3.9. Прямая кинематическая задача о скорости им

Используя матрицу-якобиан D_i⁽⁰⁾ можно, зная производные по времени обобщенных координат ИМ (скоростей шарниров), определить линейную скорость рабочекго органа ИМ. Задача расчета линейных и угловых скоростей звеньев ИМ по известным производным обобщенных координат носит название прямой задачи о скорости звеньев ИМ МР.

Прямая кинематическая задача для скоростей ИМ всегда имеет решение и при том единственное.

3.10. Понятие обратной задачи о скорости им

Использование матрицы-якобиана позволяет решать как прямую, так и обратную кинематическую задачу для скоростей ИМ (определение скоростей последнего звена по известным производным обобщенных координат ИМ и определение обобщенных координат по заданным скоростям последнего звена). В последнем случае необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений вида:

_n⁽⁰⁾

q^` = ^{(0) -1 --------} ,

V_n⁽⁰⁾

Обратная кинематическая задача может иметь единственное решение, иметь множество решений или не иметь их совсем. Конкретный случай зависит от свойств матрицы-якобиана. Элементы матрицы-якобиана – функции обобщеных координат ИМ.

3.11. Примеры решения прямой и обратной задач о сокорости звеньев им

3.11.1. Прямая и обратная кинематические задачи об угловой скорости звеньев им

Обратимся к ИМ КМР ERA в рассмотренной выше конфигурации (вытянутое положение). Будем считать подвижными только первые три звена:

r₃₁

r₃₂

r₃₃

…

с₁⁽⁰⁾ = [ 0 0 1]^T, с₂⁽⁰⁾ = [ 0 1 0]^T , с₃⁽⁰⁾ = [ 1 0 0 ]^T.

₃⁽⁰⁾ = [_3x⁽⁰⁾ _3y ⁽⁰⁾ _3z ⁽⁰⁾ ]^T = [ 0 0 1]^T q`<sub>1</sub> + [ 0 1 0]<sup>T</sup> q`₂ + [ 1 0 0]^T q`₃ =

0. 0 1)

0. 1 0) q` = J q`

1. 0 0)

[q`<sub>1</sub> q`₂ q`₃ ]^T = J^-1 ⁽⁰⁾ = = adj =

[_3x ⁽⁰⁾ _3y ⁽⁰⁾ _3z ⁽⁰⁾ ]^T ;

q`<sub>1</sub> = <sub>3z</sub> <sup>(0)</sup> , q`₂ = _3y ⁽⁰⁾ , q`₃ = _3x ⁽⁰⁾ .

3.11.1. Прямая и обратная кинематические задачи о линейной скорости звеньев им

V₃ ⁽⁰⁾ = [V_3x ⁽⁰⁾ V_3y ⁽⁰⁾ V_3z ⁽⁰⁾ ]^T = D₃₁⁽⁰⁾ q`<sub>1</sub> + D<sub>32</sub><sup>(0)</sup> q`₂ + D₃₃⁽⁰⁾q`₃

D₃₁⁽⁰⁾ = (c₁⁽⁰⁾) R⁽⁰⁾₃₁ = [ 0 0 0]^T

D₃₂⁽⁰⁾ = (c₂⁽⁰⁾) R⁽⁰⁾₃₂ = [ r₃₂ 0 0]^T

D₃₂⁽⁰⁾ = (c₂⁽⁰⁾) R⁽⁰⁾₃₂ = [ 0 -r₃₃ 0]^T

V₃ ⁽⁰⁾ = q`

Матрица-якобиан имеет нуль на месте первого столбца и последней строки и является вырожденной. Это значит, что в исходной постанвке задача не имеет решения.

Из рассмотрения матрицы следует, что компонента V_3z⁽⁰⁾ вектора V₃⁽⁰⁾ не определена, а вектор V₃⁽⁰⁾ не зависит от q`<sub>1 .</sub> Принимая это во внимание, откажемся от рассмотрения V<sub>3z</sub> <sup>(0)</sup> и q`₁. Это эквивалентно вычеркиванию из матрицы-якобиана первого столбца и третьей строки. Тогда можно записать

[V_3x ⁽⁰⁾ V_3y ⁽⁰⁾ ]^T = [q`<sub>2</sub> q`₃ ]^T

[q`<sub>2</sub> q`₃ ]^T = ^-1 = { / (- r₃₂ r₃₃} [V_3x ⁽⁰⁾ V_3y ⁽⁰⁾]^T

q`₂ = 1/r₃₂ V _3x ⁽⁰⁾

q`₃ = -1/ r₃₃ V _3y ⁽⁰⁾.

Пример для ОКЗ в форме двузвенника –> в лекции 5-му курсу.