38__Динамическое моделирование по Дж. Форрестеру

В середине 60-х годов в Массачусетском технологическом институте (MIT) разрабатывались проблемы так называемой индустриальной динамики. С 1957 года функционировала специальная группа ученых. В журнале “California Management Review” (1965 г., № 3, p. 94) следующим образом характеризуется методика, предложенная Джеем Форрестером (Jay W. Forrester): “При данном методе вся деятельность предприятия имитируется на большой ЦВМ. Математическая модель состоит из сотен каскадированных последовательно решаемых уравнений. Предприятие наподобие радиосхемы, содержит ветки обратной связи, усиливающие входящие сигналы и регулирующие периодичность выходящих сигналов. При наличии некоторых довольно обычных условий случайное изменение количества заказов на плюс или минус 5 % может вызвать периодические колебания уровня запасов на 15 %, а объема выработки продукции и численности рабочей силы – более чем на 25 %”. Но ценность не в количестве, а в методике !

Динамическое моделирование предприятия (ДМП) представляет собой изучение деятельности предприятия как информационной системы с обратной связью. Он показывает, каким образом взаимодействует организационная структура предприятия; показывает влияние авторитета в руководстве и время запаздывания в решениях и действиях в обеспечении успеха предприятия. ДМП описывает также взаимодействие потоков информации, денежных средств, заказов, товаров, рабочей силы и оборудования на предприятии, в отрасли промышленности и в экономике региона или государства.

С помощью ДМП создается единая структурная схема, в которой интегрируются функциональные отрасли управления, а именно – производство, сбыт, бухгалтерский учет, исследования и технические усовершенствования, капиталовложения. Оно воплощает экспериментальный подход к решению задачи приведения организационной структуры и методов руководства предприятием в соответствие с требованиями промышленного развития.

Динамические модели базируются на понятиях уровней, связанных между собой управляемыми потоками (рис. 4.12). На рис. 4.12 представлены четыре существенных элемента, которые ниже будут рассмотрены подробнее:

• несколько уровней;

• потоки, перемещающие содержимое одного уровня к другому;

• функции решений (изображенные в виде вентилей), которые регулируют темпы потока между уровнями;

• информационные связи, соединяющие функции решений с уровнями.

Уровни характеризуют возникающие накопления внутри системы. Это товары, имеющиеся на складе, товары в пути, банковская наличность, производственные площади и численность работающих. Уровни представляют собой те значения переменных в данный момент, которые они имеют в результате накопления из-за разности между входящими и исходящими потоками. Уровни имеют место во всех шести потоках, которые будут рассмотрены ниже: информации, рабочей силы и оборудования.

Уровни существуют не толь­ко в сетях физических величин, но и в информационной сети.

Темп потока определяет су­щественные мгновенные потоки между уровнями в системе. Темп отражает активность, в то время как уровень измеряет состояние, которое является результатом активности в системе. Темпы точно так же, как и уровни, существуют во всех шести сетях, которые могут составлять систему – материалов, заказов, денежных средств, рабочей силы, оборудования и информации.

Темпы потока устанавливаются на основе уровней в соответствии с законами, которые определяют вид функций решений. В свою очередь темпы определяют уровни. В состав уровней, которыми определяется темп потока, обычно входит и тот уровень, из которого исходит данный поток.

Функции решений представляют собой формулировку линии поведения, определяющей, каким образом имеющаяся информация об уровнях приводит к выбору решений, связанных с величинами текущих темпов. Все решения касаются предстоящих действий и выражаются в форме темпов потока (выдачи заказов, приобретения оборудования, найма рабочей силы).

Функция решения может иметь форму несложного потока на состояние одного или двух уровней. Например, производительность транспортной системы часто может быть адекватно выражена количеством товаров в пути, представляющим собой уровень, и константой – средним запаздыванием на время транспортировки.

С другой стороны, функция решения может представлять собой длинную и детально разработанную цепь вычислений, выполняемых с учетом изменения ряда дополнительных условий. Так, например, решение о найме рабочей силы может быть связано с учетом следующих уровней:

• имеющейся рабочей силы,

• среднего темпа поступления заказов,

• числа вновь принятых работников,

• уровней запасов и т.д.

На рис. 4.12 показано, что функции решений, на основе которых устанавливаются темпы, связаны только с информацией об уровнях. Выбирая весьма короткий интервал времени, мы можем установить в принципе, что данное решение не может зависеть от некоторых других принимаемых в данный момент времени решений (или множеств темпов) в другой части системы. Принцип независимости решений применим на практике: он служит краеугольным камнем построения модели. Из этого принципа не вытекает необходимость чрезмерного сокращения интервалов, для которых производятся расчеты в модели. Он делает возможным построение моделей, не требующих трудоемких вычислений.

Для отражения деятельности промышленного предприятия, необходимы несколько взаимосвязанных сетей:

• сеть материалов – темпы потоков и запасов реальных предметов, будь то сырье, незавершенное производство или готовая продукция;

• сеть заказов – заказы на товары, требования на трудовые ресурсы, на строительство новых площадей, это результат решений, которые не нашли своего отражения в потоках одной из других сетей;

• сеть денежных средств – это кассовая наличность, то есть фактическое движение платежей между денежными уровнями;

• сеть рабочей силы – определенное количество людей как индивидуумов, а не количество человеко-часов труда;

• сеть оборудования – производственная площадь, инструмент и оборудование, необходимые для производства товаров и показывающие как функционируют заводы и машины, каково имеющееся оборудование, какая часть этого оборудования находится в данный момент в эксплуатации, а также каков темп выхода орудий производства из строя;

• связующая сеть информации – последовательность переменных темпов и уровней.

Информационная сеть занимает особое положение в связи с тем, что она служит связующим материалом. В общем случае информационная сеть начинается от уровней и темпов в пяти других сетях и заканчивается у функций решений, определяющих темпы в этих сетях. Основная часть модели будет находиться внутри информационной сети, так как информация – основа для принятия решений.

Для описания общей структуры динамической модели предприятия необходима система уравнений. Она должна соответствовать обстановке и взаимодействиям всех элементов моделируемой системы и процессам выработки решений. Модель должна достаточно полно отражать наши представления о реальной системе. Уравнения, которые мы будем рассматривать, образуют основную систему, разработанную в соответствии с уже описанной структурой модели. Будем рассматривать основные классы уравнений, а не особые формы, которые могут принимать отдельные уравнения.

В основном система уравнений состоит из уравнений двух типов – уравнений уровней и уравнений темпов. Для более полного понимания сути уравнений следует рассмотреть вопрос о последовательности вычислений.

Система уравнений записывается вместе с определенными условиями, устанавливающими способ ее решения. В динамическом моделировании рассматриваются системы уравнений, которые регулируют изменяющиеся во времени взаимодействия переменных. Эта изменчивость предопределяет необходимость периодически решать уравнения для нахождения новых состояний системы.

Для каждого момента времени может существовать специфическая последовательность вычислений, определяемая характером системы уравнений. На рис. 4.13 представлена последовательность, используемая в данном случае.

Интервалы времени должны быть достаточно короткими, чтобы можно было принять допущение о постоянстве темпа потока на протяжении интервала, получив при этом удовлетворительное приближение к непрерывно изменяющимся темпам реальной системы. Это означает, что на решения, принятые в начальной точке интервала, не будут влиять изменения, происходящие в течение этого же интервала. Новые значения уровней рассчитываются на конец интервала. По ним определяются новые темпы (решения) для следующего интервала. Ясно, что можно выбрать столь небольшие интервалы времени, что отрезки прямых, проведенных в пределах каждого интервала, будут сколь угодно близко приближаться к любой кривой (рис. 4.14). Практически возможно выбирать интервал столь короткий, сколь это необходимо. Однако он должен быть таким, чтобы объем вычислений не превышал возможностей современных персональных компьютеров.

В большинстве динамических моделей допустимый интервал между вычислениями определяется запаздывания­ми. Запаздывания имеют вид показательной функции. Существует эмпирическое пра­ви­ло выбора интервала. Он должен быть обязательно меньше продолжительности любого запаздывания. Желательно, чтобы он был меньше его половины.

Наилучший способ проверки правильности выбора интервала решений состоит в варьировании его величины и наблюдении за влиянием ее на результаты вычислений.

Особым критерием, определяющим максимальную величину интервала решений, является взаимосвязь между значениями уровней и темпами потоков, входящими в эти уровни и исходящими из них. Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы суммарный входящий или исходящий поток не вызывал больших изменений в содержании уровня за один интервал решений.

Вернемся к рис. 4.13. Момент К используется для обозначения «данного момента времени». Интервал JK только что истек. Информацию о нем, как и о предыдущих периодах, может быть использована при решении уравнений. Информация об уровнях и темпах в последующее время вообще недоступна при решении уравнений в настоящий момент времени К. Прогнозы не представляют собой будущей информации, они являются лишь представлениями о будущем, основанными на полученной ранее информации.

Для целей численного решения основные уравнения модели разделены на две группы:

• группа уравнений уровней,

• группа уравнений темпов.

При рассмотрении какого-либо интервала времени в первую очередь решаются уравнения уровней, а затем полученные результаты используются в уравнениях темпов.

Вспомогательные уравнения, которые будут рассмотрены ниже, вводятся для удобства в том или ином случае. Они решаются сразу после решения уравнений уровней – до решения уравнений темпов.

Уравнения решаются для моментов времени разделенных интервалом DT. Уравнения решаются каждый раз применительно к условным моментам времени J, K и L. Причем принимается, что К представляет «настоящий» момент времени, то есть принимается допущение, что в процессе решения мы как раз достигли момента времени К, но пока еще не решили ни уравнений уровней в момент К, ни уравнений темпов в интервале JK.

Уравнения уровней показывают, каким образом можно определить уровни в момент К, основываясь на знании уровней в момент J и темпов на протяжении интервала JK. В момент времени K вся необходимая информация может быть получена и получается из предшествующего интервала времени.

Уравнения темпов решаются в настоящий момент К после того, как решены уравнения уровней. Поэтому значения уровней в настоящий момент К могут служить вводами для уравнений темпов. Темпы в интервале JK также доступны для исследования. Иногда их можно использовать при вычислении других темпов. Но в принципе это не является правильным и необходимым.

Величины, определяемые из уравнений темпов (решений), относятся к темпам потоков, на которые будет осуществляться воздействие в течение предстоящего интервала KL.

Постоянство темпов в пределах интервала DT определяет собой постоянную скорость изменения уровней в течение этого интервала времени.

После определения уровней в момент времени К и темпов для интервала KL время индексируется. Это означает, что точки J,K,L сдвигаются на один интервал времени вправо. Уровни, только что вычисленные для момента времени К, считаются теперь уровнями в момент J. Темпы для интервала KL становятся темпами для интервала JK. Настоящий момент времени K сдвигается таким образом на один интервал времени продолжительностью DT.

Модель следит за изменением системы во времени таким образом, что окружающая среда (уровни) обусловливает решения и действия (темпы), которые в свою очередь воздействуют на окружающую среду. Таким образом, взаимодействия внутри системы происходят в соответствии с «описанием», которое было принято за основу при составлении уравнений модели.

Для выражения величин в уравнениях модели выбирают символы, напоминающие общепринятую терминологию, связанную с повседневной практической деятельностью. Например, уровень работающих в момент J – ЧРАБ.J; в момент K – ЧРАБ.К. Темп выпуска готовой продукции в интервале от J до K – ВГП.JК; в интервале K-L – ВГП.KL.

Константы не имеют обозначения времени, так как они не изменяются от одного интервала времени к другому.

Уравнения уровней. Уровни представляют собой переменное по величине содержимое резервуаров в системе. Они существовали бы и в том случае, если бы система была приведена в состояние покоя и все потоки в ней остановились. Значения уровней определяются заново для каждого из последующих интервалов времени, для которых решаются уравнения. Уровни изменяются с постоянной скоростью, но их значения в этом промежутке времени не вычисляются.

Например,

КГП.K = КГП.J + (DT) (ВГП.JK - ПГП.JK),

где КГП - фактический запас готовой продукции,

DT - приращение времени между решениями уравнений системы,

ВГП - выпуск готовой продукции,

ПГП - потребление готовой продукции.

Уравнения уровней не зависят одно от другого. Решение каждого из них зависит только от информации, касающейся предшествующего момента времени. Поэтому порядок решения уравнений уровней не имеет никакого значения.

Уравнения темпов (функции решений).

Уравнения темпов определяют темпы потоков между уровнями в системе. Они решаются на основе данных о существующих в настоящее время величинах уровней в системе. В свою очередь темпы потоков являются причиной изменений в уровнях.

Уравнения темпов реализуют действия, которые должны произойти в системе за следующий интервал времени.

Уравнения темпов, как и уравнения уровней, на протяжении каждого интервала времени решаются независимо одно от другого. Взаимодействие в системе происходит при последующем воздействии темпов на уровни, которые затем в свою очередь оказывают влияние на темпы в более поздние интервалы времени. Уравнение темпа определят действие, которое будет совершаться непосредственно в следующий момент.

Например:

где OUT - темп исходящего потока (единицы в неделю),

ST - количество, находящееся в настоящее время в запаздывании (единицы),

D - константа - средняя продолжительность времени, необходимого для преодоления запаздывания (недели).

Вспомогательные уравнения. Уравнения темпа может нередко стать очень сложным, если его действительно формулировать лишь на основе уровней. Часто бывает удобно разбить уравнение темпа на отдельные части, которые носят название вспомогательных уравнений. Эти уравнения являются промежуточными. Они могут быть подставлены одно в другое и далее в уравнения темпов.

Вспомогательные уравнения решаются на момент времени К после решения уравнений уровней. Это обусловлено тем, что для их решения используются данные о значениях уровней в тот же момент времени. Они должны быть решены прежде уравнений темпов, так как получаемые при этом результаты необходимы для подстановки в уравнения темпов. В отличие от уравнений уровней и темпов, вспомогательные уравнения нельзя решать в произвольной последовательности.

Дополнительные уравнения. Эти уравнения применяются при определении переменных, не являющихся частью структуры модели, но используемых при печати и графическом отображении величин, представляющих интерес для понимания поведения модели.

Уравнения начальных условий. Они используются для определения исходных значений всех уровней (и некоторых темпов), которое должно быть произведено до начала первого цикла решения уравнений. Они также используются в начальный момент времени для вычисления значений одних констант, исходя из значений других. Уравнения начальных условий решаются только один раз перед началом каждого проигрывания модели.

Каждое уравнение позволяет определить переменную величину с помощью констант и других переменных. Уравнений должно быть столько же, сколько и переменных (включая исходное уравнение, служащее источником значений для каждого из внешних вводов, используемых при моделировании).

Символы в диаграммах потоков. Диаграммы потоков являются наглядным описанием (представлением) системы уравнений. Диаграмма показывает взаимосвязи между уравнениями и придает ясность формализации системы. Она дает ту же информацию, что и система уравнений, но в иной форме. Диаграмма является промежуточной формой представления системы между словесным описанием и системой уравнений.

Диаграмма потоков должна строиться одновременно с формулированием уравнений, описывающих систему.

Символика для представления модели в форме диаграммы основана на произвольном выборе, производимом с целью более ясного представления частных аспектов той или иной ситуации. Система символов в динамическом моделировании учитывает наличие взаимосвязей в системе. Она отличает уровни от темпов и отделяет друг от друга шесть систем потоков: информации, материалов, заказов, денежных средств, рабочей силы, оборудования.

Диаграмма показывает, какие факторы влияют на каждую функцию решения (темп). Однако диаграмма не раскрывает какие функциональные связи существуют внутри функций решения.

Истоки потоков и их конечные пункты. Часто бывает необходимо регулировать темпы потоков, истоки или конечные пункты которых не рассматриваются в модели. Например, поток заказов должен откуда-то начинаться. Но точность терминологии, используемой в системах потоков, не допускает простого перехода информационных линий в линии, символизирующие заказы. В динамических моделях предполагается, что заказы начинаются там, где хранятся бланки заказов. Но это не имеет отношения к динамике модели. Точно так же выполненные заказы должны быть изъяты из системы в карточку выполненных заказов, которая обычно не имеет существенных динамических характеристик. При рассмотрении динамических моделей предполагается, что характеристики источников и приемников не оказывают существенного влияния на поведение системы.

Отбор информации. Потоки информации связывают между собой многие переменные в системе.

Отбор информации из ее потока не оказывает воздействия на ту переменную, о которой собирается информация.

Вспомогательные уравнения. Данный вид уравнений выделен как независимое понятие из функций решений, так как имеют самостоятельное значение. Они располагаются в каналах потоков информации между уровнями и функциями решений, которые регулируют темпы. Эти уравнения могут быть алгебраически подставлены в уравнения темпов.

Уровни. Уровень изображается в виде прямоугольника, в верхнем левом углу которого указывается обозначение переменной, характеризуемой данным уровнем, а в правом нижнем углу – номер уравнения.

Потоки. Потоки могут быть направлены к уровню или от него. Символ, относящийся к потоку, характеризует и один из шести рассматриваемых типов потоков.

Материалы Денежные средства

Информация Оборудование

Заказы Рабочая сила

Ф ункции решений (уравнения темпов). Функ­ции решения определяют темп потока. Они действуют, как вентили в каналах потоков, и поэтому изображаются соответствующими символами. Мо­гут быть использованы две эквивалентные фор­мы символов потоков. Они изображают не только решения, но и регулируемый поток (сплошная линия) и ввода информации (пунктирные линии), которые определяют темп потока. Здесь же приводится номер уравнения, описывающего величину темпа потока.

Параметры (константы). Многие числовые величины, которые описывают характеристики системы, принимаются постоянными (по крайней мере на время вычислений в ходе одного проигрывания модели).

Переменные на других диаграммах. Данное обозначение используется, если диаграмма системы делится на отдельные части. Кроме обозначения уравнения может также указываться номер страницы.

Запаздывания. Запаздывания пред­ставляются совокупностью уровней и темпов потока. Но частота использования вынуждает ввести дополнительный символ.

SSD - темп на входе,

MTR - количество (уровень), перемещаемое потоком,

13-17,L – уравнение для определения количества MTR,

D3 - порядок запаздывания,

SRR - темп на выходе,

13-18,R - уравнение для определения темпа на выходе,

DTR - постоянная времени запаздывания.

Этот символ заменяет три уровня со связывающими их между собой темпами (для запаздывания третьего порядка – D3). D1 указывало бы на запаздывание первого порядка. DTR – среднее время, необходимое для преодоления запаздывания. Подробнее о запаздываниях и примеры построения динамических моделей смотрите в [ 42].