2. Угловые и линейные ускорения звеньев

4.1. Угловые ускорения

Продифференцируем _i ⁽⁰⁾ по времени. Получим:

_{i i i i}

^{`</sup><sub>i</sub> <sup>(0)</sup> <sub>=</sub>  <sup>`}_0j_j +  _0j^{`</sup><sub>j</sub> =  (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub><sub>j</sub> +  <sub>0j</sub><sup>`}_j,

^{j =1 j =1 j =1 j =1}

или в развернутой форме записи

_{i i}

^{`</sup><sub>i</sub> <sup>(0)</sup> <sub>=</sub>  (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub>v<sub>j</sub><sub>j</sub>q<sub>j</sub><sup>`} +  _0j v_j_jq^``_j ,

^{j =1 j =1}

где

_j

_j⁽⁰⁾ ₌  _0kv_k_k q_k^` .

^{k =1}

С другой стороны, из полученных ранее соотношений следует

_{i i}

`<sub>i</sub> <sup>(0)</sup> <sub>=</sub>  с<sup>`</sup>_j⁽⁰⁾ q_j^` +  с_j⁽⁰⁾ q^``_j.

^{j =1 j =1}

Сравнив между собой cоотношения (4.1) и (4.2), увидим:

с^`_j⁽⁰⁾ = (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_j = (_j⁽⁰⁾) с_j⁽⁰⁾ .

Из полученных соотношений следует, что угловые ускорения звеньев ИМ линейно зависят от вторых производных обобщенных координат (зависимость задается векторами с_j⁽⁰⁾ ) и квадратично – от первых производных обобщенных координат ИМ.

4.2. Линейные ускорения

Продифференцируем V_i ⁽⁰⁾ по времени. Получим:

_i

V<sup>`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> = (`_i⁽⁰⁾) _0i t_i + (_i⁽⁰⁾) ^{`</sup><sub>0i</sub> t<sub>i</sub> +  (<sup>`}_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q_j + l_j) +

^j=1

_{i i}

 (_j⁽⁰⁾) ^{`</sup><sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sub>j</sub> + l<sub>j</sub>) +  (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sup>`}_j) +

^{j=1 j=1}

_{i i}

 ^{`</sup><sub>0j</sub> (v<sub>j</sub> (1-<sub>j</sub>)q<sup>`}_j) +  _0j (v_j (1-_j)q^``_j).

^{j=1 j=1}

После подстановки в полученное выражение значений ^`_0j будем иметь:

_i

V<sup>`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> = (`_i⁽⁰⁾) _0i t_i + (_i⁽⁰⁾) (_i⁽⁰⁾) _0i t_i +  (^`_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q_j + l_j) +

^j=1

_{i i}

 (_j⁽⁰⁾) (_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q_j + l_j) + 2  (_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q^`_j) +

^{j=1 j=1}

_i

 _0j (v_j (1-_j)q^``_j).

^j=1

С другой стороны, согласно вышеизложенному

_{i i}

V<sup>`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> =  D`_ij⁽⁰⁾ q^`_j +  D_ij⁽⁰⁾ q^``_j.

^{j=1 j=1}

Выражеие для D_ij⁽⁰⁾ мы получили ранее. Для того, чтобы полностью развернуть выражение для V<sup>`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> нужно определить вид D`_ij⁽⁰⁾ q^`_j.

Обратим внимание на 1-е, 3-е и последнее слагаемые в выражении для V^`_i⁽⁰⁾:

_{i i}

(`<sub>i</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0i</sub> t<sub>i</sub> +  (<sup>`</sup>_j⁽⁰⁾) _0j(v_j (1-_j)q_j + l_j) +  _0j (v_j (1-_j)q^``_j) =

^{j=1 j=1}

_{i i}

 ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^` +  _0j v_j_jq^``_j ) _0it_i +

^{j =1 j =1}

_{i k k}

  ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^` +  _0j v_j_jq^``_j ) _{0j k}(v _k (1- _k)q _k + l _k) +

^{k =1 j =1 j =1}

_i

 _0j (v_j (1-_j)q^``_j) =

^j=1

(во втором слагаемом переименованы индексы j и k – для удобства дальнейших преобразований)

_{i i k i}

 ( _0j v_j_jq^{``</sup><sub>j</sub> ) <sub>0i</sub>t<sub>i</sub> +   ( <sub>0j</sub> v<sub>j</sub><sub>j</sub>q<sup>``}_j ) _{0 k}(v _k(1- _k)q _k + l_j) + _0j (v_j (1-_j)q^``_j) +

^{j =1 k =1 j =1 j=1}

_{i i k}

 ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^{`</sup> ) <sub>0i</sub>t<sub>i</sub> +   ( (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub>v<sub>j</sub><sub>j</sub>q<sub>j</sub><sup>`} ) _{0 k}(v _k (1- _k)q _k + l _k) =

^{j =1 k =1 j =1}

_{i i k i}

 (_0j v_j_j) _0it_i q^{``</sup><sub>j</sub> +    (<sub>0j</sub> v<sub>j</sub><sub>j</sub>) <sub>0 k</sub>(v <sub>k</sub> (1- <sub>k</sub>)+q <sub>k</sub> l <sub>k</sub>) q<sup>``}_j +  _0j (v_j (1-_j) q^``_j +

^{j =1 k =1 j =1 j=1}

_{i i k}

 ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^{`</sup> ) <sub>0i</sub>t<sub>i</sub> +   ( (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub>v<sub>j</sub><sub>j</sub>q<sub>j</sub><sup>`} ) _{0 k}(v _k (1- _k)q _k + l _k) =

^{j =1 k =1 j =1}

_i

 D_ij⁽⁰⁾ q^``_j + … .

^j=1

(Мы воспользовались результатами вывода формулы линейной скорости звеньев).

_i

Тогда  D`<sub>ij</sub><sup>(0)</sup> q<sup>`</sup>_j - это 2,4,5 слагаемые из выражения для V^`_i⁽⁰⁾ + оставшиеся (…)

^j=1

слагаемые из последнего выражения, т.е.

_i

 D`<sub>ij</sub><sup>(0)</sup> q<sup>`</sup>_j = (_i⁽⁰⁾) (_i⁽⁰⁾) _0i t_i +

^j=1

_{i i}

 (_j⁽⁰⁾) (_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q_j + l_j) + 2  (_j⁽⁰⁾) _0j (v_j (1-_j)q^`_j) +

^{j=1 j=1}

_{i i k}

 ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^{`</sup> ) <sub>0i</sub>t<sub>i</sub> +   ( (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0j</sub>v<sub>j</sub><sub>j</sub>q<sub>j</sub><sup>`} ) _{0 k}(v _k(1- _k)q _k + l _k).

^{j =1 k =1 j =1}

ДРУГОЙ ВАРИАНТ ВЫКЛАДОК (лекции 2011).

/* … Обратим внимание на 1-е, 3-е и последнее слагаемые в выражении для V^`_i⁽⁰⁾:

_{i i}

(`<sub>i</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0i</sub> t<sub>i</sub> +  (<sup>`</sup>_j⁽⁰⁾) _0j(v_j (1-_j)q_j + l_j) +  _0j (v_j (1-_j)q^``_j) =

^{j=1 j=1}

_{i i}

 ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^` +  _0j v_j_jq^``_j ) _0it_i +

^{j =1 j =1}

_{i k k}

  ( (_j⁽⁰⁾) _0jv_j_jq_j^` +  _0j v_j_jq^``_j ) _{0j k}(v _k (1- _k)q _k + l _k) +

^{k =1 j =1 j =1}

_i

 _0j (v_j (1-_j)q^``_j).

^j=1

В последнем равенстве 2-е, 3-е и 5-е слагаемые являются явными функциями q^``_j . Но согласно

_{i i}

V<sup>`</sup><sub>i</sub><sup>(0)</sup> =  D`_ij⁽⁰⁾ q^`_j +  D_ij⁽⁰⁾ q^``_j

^{j=1 j=1}

и эти слагаемые равны

_i

 D_ij⁽⁰⁾ q^``_j.

^j=1

Тогда

_i

 D`<sub>ij</sub><sup>(0)</sup> q<sup>`</sup>_j -

^j=1

это все оставшиеся слагаемые, а именно (см. выше).

*/

В этих слагаемых каждая компонента содержит произведения производных обобщенных координат второй степени. Поэтому линейные ускорения звеньев ИМ линейно зависят от вторых производных обообщенных координат (зависимость задается векторами D_ij⁽⁰⁾) и квардратично – от первых производных обобщенных координат ИМ.

Внимательное рассмотрение последнего выражения дает компоненты вида

2(_j⁽⁰⁾)_0j(v_j(1-_j)q^`_j) – ускорения Кориолиса, а также центробежные (пропорциональные вторым степеням производных одноименных координат вращательных пар и гироскопические ускорения (пропорциональные произведениям производных разноименных координат).