top-book

Листок 9: Накрытия Галуа

Задача 9.44. Пусть M линейно связное и односвязное пространство,

аM ! M связное накрытие. Докажите, что это гомеоморфизм.

~ 2 1

Указание. Докажите, что M линейно связно. Пусть x; y (x0) две точки, а ~ путь, который их соединяет. Тогда := (~) это петля. Поскольку M односвязно, продолжается до отображения из квадрата

пусть ~ компонента прообраза, которая содержит . Воспользовавшись

X ~

предыдущей задачей, докажите, что ~ это гомеоморфизм, и

X ! X

выведите из этого, что x = y.

Задача 9.45. В условиях предыдущей задачи, докажите, что любое накрытие M расщепляется.

Определение 9.13. Пусть M любое (не обязательно линейно связное) связное топологическое пространство. M называется односвязным, если любое накрытие M расщепляется.

Замечание. В силу предыдущей задачи, это определение согласовано с определением односвязности для линейно связных топологических пространств, данным в листке Топология 8.

~ !

Определение 9.14. Пусть M связно. Накрытие M M называется универсальным, если оно односвязно.

Задача 9.46 (!). а. Докажите, что универсальное накрытие есть накрытие Галуа.

б.Докажите, что универсальное накрытие единственно с точностью до изоморфизма.

~ ~ 0

Указание. Пусть M, M два универсальных накрытия M. Поскольку

~ M ~ 0 является накрытием ~ , ~ 0, оно расщепляется над ~ , ~ 0. Это

M M M M M M

значит, что любая связная компонента ~ M ~ 0 изоморфно проектиру-

M M

ется в ~ , ~ 0.

M M

Задача 9.47. Пусть M1 ! M2 и M2 ! M3 накрытия.

** Верно ли, что композиция M1 ! M3 тоже накрытие?

!Пусть у каждой точки M3 есть односвязная окрестность. Докажите, что M1 ! M3 накрытие.

Часть II. Задачи по топологии

9.3. Существование универсального накрытия

~

Задача 9.48. Пусть M линейно связно, M ! M связное накрытие, а x 2 M любая точка. Докажите, что мощность множества 1(x) не больше, чем мощность 1(M).

Задача 9.49. Докажите, что мощность 1(x) не больше, чем мощность множества M[0;1] отображений из [0; 1] в M.

~

Задача 9.50 (*). Пусть M ! M связное накрытие связного M, а x 2 M любая точка. Докажите, что мощность 1(x) не больше, чем j22Sj, где j22Sj мощность множества подмножеств S S.

Указание. Выберем x1; x2 2 1(x). Докажите, что найдется набор та-

ких связных открытых множеств f ~ g 2 1 , что ~ пересекается с

U (S) U 0

объединением всех ~ , не равных , причем

U U 0

[

f g 1 \ ~ x1; x2 = (x) U :

Сужая базу S, если необходимо, можно предположить, что расщепляется над (U ) для всех . Докажите, что x2 задается однозначно, если задано x1, f (U )g, и отмечено, какие из U пересекаются.

Задача 9.51. Пусть M связное, а V множество заданной ниже мощности. Обозначим через R множество всех топологий, заданных на какомто подмножестве X M V таким образом, что естественная проекция X ! M является накрытием. Докажите, что любое связное накрытие

Mизоморфно какому-то элементу R, если

а.M линейно связно, а мощность V равна jM[0;1]j

* Мощность V равна j22Sj, где S база топологии в M.

Замечание. Эта задача позволяет говорить о “множестве классов изоморфизма накрытий”. Напомним, что не все математические объекты являются множествами; так, множеством не является класс всех множеств. Чтобы доказать, что какой-то класс является множеством, надо ограничить его мощность.

Листок 9: Накрытия Галуа

Определение 9.15. Пусть fM ! Mg набор отображений на M, проиндексированный набором индексов I (возможно, бесконечным, или даже несчетным). Рассмотрим множество всех таких (m 1 ; m 1 ; : : : ) 2

Задача 9.52. Пусть M топологическое пространство, а fM ! Mg

зом. Пусть U M открыто, а U M g – набор открытых множеств,

Q

* Верно ли, что естественная проекция M M ! M накрытие?

! Предположим, что у каждой точки M найдется односвязная окрест-

Q

ность. Докажите, что естественная проекция M M ! M накрытие.

любая компонента связности их произведения над M тоже накрытие Галуа.

Указание. Воспользуйтесь задачей 9.53.

~

Задача 9.55. Пусть M накрытие M. Постройте естественную биек-

цию между множествами M QM ~ и QM ~ or( M ; M) or(M ; M)

Задача 9.56 (*). Пусть fM ! Mg – множество всех накрытий S1 ! S1, t ! nt, проиндексированных n 2 Z. Докажите, что любая связная компонента QM M изоморфна R ! R=Z = S1.

Часть II. Задачи по топологии

2 , 1 2 2 1 , компонента связности ~ M ~ , содержащая

M

M

W

)

x

(

x

;

x

M

x

~ ~ ~

x1 x2, а W1 компонента связности M M M M M, содержащая x1 x2 x2. Докажите, что естественная проекция W1 ! W (забывание третьего аргумента) это изоморфизм.

Задача 9.58. В такой же ситуации, пусть fx g набор точек в 1(x), проиндексированных 2 I, W – соответствующая компонента в рассло-

расщепляется над MG. Докажите, что MG ! M накрытие Галуа.

Замечание. Мы доказали, что любое накрытие является фактор-накрытием накрытия Галуа.

Задача 9.60. Пусть M связное топологическое пространство, R

множество всех классов изоморфизма связных накрытий M, fM !

тия ~ 0 ! ~ найдется сюръективный морфизм накрытий ~ ! ~ 0.

M M M M

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

В условиях предыдущей задачи, докажите, что ~ на-

Задача 9.61. M

крытие Галуа.

~ !

Задача 9.62 (!). Выведите из этого, что для любого M M, накры-

тие ~ M ~ 0 ! ~ расщепляется.

M M M

Указание. Воспользуйтесь 9.24.

Листок 9: Накрытия Галуа

Задача 9.63 (!). Пусть M любое связное топологическое простран-

ство, а ~ ! накрытие Галуа, построенное выше. Докажите, что

M

M

~ односвязно.

M

Замечание. Мы получили, что у любого связного топологического пространства найдется универсальное накрытие. Как было выше доказано, универсальное накрытие единственно.

~

Задача 9.64 (!). Пусть M линейно связно, M его универсальное на-

крытие, а ~ соответствующая группа Галуа. Докажите,

Gal([M : M])

что ~ изоморфно фундаментальной группе .

Gal([M : M]) M

Определение 9.17. Фундаментальной группой топологического про-

версальное накрытие.

Определение 9.18. Подгруппы G1; G2 G называются сопряженными, если найдется такой g 2 G, что G1 переводится в G2 автоморфизмом x 7!xg.

! ~ ! !

Задача 9.65 (*). Пусть M1 M некоторое накрытие, а M M1 M

универсальное накрытие. Рассмотрим подгруппу 1 ~

G Gal([M : M]) =

1(M), полученную в результате применения основной теоремы теории Галуа. Докажите, что это соответствие задает биекцию между классами изоморфизма накрытий M и классами сопряженности подгрупп в 1(M).

Задача 9.66 (!). Найдите все накрытия окружности, с точностью до изоморфизма. Постройте их явно.

Задача 9.67 (*). Пусть M связное топологическое пространство, все компоненты линейной связности которого односвязны. Может ли оно иметь нетривиальную фундаментальную группу?

Задача 9.68 (*). Пусть B множество полиномов P (t) = tn+an 1tn 1+

Часть II. Задачи по топологии

Задача 9.69 (*). Постройте связное накрытие, которое не будет накрытием Галуа.

Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии

Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии

10.1. Гомотопии

Все топологические пространства в этом листочке предполагаются локально линейно связными и хаусдорфовыми, если не оговорено противного.

Определение 10.1. Пусть f1; f2 : X ! Y непрерывные отображения топологических пространств. Напомним, что гомотопией между f1 и f2 называется такое непрерывное отображение F : [0; 1] X ! Y , что

Задача 10.1. Докажите, что гомотопные отображения индуцируют один и тот же гомоморфизм 1(X) ! 1(Y ).

Определение 10.2. Пусть f : X ! Y , g : Y ! X – непрерывные отображения топологических пространств, причем f g и g f гомотопны тождественным отображениям из X в X и из Y в Y . Такие отображения называются гомотопическими эквивалентностями, а X и Y гомотопически эквивалентными.

Задача 10.2. Докажите, что композиция гомотопических эквивалентностей отображений есть гомотопическая эквивалентность. Докажите, что гомотопическая эквивалентность пространств есть отношение эквивалентности.

Задача 10.3 (!). Пусть f : X ! Y гомотопическая эквивалентность. Докажите, что f индуцирует изоморфизм фундаментальных групп.

Задача 10.4. Пусть X Y деформационный ретракт. Докажите, что X и Y гомотопически эквивалентны.

Задача 10.5 (!). Пусть X топологическое пространство. Докажите, что X стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно точке.

Часть II. Задачи по топологии

Задача 10.6 (!). Дан связный граф , у которого n ребер и n вершин. Докажите, что его топологическое пространство гомотопически эквивалентно окружности.

Задача 10.7 (!). Пусть M связное топологическое пространство, а x; x0; y; y0 2 M любые точки. Докажите, что соответствующие пространства путей (M; x; x0) и (M; y; y0) гомотопически эквивалентны.

Указание. Выберите путь xy, соединяющий x и y и путь x0y0, соединяющий x0 и y0. Пусть xy1(t) = xy(1 t) и x01y0(t) = x0y0(1 t). Рассмотрим отображение f : (M; x; x0) ! (M; y; y0) переводящее любой

путь 2 (M; x; x0) в композицию xy1 x0y0, и аналогичное отображение g : (M; y; y0) ! (M; x; x0), переводящее 2 (M; y; y0) в xy x01y0. Докажите, что fg гомотопно тождественному и gf гомотопно тождественному.

10.2.Пространство путей на локально стягиваемых пространствах

Определение 10.3. Пусть M топологическое пространство. M называется локально стягиваемым, если у каждой точки есть стягиваемая окрестность.

Задача 10.8. Пусть M локально стягиваемое топологическое пространство. Докажите, что M локально линейно связно.

Задача 10.9 (*). Пусть M такое геодезически связное метрическое пространство, что для какого-то > 0 любые две точки, отстоящие на расстояние < , соединяются единственной геодезической. Докажите, что M локально стягиваемо.

Задача 10.10. Докажите, что любой граф локально стягиваем.

Определение 10.4. Топологическое пространство M называется многообразием размерности n, если у любой точки найдется окрестность, гомеоморфная открытому шару в Rn.

Замечание. Многообразия, очевидно, локально стягиваемы.

Листок 10: Фундаментальная группа и гомотопии

Задача 10.11 (!). Докажите, что сфера Sn это многообразие.

Указание. Воспользуйтесь стереографической проекцией.

Задача 10.12. Пусть M стягиваемое, x; y 2 M. Докажите, что все пути2 (M; x; y) гомотопны.

Задача 10.13 (!). Пусть 2 (M; x; y) путь в локально стягиваемом пространстве M, а fU g множество стягиваемых открытых множеств на M. Выберем в fU g конечное подмножество, покрывающее (это можно сделать, потому что компактен). Пусть V1; : : : ; Vn соответствующее покрытие [0; 1] связными интервалами, где каждый Vi является связной компонентой 1(Ui), а все Ui стягиваемы. Упорядочим Vi таким образом, что Vi и Vi+1 пересекаются в точке ti, и пусть ai := (ti). Докажите, что любой путь 0 2 (M; x; y), такой, что 0(ti) = ai, и0([ti; ti+1]) Ui, гомотопен .

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 10.14 (!). Пусть M локально стягиваемое топологическое пространство, а 2 (M; x; y) некоторый путь. Докажите, что у найдется такая окрестность U (M; x; y), что все 0 2 U гомотопны.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Замечание. Заметим, что на компактных многообразиях размерности > 1 существует петли, задаваемые сюръективным отображением; пример такой петли легко построить тем же методом, что кривую Пеано.

Задача 10.15 (!). Пусть M это многообразие (например, сфера) размерности больше 1, а 2 (M; x) петля. Докажите, что гомотопна петле, которая не сюръективна.

Указание. Воспользуйтесь предыдущей задачей.

Задача 10.16 (!). Пусть n > 1. Докажите, что n-мерная сфера односвязна.

Часть II. Задачи по топологии

Указание. Пусть петля на сфере. Воспользовавшись предыдущей задачей, прогомотопируйте в петлю, которая отображает [0; 1] в Snnfxg, где x некоторая точка. Докажите, что сфера без точки гомеоморфна Rn, в частности стягиваема.

Задача 10.17 (*). Пусть M стягиваемо, а F : M [0; 1] ! M гомотопия тождественного отображения в постоянное отображение M ! y 2 M. Рассмотрим следующее отображение M ! (M; y; ), t; m ! F (m; t) (t 2 [0; 1], m 2 M). Докажите, что оно непрерывно.

Задача 10.18. Пусть M локально стягиваемо, x; y 2 M две точки,2 (M; x; y) некоторый путь. Докажите, что у есть такая окрестность U 2 (M; x; ), что все пути 0 2 U, соединяющие x и a, гомотопны в (M; x; a).

Задача 10.19 (*). Пусть M локально стягиваемое топологическое пространство, x 2 M точка, а (M; x; ) – множество всех путей, начинающихся в точке x, снабженное открытокомпактной топологией. Рассмотрим такое отношение эквивалентности на (M; x; ): 0, если и0 соединяют x и y, и гомотопны в (M; x; y). Рассмотрим (M; x; )= , с топологией фактора. Выберем стягиваемую окрестность Uy 3 y, и пусть

Указание. Непрерывность очевидна по конструкции, а инъективность следует из предыдущей задачи. Чтобы убедиться, что задает гомеоморфизм Uy на (Uy), нам нужно доказать, что переводит открытые множества в открытые. Это ясно из того, что естественное отображение (M; x; )= ! M, 0 ! 0(1), непрерывно, и индуцирует гомеоморфизм Uy на образ.

Задача 10.20 (*). Рассмотрим отображение (M; x; )= ! M, ставящее в соответствие пути 2 (M; x; y) точку y = (1). Докажите, что это накрытие.