2. Моменты, действующие на звенья им.

Введем следующие обозначения (рис.3.2):

M_{в i} – суммарный внешний момент, приложенный к звену i,

M_{и i} – вектор моментов сил инерции i-го звена (приложен к центру масс звена i),

_i – вектор моментов сил реакции в месте сочленения звеньев i-1 и i, приложенный к звену i (к звену i-1 приложен равный по величине и противоположный по знаку вектор).

f_n⁽⁰⁾

СК_n

_n⁽⁰⁾

l_n

v_n(1-_n)q_n

r_n

СК_n-1

CК_i

M_вn⁽⁰⁾

CК_{i- 1}

l_i

M_иn⁽⁰⁾

-f_n⁽⁰⁾

-_n⁽⁰⁾

r_i

M_вi⁽⁰⁾

-_i⁽⁰⁾

M_иi⁽⁰⁾

f_i⁽⁰⁾

v_i(1-_i)q_i

-f_i-1⁽⁰⁾

_i⁽⁰⁾

СК₀

Рис.1.2. Моменты, действующие на звенья ИМ.

Составим уравнения кинето-статического равновесия каждого из тел под действием внешних моментов, моментов реакции и моментов сил инерции. В проекциях на оси СК₀:

M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾ + _n ⁽⁰⁾ - (_0n (v_n (1-_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ = 0,

M_вn-1 ⁽⁰⁾ + M_иn-1⁽⁰⁾ + _n-1 ⁽⁰⁾ - _n ⁽⁰⁾ –

(_0n-1 (v_n-1 (1-_n-1)q_n-1 + l_n-1 + r_n-1)) f_n-1 ⁽⁰⁾ +(-_0n-1 r_n-1) (-f_n ⁽⁰⁾ ) = 0,

…

M_вi ⁽⁰⁾ + M_иi⁽⁰⁾ + _i ⁽⁰⁾ - _i+1 ⁽⁰⁾ –

(_0i (v_i (1-_i)q_i + l_i + r_i)) f_i ⁽⁰⁾ +(_0i r_i) f_i+1 ⁽⁰⁾ = 0,

…

M_в1 ⁽⁰⁾ + M_и1⁽⁰⁾ + ₁ ⁽⁰⁾ - ₂ ⁽⁰⁾ –

(₀₁ (v₁ (1-₁)q₁ + l₁ + r₁)) f₁ ⁽⁰⁾ +(₀₁ r₁) f₂ ⁽⁰⁾ = 0.

Из всех моментов, действующих на каждое из звеньев незвестны только моменты реакции. Выполнив последовательно, начиная от звена n, подстановку значений моментов реакции в уравнения для n-1, n-2, …1 звеньев, получим последовательно:

_n ⁽⁰⁾ = - (M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾) + (_0n (v_n (1-_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ ,

_n-1 ⁽⁰⁾ = - (M_вn-1 ⁽⁰⁾ + M_иn-1⁽⁰⁾ ) + _n ⁽⁰⁾ +

(_0n-1 (v_n-1 (1-_n-1)q_n-1 + l_n-1 + r_n-1)) f_n-1 ⁽⁰⁾ - (_0n-1 r_n-1) f_n ⁽⁰⁾,

…

_i ⁽⁰⁾ = - (M_вi ⁽⁰⁾ + M_иi⁽⁰⁾ ) + _i+1 ⁽⁰⁾ +

(_0i (v_i (1-_i)q_i + l_i + r_i)) f_i ⁽⁰⁾ - (_0i r_i) f_i+1 ⁽⁰⁾,

…

₁ ⁽⁰⁾ = - (M_в1 ⁽⁰⁾ + M_и1⁽⁰⁾ ) + ₂ ⁽⁰⁾ +

(₀₁ (v₁ (1-₁)q₁ + l₁ + r₁)) f₁ ⁽⁰⁾ -(₀₁ r₁) f₂ ⁽⁰⁾.

и

_n ⁽⁰⁾ = - (M_вn ⁽⁰⁾ + M_иn⁽⁰⁾) + (_0n (v_n (1-_n)q_n + l_n + r_n)) f_n ⁽⁰⁾ ,

_n

_n-1 ⁽⁰⁾ = -  (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

_n ^j=n-1

(_0j (v_nj (1-_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ - (_0n-1 r_n-1) f_n ⁽⁰⁾,

^j=n-1

…

_n

_i ⁽⁰⁾ = -  (M_вj⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_{n n-1}

 (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ -  (_0j r_j) f_j+1 ⁽⁰⁾,

^{j=i j=i}

…

_n

₁ ⁽⁰⁾ = - (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) +

^j=1

_{n n-1}

 (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j + r_j)) f_j ⁽⁰⁾ -  (_0j r_j) f_j+1 ⁽⁰⁾.

^{j=1 j=1}

Учитывая, что

_n

f _j⁰⁾ = -  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾),

^{k =j}

запишем выражение для _i ⁽⁰⁾:

_n

_i ⁽⁰⁾ = -  (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) -

^j=i

_{n n n-1 n}

 (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j + r_j))  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) +  (_0j r_j)  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) =

^{j=i k=j j=i k=j+1}

_{n n n}

-  (M_вj ⁽⁰⁾ + M_иj⁽⁰⁾ ) -  (_0j (v_j (1-_j)q_j + l_j)  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) -

^{j=i j=i k=j}

_{n n n-1 n}

 (_0j r_j)  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) +  (_0j r_j)  (F_вk ⁽⁰⁾ + F_иk⁽⁰⁾) .

^{j=i k=j j=i k=j+1}