3.5. Линейные скорости звеньев им

Соотношения для определения линейных скоростей звеньев получим, продифференцировав выражения для V_i⁽⁰⁾ по времени:

_{i i}

V_i⁽⁰⁾ = t^{`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> = <sup>`}_0i t_i +  `<sub>0k</sub> (v<sub>k</sub> (1-<sub>k</sub>)q<sub>k</sub> + l<sub>k</sub>) +  <sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sup>`</sup>_j).

^{k=1 j=1}

(Различные индексы суммирования во втором и третьем слагаемых приняты для удобства дальнейших преобразований).

Подставив сюда значения ^`_0k = (_k⁽⁰⁾) _0k, получим

_{i i}

V_i⁽⁰⁾ = t^{`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> = (<sub>i</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0i</sub> t<sub>i</sub> +  (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sub>j</sub> + l<sub>j</sub>) +  <sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sup>`}_j).

^{j=1 j=1}

Развернем полученное выражение, подставив в него

_k

_k ⁽⁰⁾ =  _0jv_j_jq^`_j .

^{j =1}

Получим: I I

V_i⁽⁰⁾ = <sup>`</sup><sub>0i</sub>t<sub>i</sub> +  `_0k(v_k (1-_k)q_k + l_k) +  _0j(v_j (1-_j)q^`_j) =

^{k=1 j=1}

_{i i k}

 (_0jv_j_j) _0it_i q_j^{`</sup> +   (<sub>0j</sub>v<sub>j</sub><sub>j</sub>) <sub>0k</sub>(v<sub>k</sub> (1-<sub>k</sub>)q<sub>k</sub> + l<sub>k</sub>) q<sub>j</sub><sup>`} +

^{j=1 k=1 j=1}

_i

 _0j v_j (1-_j) q^`_j.

^j=1

Покажем, что полученное выражение можно представить в следующем виде:

_i

V_i⁽⁰⁾ =  D_ij⁽⁰⁾ q^`_j ,

^j=1

где

D_ij⁽⁰⁾ = (_0j v_j_j) R_ij⁽⁰⁾ + _0j v_j (1-_j)= (с_j⁽⁰⁾) R_ij⁽⁰⁾ + _0j v_j (1-_j),

_i

R_ij⁽⁰⁾ = _0it_i +  _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k).

^k=j

Доказательство.

Для _0j v_j (1-_j) все очевидно (из третьего слагаемого выражения для V_i⁽⁰⁾).

(с_j⁽⁰⁾) R_ij⁽⁰⁾ получается в результате преобразований двух первых слагаемых. Первое слагаемое из выражения для V_i⁽⁰⁾ в выражение для R_ij⁽⁰⁾ переходит непосредственно. Докажем, что второе слагаемое в R_ij⁽⁰⁾ можно получить, преобразовав второе слагаемое в V_i⁽⁰⁾ путем изменения порядка и пределов суммирования.

В самом деле:

_{i k i i}

  (_0jv_j_j) _0k(v_k (1-_k)q_k + l_k) q_j^{`</sup> =   (<sub>0j</sub> v<sub>j</sub><sub>j</sub>) <sub>0k</sub> (v<sub>k</sub> (1-<sub>k</sub>)q<sub>k</sub> + l<sub>k</sub>) q<sub>j</sub><sup>`} =

^{k=1 j=1 j=1 k=j}

_{i i}

• (_0j v_j_j)  _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k) q_j^`.

^{j=1 k=j}

Пояснение.

До перестановки: k=1, j=1.

k=2, j=1,2.

…

k=i, j=1,2,…,i.

После перестановки:

j=1, k=1,…,i,

j=2, k=2,…,i,

…

j= i, k=i.

Можно видеть, что полученное выражение соответствует второму слагаемому R_ij⁽⁰⁾ , что и требовалось доказать.

D_ij⁽⁰⁾ - векторы размера (3х1).