top-book

Листок 5: Компактность

(i)X компактно

(ii)X замкнуто и ограниченно (т.е. содержится в каком-то шаре).

Определение 5.6. Непрерывное отображение f : X ! Y называется открытым, если образ любого открытого множества открыт.

Задача 5.33 (*). Пусть f : X ! Y открытое отображение, а слои f 1(y); y 2 Y компактны. Всегда ли f собственное?

5.2. Теорема Тихонова

Задача 5.34. Пусть дана последовательность ai(n) отображений из N в [0; 1]. Докажите, что можно выбрать такую подпоследовательность ai1 ; ai2 ; ai3 ; : : : , что faik (n)g сходится для любого n.

Задача 5.35 (!). Выведите из этого, что тихоновский куб [0; 1]N компактен.

Задача 5.36 (*). Дано топологическое пространство M. Пусть задано такое (возможно, несчетное) множество fV g покрытий M, что каждое V содержит V 0 либо содержится в нем (иначе говоря, fV g набор покрытий, получающихся друг из друга присоединением каких-то элементов). Пусть из каждого V нельзя выбрать конечное подпокрытие. Докажите, что из объединения всех V тоже нельзя выбрать конечное подпокрытие.

Задача 5.37 (*). Используя лемму Цорна, докажите, что у всякого некомпактного подмножества X M найдется покрытие fV g, из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия, а если добавить к fV g любое не содержащееся в нем открытое множество, то из полученного покрытия можно будет выбрать конечное подпокрытие.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Мы будем называть такие покрытия максимальными.

Задача 5.38 (*). Пусть дано максимальное покрытие fV g некомпактного топологического пространства M. Докажите, что если открытые

Часть II. Задачи по топологии

множества U1, U2 не лежат в fV g, и их пересечение непусто, то оно тоже не лежит в fV g. Докажите, что любое непустое конечное пересечение открытых множеств, не лежащих в fV g, тоже не принадлежит fV g.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 5.39 (*). Пусть в топологическом пространстве M задана предбаза топологии R. Пусть дано некомпактное подмножество X M и максимальное покрытие fV g. Докажите, что в fV g можно выбрать подпокрытие из R.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Замечание. Мы получили следующую теорему (теорема Александера о предбазе). Пусть в топологическом пространстве M задана предбаза топологии S. Тогда подмножество X M компактно тогда и только тогда, когда из любого покрытия X элементами из S можно выбрать конечное подпокрытие. Теорема Александера использует аксиому выбора и (как показал Дж. Л. Келли) эквивалентна ей.

Задача 5.40 (*). Выведите из этого, что тихоновский куб [0; 1]I компактен для любого множества I.

Указание. Рассмотрите предбазу для топологии на тихоновском кубе, составленную из подмножеств вида [0; 1] [0; 1] ]a; b[ [0; 1] : : :

(на одном месте стоит открытый интервал). Воспользуйтесь теоремой Александера.

Замечание. Компактность тихоновского куба эквивалентна такому утверждению. Рассмотрим пространство Map(I; [0; 1]) отображений из множества I в отрезок [0; 1], с топологией поточечной сходимости. Тогда Map(I; [0; 1]) компактно. В частности, из любой последовательности fai(x)g отображений можно выбрать такую подпоследовательность faik (x)g, что faik (x)g сходится в любом x 2 I.

Определение 5.7. Пусть M топологическое пространство, I некоторое множество, а MI пространство отображений из I в M, то есть произведение I копий M. Для x 2 I и открытого множества U M рассмотрим подмножество U(x) MI , состоящее из всех отображений,

Листок 5: Компактность

переводящих x в U. Определим на MI топологию с предбазой, состоящей из всех U(x). Такая топология называется тихоновской (также слабой

или топологией поточечной сходимости).

Задача 5.41 (*). Пусть M компактно. Выведите из теоремы Александера, что MI с тихоновской топологией компактно.

5.3. Основная теорема алгебры

Пусть P (x) = xn +an 1xn 1 + +a0 – полином положительной степени с комплексными коэффициентами. Мы рассматриваем P как функцию из C в C. Как топологическое пространство, C отождествляется с R2. Мы хотим доказать, что P (x) = 0, для какого-то x 2 C.

Задача 5.42. Докажите, что P непрерывен.

Указание. Возьмите jxj > 2 max (1; Pjaij).

P

Указание. Возьмите jxj > 2R max (1; jaij),

Задача 5.45. Выведите из этого, что jP j достигает локального минимума в точке a 2 C.

Указание. Мы приблизили многочлен jP j многочленом xn, скорость роста которого нам известна. Из этого мы вывели, что jP (x)j > Rn, когда jxj достаточно велик. Поэтому минимум jP j на круге jxj R достигается внутри круга, а не на его границе.

Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем предполагать, что минимум jP j достигается в нуле. Мы хотим доказать, что минимум jP j равен нулю. Пусть это не так. Пусть k самое маленькое число среди

Часть II. Задачи по топологии

1; 2; 3; : : : ; n, для которого ak 6= 0. Домножив P на a0 1, и сделав замену

q

x = z k ak 1, мы получим многочлен вида

Q(z) = 1 + zk + bk+1zk+1 + bk+2zk+2 + : : :

Задача 5.46. Докажите, что для любого комплексного z, такого, что jzj < 1, выполняется

X jQ(z) 1 zkj < jzk+1j jbij :

Задача 5.47. Докажите, что существует " > 0 такой, что для любого z 2 C, jzj < ", имеем

Задача 5.48. Выведите из этого, что для любого положительного вещественного c < " и любого комплексного z, для которого zk = c, выполняется

jQ(z) 1 + cj < c=2:

Замечание. В окрестности нуля, мы приблизили Q многочленом 1+zk. p

Пользуясь этим приближением, мы находим, что jQ( k ")j < jQ(0)j(1 12 ") для достаточно малых ". Следовательно, локальный минимум многочлена это всегда 0.

Задача 5.49 (!). Докажите Основную Теорему Алгебры: каждый многочлен P положительной степени имеет корень в C.

Листок 6: Поточечная и равномерная сходимость

Листок 6: Поточечная и равномерная сходимость

На протяжении этого листка, разрешается пользоваться следующей формой теоремы Тихонова. Пусть X компактное топологическое пространство, I произвольное множество, а XI пространство отображений из I в X, с топологией поточечной сходимости. Тогда XI компактно.

Задача 6.1. Рассмотрим пространство функций из отрезка в отрезок, с топологией поточечной сходимости. Докажите, что предел непрерывных функций может быть разрывен.

Определение 6.1. Пусть X, Y метрические пространства, а ff g набор непрерывных отображений из X в Y . Множество ff g называется равномерно непрерывным, если для каждого " найдется такое , что образ любого -шара под действием любого f содержится в некотором "-шаре (возможно, зависящим от f ).

Задача 6.2. Пусть дано отображение f : X ! Y метрических пространств, которое переводит последовательности Коши в последовательности Коши. Докажите, что f непрерывно как отображение топологических пространств. Всякое ли непрерывное отображение переводит последовательности Коши в последовательности Коши?

Задача 6.3 (!). Пусть X, Y метрические пространства, а ffig равномерно непрерывная последовательность непрерывных отображений из X в Y . Предположим, что ffig сходится к f в топологии поточечной сходимости. Докажите, что f непрерывна.

Указание. Докажите, что f равномерно непрерывна, с теми же самыми числами ", , что и ffig, и воспользуйтесь предыдущей задачей.

Зафиксируем компактные метрические пространства X, Y , и пусть Map(X; Y ) множество непрерывных отображений из X в Y .

Задача 6.4. Для любых f; g 2 Map(X; Y ) определим число dsup(f; g) как supx2X d(f(x); g(x)). Докажите, что dsup(f; g) корректно определено и задает метрику на Map(X; Y ).

Часть II. Задачи по топологии

Определение 6.2. Эта метрика называется sup-метрикой на Map(X; Y ).

Задача 6.5 (!). Предположим, что равномерно непрерывная последовательность отображений ffig Map(X; Y ) поточечно сходится к f на каком-то плотном подмножестве X0 X. Докажите, что она сходится к f в топологии, заданной sup-метрикой.

Указание. Пусть supx2X d(f(x); fi(x)) > C для любого i. Найдите сходящуюся последовательность таких fxig X0, что d(f(xi); fi(xi)) > C, и пусть x ее предел. В силу равномерной непрерывности, d(fi(xi); fi(x)) стремится к нулю. Воспользовавшись неравенством треугольника

d(fi(x); f(x)) + d(fi(xi); fi(x)) d(f(x); fi(xi));

получите противоречие.

Задача 6.6 (!). Пусть X и Y – компактные пространства со счетной базой, а ffig Map(X; Y ) – равномерно непрерывное семейство отображений. Докажите, что у ffig есть сходящаяся подпоследовательность.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Тихонова, чтобы найти подпоследовательность, которая сходится поточечно на плотном, счетном подмножестве.

Задача 6.7 (**). (теорема Арцела-Асколи) Пусть дано замкнутое (в смысле sup-метрики) и равномерно непрерывное множество отображений Map(X; Y ), где X и Y компактны. Докажите, что компактно в топологии, заданной sup-метрикой.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Тихонова.

Задача 6.8 (*). Пусть задано компактное подмножество K X и открытое подмножество V Y . Обозначим через U(K; V ) Map(X; Y ) множество всех отображений переводящих K в V . Рассмотрим топологию на Map(X; Y ), заданную предбазой из всех U(K; V ). Докажите, что та же самая топология задается sup-метрикой.

Определение 6.3. Эта топология на Map(X; Y ) называется компактнооткрытой топологией, или топологией равномерной сходимости.

Листок 6: Поточечная и равномерная сходимость

Задача 6.9. Докажите, что топология поточечной сходимости слабее топологии равномерной сходимости; другими словами, что тождественное отображение из Map(X; Y ) с топологией равномерной сходимости в Map(X; Y ) с топологией поточечной сходимости непрерывно.

Определение 6.4. Пусть Z подмножество метрического пространства M. Диаметром Z называется число diam(Z) := supx;y2Z d(x; y).

Задача 6.10. Пусть f 2 Map(X; Y ) непрерывное отображение, X компактно, " вещественное число, а (f; ") – супремум diam(f(B)) по

всем "-шарам B в X. Докажите, что lim (f; ") = 0.

" ! 0

Указание. Пусть задана такая сходящаяся к нулю последовательность "i, что какого-то набора точек xi 2 X и положительной константы C имеем diamf(B"i (xi))) > C. Рассмотрим предельную точку x последовательности fxig. Тогда в каждом "-шаре вокруг x содержится B"i (xi) (для достаточно большого i), из чего следует, что образ этого "-шара имеет диаметр больше C. Значит, f не непрерывна.

Задача 6.11 (!). Пусть задано непрерывное отображение f 2 Map(X; Y ), и X компактно. Докажите, что f равномерно непрерывна.

Указание. Это утверждение тавтологически эквивалентно

lim (f; ") = 0:

" ! 0

Задача 6.12. Пусть дано подмножество Map(X; Y ). Докажите, чторавномерно непрерывно тогда и только тогда, когда

lim sup (f; ") = 0:

" ! 0 f2

Задача 6.13 (*). Пусть dsup(f; g) < . Докажите, что (f; ") < (g; ") +

.

Задача 6.14 (*). Пусть ffig последовательность Коши в (Map(X; Y ); dsup). Докажите, что она равномерно непрерывна.

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Нам нужно доказать, что

Воспользoвавшись предыдущей задачей, убедитесь, что для всех fi, лежащих в каком-то -шаре в (Map(X; Y ); dsup), числа (fi; ") отличаются не больше, чем на . Выведите из этого, что supi (fi; ") < (fN ; ") + для фиксированного N, а следовательно,

Предел этого выражения при " ! 0 не больше , поскольку все fi равномерно непрерывны.

Задача 6.15 (*). Докажите, что метрическое пространство (Map(X; Y ); dsup) полное.

Задача 6.16 (*). Является ли (Map(X; Y ); dsup) локально компактным?

6.1. Кривая Пеано

Пусть дан отрезок [a; b]. Отображение [a; b] !f Rn называется линейным, если f( a + (1 )b) = f(a) + (1 )f(b), для любого 0 < < 1. Отображение называется кусочно линейным, если отрезок разбит на подотрезки [a; a1]; [a1; a2]; [a2; a3]; : : :, и f линеен на каждом из этих подотрезков. Образ кусочно линейного отображения это, очевидно, ломаная.

Пусть дано кусочно линейное отображение f из отрезка [0; 1] в квадрат [0; 1] [0; 1] со следующим свойством: все сегменты ломаной f([0; 1]) параллельны прямой x = y либо прямой x = y.

Иными словами, для каждого подотрезка [a; a1], на котором f линеен, f отображает [a; a1] в диагональ некоторого квадрата Q, со сторонами, параллельными осям координат. Пусть Pl – пространство таких кусочнолинейных отображений.

Определим операцию , которая делает из кусочно-линейного отображения f 2 Pl с k линейными сегментами кусочно-линейное отображение