top-book

Часть III. Лекции по топологии

(последнее неравенство следует из того, что (x) < 1; (y) < 1).

единичный шар в R2

1

1111111111111111100000000000000000

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 1 X

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

0000000000000000011111111111111111

1111111111111111100000000000000000

в L2-норме (евклидовой)

Единичный шар в нормах j jL1 , j jL1, j jL2 , легко нарисовать (для R2), и наглядно убедиться в его выпуклости.

Евклидова норма выделена из всех прочих тем, что у нее группа изометрий самая большая. Чтобы доказать это (и даже сформулировать), необходимо разобраться с тем, что такое "размер" (размерность) группы. Но даже на картинке выше видно, что у единичной сферы в j jL2 нет выделенных частей, и группа движений (изометрий) действует на ней транзитивно (переводя любую точку в любую), а в единичной сфере для j jL1 и j jL1 особыми точками являются углы квадратов.

Нормы L1, L2, L1 часть непрерывной системы норм на Rn, которые определяются следующим образом. Пусть v = (x1; :::; xn) точка Rn, а p вещественное число, p 1. Определим Lp-норму формулой

q

X jvjLp := p jxijp:

Лекции и задачи по топологии – 172 – Миша Вербицкий, version 1.3, 11.09.2014

Лекция 2: нормирования в векторных пространствах

Неравенство треугольника для этой нормы называется неравенством Минковского; его доказательство довольно трудоемко.

Для пространства непрерывных функций на отрезке (или другом компактном множестве M), можно определить Lp-нормы, для p 1, формулой

s

Z

jfjLp = p jfjp:

M

и

jfjL1 = sup f

M

Супремум jfj конечен, и интегралы jfjp определены, потому что непрерывная функция достигает максимума на отрезке (и любом компакте), а значит ограничена. Неравенство треугольника для L1, L2 и L1-нормы в этой ситуации доказывается элементарно (докажите).

2.2. Непрерывные отображения

Определение 2.5. Подмножество Z M метрического пространства называется открытым, если верны следующие равносильные условия (докажите равносильность).

(i)оно является объединением "-шаров

(ii)вместе с каждой точкой z 2 Z, Z содержит целиком некоторый "- шар с центром в этой точке.

Определение 2.6. Пусть fzig последовательность точек в метриче-

ском пространстве (M; d). Мы говорим, что zi сходится к z, если lim d(zi; z) =

i ! 1

0

Определение 2.7. Пусть (M1; d1) и (M2; d2) метрические пространства, а f : M1 ! M2 некоторое отображение. Оно называется непрерывным, если верны следующие равносильные условия (докажите равносильность).

(i) Отображение f сохраняет пределы: если последовательность fzig сходится к z, то ff(zi)g сходится к f(z).

Часть III. Лекции по топологии

(ii)Для каждой z 2 M и каждого " > 0 найдется > 0 такое, что из d1(x; z) < следует d2(f(x); f(z)) < ".

(iii)Прообраз любого открытого множества открыт.

Композиция непрерывных отображений очевидно непрерывна.

Замечание 2.8. Непрерывное отображение совершенно не обязано переводить последовательности Коши в последовательности Коши. Рас-

'

смотрим, например, отображение Q ! f0; 1g, переводящее все числа p p

> 2 в 1, а все числа меньше 2 в 0. Открытых подмножеств в множестве f0; 1g 4 штуки: {0}, {1}, пустое множество и все f0; 1g; легко видеть, что прообраз каждого из них открыт.

Пример 2.9: Пусть z точка метрического пространства M. Тогда x d!z d(z; x) является непрерывным отображением из M в R с евклидовой метрикой. Действительно, из неравенства треугольника сразу следует, что dz(x) dz(y) d(x; y).

Определение 2.10. Отображение метрических пространств называется гомеоморфизмом, если оно непрерывно, биективно, и обратное ему тоже непрерывно.

Две нормы и 0 на векторном пространстве V называются эквивалентными, если тождественное отображение задает гомеоморфизм

(V; ) ! (V; 0).

Непрерывность тождественного отображения (V; ) ! (V; 0) значит, что некоторый открытый шар в норме 0 содержит открытый шар в норме . Если первый шар имеет радиус r, второй шар радиус s, то шар радиуса 1 в (V; 0) содержит шар радиуса s=r в норме . Иначе говоря, из 0(x) 1 следует (x) s=r. Это равносильно такому неравенству:

неравенство, с другим коэффициентом. Мы получили такое утверждение.

Утверждение 2.11: Пусть и 0 нормы на векторном пространстве V . Эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют положительные числа C1, C2, такие, что для любого x 2 V выполнены неравенства

Часть III. Лекции по топологии

неравенство (v) C1jvjL1 . Неравенство (v) CjvjL1 получено чуть выше. Мы доказали эквивалентность норм на V .

2.3. Выпуклые множества и норма

Пусть V конечномерное векторное пространство, норма на нем, а B единичный шар. Как мы видели, B ограниченное (содержится в евклидовом шаре большого радиуса), открытое, выпуклое множество. Оказывается, каждое такое множество задает некоторую норму.

Теорема 2.13: Пусть V конечномерное векторное пространство, а Bнепустое открытое, выпуклое, ограниченное подмножество в V . Предположим, что B центрально-симметрично, то есть для каждого v 2 B точка v тоже лежит в B. Тогда B является единичным шаром для какой-то нормы.

Доказательство: Для любых множеств A; B V , определим A + B V как множество всех векторов вида a + b, a 2 A; b 2 B. Для 2 R, определим A как множество всех векторов вида a, a 2 A.

Выпуклость B равносильна условию B + (1 )B B, где 2 [0; 1] произвольное число от 0 до 1 (докажите это). Поэтому для выпуклого B мы имеем B + B ( + )B.

Поскольку B открыт и содержит 0, это множество непусто, а поскольку ограничен для ненулевого x, B(x) 6= 0. Условие B( x) = j j B(x) следует прямо из определения. Наконец, неравенство треугольника вытекает из B + B ( + )B. Действительно, пусть x; y такие векторы, что x 2 ( + ")B и y 2 ( + ")B. Тогда x + y 2 ( + + 2")B. Поэтому для любого " > 0, из B(x) = , B(y) = следует (x + y) + + 2". Это доказывает неравенство треугольника. Мы построили норму B по выпуклому, ограниченному, открытому, центрально-симметричному множеству B. Легко видеть, что единичный шар в B это и есть B.

Лекция 3: Компакты в метрических пространствах

Лекция 3: Компакты в метрических пространствах

3.1. Теорема Гейне-Бореля

Пусть M метрическое пространство. Напомним, что открытое подмножество M –это объединение любого числа открытых шаров. Ясно, что объединение любого числа открытых подмножеств открыто.

Определение 3.1. Набор открытых подмножеств fU g в M называет-

S

ся покрытием M, если M = U . Подпокрытием покрытия fU g

называется такое подмножество fU g, которое тоже является покрытием.

Определение 3.2. Пространство M называется компактным, если из любого покрытия M можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3.3. Пространство M называется секвенциально компактным, если любая последовательность точек fxig в M имеет сходящуюся подпоследовательность.

Теорема 3.4: (Теорема Гейне-Бореля)

Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.

Доказательство

Вывести из обычной компактности секвенциальную ничего не стоит. Напомним, что окрестностью точки x 2 M называется любое открытое множество, содержащее x. Точка x является предельной точкой последовательности fxig тогда и только тогда, когда в любой окрестности x содержится элемент fxig. Пусть fxig последовательность, не имеющая предельных точек.

Для каждого x 2= fxig, некоторая окрестность x не содержит элементов fxig. Объединение U всех таких окрестностей открыто, и совпадает с дополнением Mnfxig. Взяв у каждого xi окрестность Ui, которая не