top-book

4. Аксиома выбора и ее приложения

4.5. Лемма Цорна и теорема Цермело

Другое утверждение, также равносильное аксиоме выбора лемма Цорна.

Пусть (S; ) частично упорядоченное множество. Элемент x 2 S называется максимальным, если не существует y 2 S, такого, что x y. Для подмножества S1 S и x 2 S, мы пишем S1 4 x, если для каждого 2 S1 имеем 4 x.

Теорема 4.10: (лемма Цорна) Пусть (S; ) частично упорядоченное множество, причем для любого вполне упорядоченного подмножества1 S1 S найдется элемент 2 S такой, что S1 4 . Тогда в S найдется максимальный элемент.

Теорема 4.11: Следующие утверждения равносильны:

ZL Лемма Цорна.

WOT Теорема Цермело.

AC Аксиома выбора.

Доказательство: Отметим, что полностью аккуратное доказательство Теоремы 4.11 требует использования аксиоматической теории множеств.

ZL ) WOT: Пусть X любое множество, а S множество всех пар (X1; ), где X1 X подмножество, а отношение полного порядка на X1.

Рассмотрим отношение частичного порядка на S: (X1; ) < (X2; ), если (X1; ) это начальный отрезок (X2; ). Легко видеть, что условие леммы Цорна выполнено для (S; <): если S1 S вполне (и даже линейно) упорядочено, объединение X всех элементов S1 с естественным отношением порядка вполне упорядочено и удовлетворяет S1 . Поэтому в S есть максимальный элемент ( ; ). Если 6= X, возьмем2 Xn , и определим отношение порядка на 1 := [ f g, положив

1Довольно часто в утверждении леммы Цорна пишут “линейно упорядоченное подмножество” вместо вполне упорядоченного. Эти две формулировки равносильны. Доказательство равносильности предоставлено читателю в качестве нетрудного упражнения.

4. Аксиома выбора и ее приложения

тоже лежит в . Мы пришли к противоречию. Лемма Цорна доказана.

Часть II

Топология в задачах

55

Материалу первого листка предшествует определение поля вещественных чисел. Поскольку это часть стандартного курса анализа (а часто и школьной математики), я отнес их в конец книги, в приложения.

Часть II. Задачи по топологии

Листок 1: Метрические пространства и норма.

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим k задач с двумя звездочками разрешается не сдавать 2k задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

В этом листочке предполагается знакомство с определением линейного пространства и скалярного произведения (т.е. положительно определенной билинейной симметричной формы), знакомство с понятием кольца, поля, и определением поля вещественных чисел.

1.1.Метрические пространства, выпуклые множества, норма.

Определение 1.1. Метрическое пространство есть множество X, снабженное такой функцией d : X X ! R, что

а.Для любых x; y 2 X имеем d(x; y) 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x = y.

б. Симметричность: d(x; y) = d(y; x)

в. “Неравенство треугольника”: для любых x; y; z 2 X,

d(x; z) d(x; y) + d(y; z):

Функция d, удовлетворяющая этим условиям, называется метрикой. Число d(x; y) называется “расстоянием между x и y”.

Если x 2 X точка, а " вещественное число, то множество

B"(x) = fy 2 X j d(x; y) < "g

называется (открытый) шар радиуса " с центром в x. Такой шар еще называется "-шар. Замкнутый шар определяется как

B"(x) = fy 2 X j d(x; y) "g:

Листок 1: Метрические пространства и норма.

Задача 1.1. Рассмотрим любое подмножество в евклидовой плоскости R2 с функцией d, заданной как d(a; b) = jabj, где jabj – длина отрезка [a; b] на плоскости. Докажите, что это метрическое пространство.

Задача 1.2. Рассмотрим такую функцию d1 : R2 R2 ! R:

(x; y); (x0; y0) 7!max(jx x0j; jy y0j):

Докажите, что этo метрика. Опишите единичный шар с центром в нуле.

Задача 1.3. Рассмотрим такую функцию d1 : R2 R2 ! R:

(x; y); (x0; y0) 7!xj x0j + jy y0j:

Докажите, что этo метрика. Опишите единичный шар с центром в нуле.

Задача 1.4 (*). Функция f : [0; 1[! [0; 1[ называется выпуклой вверх, если f( x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y), для любого вещественного 2 [0; 1]. Пусть f такая функция, а (X; d) метрическое пространство. Предположим, что f( ) = 0 тогда и только тогда, когда= 0. Докажите, что функция df (x; y) = f(d(x; y)) задает метрику на

X.

Задача 1.5. Пусть V линейное пространство с положительно определенной билинейной симметричной формой g(x; y) (в дальнейшем мы будем называть такую форму скалярным произведением). Определим

p

“расстояние” dg : V V ! R как dg(x; y) = g(x y; x y). Докажите, что d(x; y) 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x = y.

Определение 1.2. Пусть x 2 V вектор векторного пространства.

Параллельный перенос на вектор x это отображение Px : V ! V , y 7!y + x.

Задача 1.6. Докажите, что функция dg “инвариантна относительно параллельных переносов”, т.е. dg(a; b) = dg(Px(a); Px(b)).

Часть II. Задачи по топологии

Задача 1.7. Докажите, что dg удовлетворяет неравенству треугольника:

p p p

g(x y; x y) g(x; x) + g(y; y)

Указание. Рассмотрим подпространство V0 V , порожденное x и y. Докажите, что оно либо одномерно, либо изоморфно, как пространство со скалярным произведением, пространству R2 со скалярным произведением g((x; y); (x0; y0)) = xx0 +yy0. Воспользуйтесь неравенством треугольника для R2.

Задача 1.8 (!). Докажите, что dg это метрика.

Указание. Пользуясь инвариантностью относительно параллельных переносов, сведите эту задачу к предыдущей.

Определение 1.3. Пусть V пространство со скалярным произведением g, а dg метрика, построенная выше. Эта метрика называется

евклидовой.

Определение 1.4. Пусть V линейное пространство, Px : V ! V параллельный перенос, а V1 V – одномерное подпространство. Тогда образ Px(V1) называется прямой в V .

Задача 1.9. Даны две разные точки x; y 2 V . Докажите, что существует единственная прямая Vx;y, проходящая через x и y.

Определение 1.5. Пусть l прямая, проведенная через точки x и y, aточка, лежащая на l. Мы говорим, что a лежит между x, y, если d(x; a) + d(a; y) = d(x; y). Отрезок прямой между x и y (обозначается

[x; y]) есть множество всех точек прямой Vx;y, которые “лежат между” x и y.

Задача 1.10. Даны три разные точки на прямой. Докажите, что одна (и только одна) из этих точек лежит между другими. Докажите, что отрезок [x; y] это множество всех точек z вида ax + (1 a)y, где a 2

[0; 1] R.

Определение 1.6. Пусть V линейное пространство, а B V некоторое подмножество. Говорят, что подможество B выпуклое, если для любых x; y 2 V , B содержит все точки отрезка [x; y].