3.4. Производные по времени матриц преобразований поворота.

3.4.1. Запись производной по времени матрицы I-1i

Матрица ^`_i-1i равна

^`_i-1i = _i-1i (_i),

где обозначено (*) – матрица (3х3) векторного произведения, составленная из элементов вектора

* = {*_x *_y *_z }^T :

0 - *_z *_y

(.) = *_z 0 - *_x

-*_y *_x 0

Матрица используется при записи векторного произведения в координатной форме.

3.4.2. Свойства матрицы векторного произведения (.)

а) ^T(.) = - (.); следует из того, что (.) – кососимметрическая матрица.

б) Если a, b – 3-мерные векторы, то векторное произведение axb в координатной форме записи равно (a)b, что непосредственно следует из свойств векторного произведения.

в) (a)b = -(b)a; непосредственно следует из свойств векторного произведения.

г) (a⁽ⁱ)b⁽ⁱ⁾ = _ij (a^(j)b^(j) = (_ij a^(j)_ijb^(j); следует из свойств векторного произведения: результат векторного произведения не зависит от СК, в которой оно выполнено. Представленные соотношения можно переписать иначе:

(a^(j)b^(j) = ^T_ij (_ij a^(j)_ijb^(j) .

Поскольку представленные соотношения справедливы для любого вектора b^(j), b^(j) можно опустить:

(a^(j) = ^T_ij (_ij a^(j)_ij.

Последнее выражение можно переписать так

(_ij a^(j) = ^T_ij (a^(j)_ij,

_{i i}

д) ( a_k^(j)) = (a_k^(j)) . Это соотношение очевидно.

^{k=1 k=1}

3.4.3. Вычисление `I-1i .

В справедливости выражений п.3.4.1 нетрудно убедиться, выполнив предписанные ими действия:

^{`</sup><sub>i-1i</sub> = <sub>z</sub><sup>` T}(_iq_i) _i^T = (d

| cos (_iq_i) -sin (_iq_i) 0 |

| sin (_iq_i) cos (_iq_i) 0 | / dt ) _i^T =

| 0 0 1 |

- sin(_iq_i) - cos(_iq_i) 0 cos (_iq_i) -sin (_iq_i) 0 0 -1 0

cos (_iq_i) - sin(_iq_i) 0 _i^T _iq_i^{`</sup> = sin (<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) cos (<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) 0 1 0 0 <sub>i</sub><sup>T</sup> <sub>i</sub>q<sub>i</sub><sup>`} =

0 0 0 0 0 1 0 0 0

_z^T(_iq_i) (e) _i^T _iq_i^{`</sup> = <sub>z</sub><sup>T</sup>(<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) (<sub>i</sub><sup>T</sup> (<sub>i</sub> e) ) <sub>i</sub><sup>T</sup> <sub>i</sub>q<sub>i</sub><sup>`} = _z^T(_iq_i)_i^T (v_i) _i_i^T _iq_i^` =

_z^T(_iq_i)_i^T (v_i _iq_i^` ) = _i-1i (_i),

3.4.4. Производная по времени матрицы 0i.

Продифференцируем выражение для _0i по времени; получим

_{i i}

^{`</sup><sub>0i</sub> = d ( П <sub>k-1 k</sub> )/dt =  <sub>0 k-1</sub><sup>`}_{k-1 k}_ki =  _{0 k-1} _k-1k (_k) _ki =

^{k=1 k=1}

 _{0 k} (_k)  _k0_{0 k} _ki =  _0k (_k)  _k0_0i =  ( _0k_k) _0i = (_0k _k) _0i =

(_i⁽⁰⁾) _0i.

Или

^`_{0i =} (_i⁽⁰⁾) _0i.