910-х годов, когда Фреше и Рисс (Riesz) изобрели метрические пространства, обосновав неясные рассуждения Гензеля.

В 1912-м году, венгерский математик Йожеф Кюршак (J´ozsef K¨ursch´ak, 1864 1933) изобрел валюации (нормы) на кольце, обобщив p- адические нормы. В 1917-м году, Александр Маркович Островский

Часть III. Лекции по топологии

(1893-1986), ученик Гензеля, дал полную классификацию норм на поле Q. Оказалось, что нормы на поле Q исчерпываются p-адическими (с точностью до возведения в степень) и обычной (евклидовой) нормой. Набросок доказательства теоремы Островского приведен в задачах.

1.5. Библиография, замечания

p-адические числа центральное понятие большинства курсов теории чисел. Теория метрических пространств и пополнение вводятся в начале многих хороших курсов анализа, например, Зорича, Лорана Шварца, и Кириллова-Гвишиани; также их изучают в матшкольном курсе анализа и геометрии. Матричные группы над p-адическими полями чрезвычайно важны в теории представлений. В. С. Владимиров и его соавторы написали много трудов о применении p-адического анализа в математической физике и теории струн.

Вот некоторые книжки, которые могут пригодиться.

Коблиц Н., p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функ- ции, М.: Мир, 1982.

Серр, Ж.-П., Курс Арифметики, М.: Мир, 1972, http://ega-math.narod.ru/Books/Arithm.htm

Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979

Электронная библиотека учебников по p-адическим числам: http://www.fen.bilkent.edu.tr/ franz/LN/LN-padic.html

Лекция 2: нормирования в векторных пространствах

Лекция 2: нормирования в векторных пространствах

2.1. Примеры нормированных пространств

В этом разделе, все векторные пространства предполагаются заданными над R.

Определение 2.1. Пусть V векторное пространство над R, а : V ! R 0 функция со значениями в неотрицательных числах. называется нормой на V , если имеет место следующее

Невырожденность: (v) > 0, если v 6= 0,

Неравенство треугольника: (v + v0) (v) + (v0).

Инвариантность относительно гомотетии: ( v) = j j (v),

для любых v, v0 2 V , и любого 2 R. В такой ситуации V называется

нормированным пространством.

Заметим, что из инвариантности относительно гомотетии следует, что(0) = 0, и ( x) = (x). Поэтому является нормой на группе V .

Пример 2.2:

V = Rn. Для каждого вектора v = (x1; x2; :::; xn) определим

jvjL1 := max jxij:

Докажите, что это норма.

V = Rn. Для каждого вектора v = (x1; x2; :::; xn) определим

X

Докажите, что это норма.

Часть III. Лекции по топологии

V = Rn. Для каждого вектора v = (x1; x2; :::; xn) определим

q

X jvjL2 := x2i :

На одномерном пространстве норма единственна с точностью до умножения на число: x ! cjxj.

Норма j jL2 называется обычной, или евклидовой нормой на векторном пространстве. Неравенство треугольника для евклидовой нормы называется неравенством Коши-Буняковского. В нерусскоязычной литературе оно же называется неравенство Коши-Шварца (CauchySchwarz inequality). Чтоб его доказать, возьмем два ненулевых, неколлинеарных вектора x; y в векторном пространстве с положительно определенным скалярным произведением g; неравенство треугольника для j jL2 будет следовать из неравенства

p p p

g(x; x) + g(y; y) g(x + y; x + y):

Возведя обе части в квадрат и раскрыв скобки, получим, что это неравенство равносильно такому:

p

С другой стороны, из g(x y; x y) > 0 следует, что квадратичный

полином

P ( ) := g(x; x) 2 g(x; y) + 2g(y; y);

не имеет корней. Значит, его дискриминант D = g(x; y)2 g(x; x)g(y; y) отрицателен. Это доказывает (2.1.1).

В качестве альтернативного метода заметим, что на двумерном пространстве, порожденном x; y, можно ввести координаты таким образом, что квадратичная форма g будет стандартной g((x1; x2); (y1; y2)) = x1y1 + x2y2. Тогда неравенство треугольника следует из того, что (как известно из школьной планиметрии)

p

g(x; y) = jxjjyj cos jxjjyj = g(x; x)g(y; y)

где есть угол между векторами ~x и ~y.

Норма на пространстве задает метрику по формуле

d (x; y) = (x y):

Та же самая формула используется для колец, полей, групп и т. д.