1.6.2. Матрицы композиции элементарных поворотов

Любой пространственный поворот СК можно представить как композицию трех элементарных поворотов. Так например, если СК {uvw} образована в результаты выполнения трех последовательных поворотов относительно СК {xyz}: вначале – вокруг оси х (новую СК обозначим {uv`w`}), затем (после первого поворота) – вокруг оси v` (новую СК обозначим {u`v`w``}), затем (после двух первых поворотов – вокруг оси w`` - СК {u``v``w``}), то матрица композиции этих преобразований может быть получена путем перемножения матриц элементарных поворотов, так

 _{xyz, uvw} =  _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось u, угол )  _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось v`, угол )  _{xyz, uvw} (СК {uvw}, ось w``, угол )

Отметим, что последовательность элементарных поворотов может быть различной (например: вначале v, затем u, затем w). Поэтому при определении матрицы композиции преобразований нужно указывать последовательность применения преобразований.

При написании последовательности операторов поворота учитываем, что осуществляются последовательные повороты СК {uvw} вместе с закреплённым с ней вектором относительно СК {xyz} в заданном порядке (ось u, ось v`, ось w``), но координаты векторов из СК {uvw} к СК {xyz} преобразуются в обратном порядке! Поэтому матрица первого поворота – самая первая слева (последнее преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}). Матрица последнего поворотоа – самая последняя слева (первое преобразование вектора из СК {uvw} в СК {xyz}).

Этот факт иллюстрирует рисунок 1.10. Зеленый цвет – последовательность поворотов ск. Синий – последовательность преобразований векторов, заданных координатами в подвижной ск, в неподвижную.

v``

w``

v`

w`

w``

u``

v`

u`

u

u`

z

v`

w`

y

х, u

Рис. 1.10. Последовательности преобразований

1.6.3. Матрицы сложных поворотов

Матрица преобразования поворота СК_uvw относительно СК _xyz может быть представлена как последовательность двух и более поворотов:

 _{xyz, uvw} =  _{xyz, uvw (1)} …  _{xyz, uvw (n-1)}  _{xyz, uvw (n)},

где  _{uvw, xyz (i)} – матрица i-го поворота (композиция элементарных поворотов или отдельные элементарные повороты).

Если, например,  _{i-1, i} – матрица поворота СК_i относительно СК_i-1 , то матрицу поворота СК_i относительно СК₀ можно представить в виде

_i

_0i = П _{k-1 k} = ₀₁ ₁₂ _{23 …} _{n-1 n}

^k=1

Матрицы сложных поворотов можно представить в рекуррентрной форме

_0i = _0i-1 _{i-1 i} , i = 1,2,…,n.

1.6.4. Матрицы поворота ск смежных звеньев им

Положение в пространстве СК_i относительно СК_i-1 можно задать, выполнив последовательно четыре поворота СК_i , – вокруг оси Z_i на угол _iq_i , затем последовательно вокруг осей X _i`, Y _i``, Z _i```.

Поэтому матрица поворота СК_i относительно CК_i-1 может быть записана в виде

 _i-1i =  _i-1i (ось Z _i, угол _iq_i) _i-1i (осьX_i`,угол _i)х

 _i-1i (осьY_i``,угол _i) _i-1i (ось Z_i```, угол _i) .

Используя матрицу  _i-1i , можно определить координаты вектора, заданного в СК _i , в СК _i-1 :

a^(i-1) =  _{i-1 i} a⁽ⁱ⁾,

Обратное преобразование запишется так:

a⁽ⁱ⁾ =  _{i i-1} a^(i-1) .

Матрицы  _{i-1 i} и  _{i i-1} связаны соотношениями

 _{i-1 i} = ^T _{i i-1} .

С учетом введенных в п.1.6.1 обозначений можно записать

 _{i i-1} = _z(_i)_y(_i)_x(_i)_z(_iq_i). (1.4)