2.6 Блочные матрицы

Проблема громоздкости развернутых уравнений ИМ МР побудила исследователей к поиску более компактных форм записи. 4х4 – матрицы – одна из таких форм. Другая форма компактной записи – блочные матрицы.

Вернемся к уравнениями раздела 2.1:

_i

t_i(0)⁽⁰⁾ = _0i t_i(i)⁽ⁱ⁾ +  _0j (_j (1-_j)q_j + l_j)

^{j =1}

Составим блочные векторы

t₍₀₎⁽⁰⁾ = [t₁^Т₍₀₎⁽⁰⁾ t₂ ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾ … t_i ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾ … t_n ^Т ₍₀₎⁽⁰⁾] ^Т ,

t_(i)⁽ⁱ⁾ = [t₁^Т₍₁₎⁽¹⁾ t₂ ^Т ₍₂₎⁽²⁾ … t_i ^Т _(i)⁽ⁱ⁾ … t_n ^Т _(n)⁽ⁿ⁾] ^Т,

l = [l₁ ^Т l₂ ^Т _… l_i ^Т _… l_n ^Т]^Т.

Введем в рассмотрение вектор

q_j = [q₁ q₂ … q_i … q_n]^Т_,

а также матрицы диагонального вида

 = diag [₁ ₂ … _{i …} _n],

Е = diag [E₃ E₃ … E₃ … E₃],

 = diag [₁ _{2 …} _{i …} _n],

₀ = diag [₀₁ _{02 …} _{0i …} _0n ].

Введем блочную матрицу суммирования

| E₃ 0₃ … 0₃ … 0₃|

U = |E₃ E₃ … 0₃ … 0₃ |,

|E₃ E₃ … E₃ … 0₃|

E₃ E₃ … E₃ … E₃|

где

U – нижняя блочная треугольная матрица,

E₃ – единичная матрица 3х3,

0₃ – нулевая матрица 3х3.

С учетом введенных обозначений выражение для расчета линейных координат звеньев примет вид

t₍₀₎⁽⁰⁾ = ₀ t_(i)⁽ⁱ⁾ + U₀ ( (I-)q + l),

где

I - единичная матрица nхn.

Можно видеть, что блочные матрицы позволяют избежать записи развернутых выражений и, кроме того, исключить явное применение оператора суммирования. Это делает запись уравнений очень компактной.

2.7 Специальные системы координат

Денавит и Хартенберг предложили такой способ выбора систем координат, когда:

• этот выбор происходит однозначно,

• число параметров, определяющих взаимное расположение двух смежных СК равно только 4 (вместо 6-7 применяемых в общем случае).

Построение СК Д-Х включает последовательность действий по выбору начал СК и их осей (рис. ниже):

Z_i-1

Z_i

_i

X_i

X_i-1

Рис.2.2. Параметры Денавита-Хартенберга

При использовании СК Д-Х с каждым звеном связаны 4 параметра: d_i , _i , _i и a_i .

Эти параметры соответствуют параметрам звена (_i и a_i) и сочленения (d_i , _i). Параметры сочленения характеризуют относительное положение смежных звеньев.

Способ выбора СК по Д-Х хорошо формализован и включает 12 действий.

Д1. Формирование базовой СК. Сформировать правую ортонормированную СК₀ , связанную с основанием, направив ось Z₀ вдоль оси 1-го шарнира к плечу манипулятора. Оси X₀ и Y₀ – произвольно, перпендикулярно оси Z₀.

Д2. Начало и цикл. Для всех i (i=1,2,…,n-1) выполнить шаги Д3-Д6.

Д3. Формирование осей сочленений. Направить ось Z_i вдоль оси движения (вращательного или поступательного) i+1 –го сочленения. Для роботов с манипуляторами, имеющими конфигурацию левой-правой руки, оси Z₁ и Z₂ паправлены от плеча и общего направления манипулятора.

Д4. Формирование начала i-й СК. Расположить начало i-й СК на пересечении осей Z_i и Z_i-1 или на пересечении общей нормали к осям Z_i и Z_i-1 с осью Z_i.

Д5. Формирование оси X_{i .} Выбрать единичный вектор X_i следующим образом: X_i=

+- (Z_i-1 х Z_i )/| Z_i-1 х Z_i | или вдоль общего перпендикуляра к осям Z_i-1 и Z_i , если они параллельны.

Д6. Формирование оси Y_i. Положить Y_i , чтобы образовать провостороннюю СК. (Продолжить оси Z_i и X_i , если это необходимо для шагов Д9 – Д12).

Д7. Формирование СК схвата. Как правило, n-е сочленение является вращательным. Сформировать ось Z_n , направив ее вдоль оси Z_n-1 и от робота.Выбрать ось X_n так, чтобы она быда перпендикулярна осям Z_n-1 и Z_n. Ось Y_n дополняет систему до правой тройки.

Д8. Определение параметров звеньев. Для каждого i (i=1,2,…,n) выполнить шаги Д9-Д12.

Д9. Определение d_i . d_i есть расстояние от начала i-1 СК до пересечения оси Z_i-1 с осью X_i, отсчитываемое вдоль оси Z_i-1. Если i-е сочленение – поступательное, d_i – присоединенная переменная (координата шарнира).

Д10. Определение a_i . a_i – расстояние между пересечением оси Z_i-1 с осью X_i и началом i-й СК, отсчитываемое вдоль оси X_i.

Д11. Определение _i. _i – угол, на который нужно повернуть ось X_i-1 вокруг оси Z_i-1, чтобы она стала сонаправлена с осью X_i. Если i-е сочленение – вращательное, то _i – присоединенная переменная.

Д12. Определение _i . _i – угол, на который нужно повернуть ось Z_i-1 вокруг оси X_i, чтобы она стала сонаправлена с осью Z_i.

Как только СК Д-Х сформированы, можно определить и матрицу однородного преобразования СК смежных звеньев:

^i-1T_i = (_{i-1 i} _{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾ )

0 1 ,

причем _{i-1 i} = ^T_z(_iq_i) ^T_x(_i) – матрица преобразования поворота СК смежных звеньев,

_{i-1 i} L_i⁽ⁱ⁾ = L_i^(i-1) = e_i (1-_j)q_j + ^T_z(_iq_i) ^T_x(_i) (a_i 0 0)^T =

e_i (1-_j)q_j + ^T_z(_iq_i) (a_i 0 0)^T .