4. Обобщенные координаты им

Обозначаются q_i , i = 1,2,…,n и служат для определения взаимного расположения звеньев. Используют следующие обозначения:

• q = {q_i} – вектор размера (nх1), в котором q_i = _i , если i = [ВП], q_i = s_i , если i = [ПП]; i = 1,2,…,n.

Учет типа шарнира производится за счет множителя _i :

q_i = _i_i + (1 - _i) s_i . (1.1)

_i отсчитывается при повороте звена i (относительно звена i-1) вокруг оси Z_i-1. Положительное значение _i соответствует повороту звена i в таком направлении, когда X_i-1 -> Y_i-1 при наблюдении с “конца” оси Z_i-1.

s_i отсчитывается при перемещении звена i (относительно звена i-1) вдоль оси Z_i-1. Положительное значение s_i соответствует перемещению звена i в направлении оси Z_i-1.

Из выражения (1.1) следует, что _i = _iq_i , s_i = (1 - _i) q_i .

4. Матрицы преобразований поворота

При моделировании ИМ потребуется рассмотрение векторов в различных системах координат. Это связано с тем, что параметры звеньев ИМ задаются в связанных СК. Уравнения же движения ИМ составляются и рассматриваются в инерциальной (базовой) СК. Очевидно, в общем случае различные системы координет повернуты относительно друг друга. Поэтому координаты одного и того же вектора a в разных СК не будут совпадать (рис.1.5).

Пусть {0xyz} – некоторая СК.

Пусть {0uvw} – другая СК. Будем считать, что СК {0uvw} образована в результате некоторого поворота, или нескольких поворотов СК {0uvw} относительно СК {0xyz} из положения, когда СК {0xyz} и СК {0uvw} совпадали.

СК {0xyz} и СК {0uvw} могут быть связаны с разными звеньями СК {0xyz} и СК {0uvw}, например, со смежными звеньями: i-1 и i. В этом случае при определении относительного расположения этих звеньев будет считаться, что именно звено i певорачивается относительно звена i-1, но не наоборот! Если СК{0xyz} связана со звеном номер 0, а СК {0uvw} – со звеном i, то рассматривается поворот звена i относительно стойки.

Связь между значениями координат вектора a в СК {uvw} и СК {xyz} устанавливает следующее соотношение

a^(xyz) =  _{xyz, uvw} a^(uvw),

где  _{xyz, uvw} – матрица преобразования координат вектора, заданного в СК{uvw}, в систему координат СК{xyz}.

z

w

a^(uvw)

v

a^(xyz)

x

u

 _{xyz, uvw}

y

Рис. 1.5. Координаты вектора a в СК {xyz} и СК {uvw}.

Получим формулы для расчета матриц преобразования  _{xyz, uvw} .

Вектор a^(xyz) можно представить в следующем виде

a^(xyz) = a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z .

Вектор

a^(uvw) = a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w .

где

a_x , a_y , a_z - проекции вектора a^(xyz) на оси x, y, z ,

i_x , j_y , k_z - орты осей СК {xyz},

a_u , a_v , a_w - проекции вектора a^(uvw) на оси u, ν, w,

i_u , j_v , k_w - орты осей СК {u ν w}.

Очевидно, что

a_x = i_x (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

a_y = j_y (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

a_z = k_z (a_u i_u + a_v j_v + a_w k_w)

или

| a_x a_y a_z |^T = | i_u i_x j_ν i_x k_w i_x | | a_u a_ν a_w |^T =  _{xyz , uvw} | a_u a_ν a_w |^T.

| i_u j_y j_ν j_y k_w j_y |

| i_u k_z j_ν k_z k_w k_z|

Матрицы _xyz,uvw устанавливают соответствие между координатами одного и того же вектора a, но в различных СК. Из последнего выражения видно, что столбцы матрицы преобразования _xyz,uvw есть проекции ортов i_u , j_v , k_w СК (uvw) на оси СК (xyz). Таким образом, столбцы этой матрицы определяют новые координаты ортов i_u , j_v , k_w повернутой СК (uvw) в исходной СК (xyz) после поворота СК (uvw) относительно СК СК (xyz). Поэтому матрицу _xyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота системы координат СК (uvw) относительно СК (xyz).

Пусть, как и прежде, в исходном положении СК (uvw) и СК (xyz) совпадают. Тогда координаты некоторого вектора а относительно СК (xyz), т.е. a^(xyz) и СК (uvw), т.е. a^(uvw), также совпадают. Пусть вектор a^(uvw) связан с СК (uvw). Как это было показано выше, оператор _xyz,uvw осуществляет поворот СК (uvw) относительно СК (xyz). Тогда вектор a^(uvw) повернется вместе с СК (uvw). После такого поворота координаты вектора относительно СК (xyz) приобретут новые значения a^(xyz), т.е. это будут уже координаты повернутого вектора. В этом смысле матрицу _xyz,uvw можно рассматривать как оператор поворота СК (uvw) вместе со связанным с ней вектором. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей _xyz,uvw вектор а изображен в положении после поворота.

Такми образом, матрицы _xyz,uvw - операторы поворота СК (СК (uvw) относительно СК (xyz)) и связанных с ней, т.е. с СК (uvw), векторов.

В дальнейшем эти матрицы мы будем называть матрицами поворота.

Обратные преобразования устанавливаются из рассмотрения аналогичных соотношений, а именно:

a_u = i_u (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z),

a_ν = j_ν (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z),

a_w = k_w (a_x i_x + a_y j_y + a_z k_z)

или

| a_u a_ν a_w |^T = | i_u i_x i_u j_y i_u k_z | | a_x a_y a_z |^T =  _{uvw , xyz} | a_x a_y a_z |^T.

| j_ν i_x j_ν j_y j_ν k_z |

| k_w i_x k_w j_y k_w k_z|

Из сравнения двух последних равенств следует, что

 _{uvw , xyz} = ^-1 _{xyz , uvw} =  ^T _{xyz , uvw}

Матрица  _{uvw, xyz} преобразует координаты вектора, заданного в СК (xyz), в СК(uvw) при повороте системы координат СК(uvw) относительно СК (xyz). Отметим, что, как и прежде, рассматривается поворот именно СК(uvw) относительно СК (xyz), но не наоборот. При таком преобразовании вектор a остается неподвижным. Обращаясь к рис. 5, отметим, что в случае преобразования с матрицей _xyz,uvw вектор а связан с неподвижной СК.

В силу того, что  _{uvw, xyz} матрица ортогонального ортонормированного преобразования, det  _{uvw, хyz} = 1. Именно +1, поскольку преобразование применяется по отношению к правым СК.