С учетом выполненных преобразований и введенных обозначений первое выражение п.2.1 примет вид:

_{n n n}

 a_ij q^``_j + b_i = _дi +  с_i^{(0) T} M_вj ⁽⁰⁾ +  D_ji^{(0) T} F_вj ⁽⁰⁾ ,

^{j=1 j=i j=i}

i = 1,2,…,n.

Полученная система дуравнений описывает движение ИМ под действием внешних сил и моментов, а также сил и (или) моментов, развиваемых приводами шарниров. Физический смысл каждого из слагаемых в этом выражении – силы и моменты, действующие вдоль осей шарниров:

_n

 a_ij q^``_j - часто называют “инерционными “ силами или моментами, с

^j=1

которыми ИМ воздействует на оси шарниров,

b_i – центробежные и кориолисовы силы и моменты, воздействующие на оси шарниров,

_n

 с_i^{(0) T} M_вj ⁽⁰⁾ – моменты, воздействующие на оси шарниров; обусловлены

^j=i

внешними моментами, приложенными к звеньям ИМ,

_n

Σ D_ji^{(0) T} F_вj ⁽⁰⁾ – силы и моменты, воздействиующие на оси шарниров;

^j=i

обусловлены внешними силами, приложенными к звеньям ИМ,

_дi – силы и моменты, развиваемые приводами ИМ.

Последнюю систему можно представить в виде одного уравнения, если обозначить

A = {a_ij} – матрица (nxn) при вторых производных обобщенных координат ИМ (матрица инерционных коэффициентов, матрица инерции ИМ),

b = [b_i ] – вектор (nx1), (i = 1,2,…,n),

С⁽⁰⁾ = {с_j ⁽⁰⁾} – матрица (3nxn) (см. п.2.5.2),

D⁽⁰⁾ = {D_ij⁽⁰⁾} – матрица (3nxn) (см. п.2.9),

_д = [_дi], вектор (nx1), i = 1,2,…,n,

M_в ⁽⁰⁾ = [M_в1^(0)T M_в2^(0)T … M_вn^(0)T ]^T – вектор (3nxn) с компонентами M_вj ⁽⁰⁾,

F_в ⁽⁰⁾ = [F_в1^(0)T F_в2^(0)T … F_вn^(0)T ]^T - вектор (3nxn) с компонентами F_вj ⁽⁰⁾.

Воспользовавшись сделанными обозначениями, получим:

A q^`` + b = _д + С^(0)T M_в⁽⁰⁾ + D^{(0) T} F_в⁽⁰⁾.

2.2. Свойства матрицы А = { a_ij }

а) Элемент a_ij есть:

сумма из (n - max(i,j) +1) скалярных произведений вектора с_i⁽⁰⁾ и вектора с_j⁽⁰⁾ , взятых с I_k⁽⁰⁾ как с весовыми матрицами, причем k приобретает последовательно целосчисленные значения из диапазона max(i,j) ≤ k≤ n

плюс

сумма из (n - max(i,j) +1) скалярных произведений векторов D_ki⁽⁰⁾ и векторов D_kj⁽⁰⁾, взятых с m_k как с весовыми множителями, причем k приобретает последовательно целосчисленные значения из диапазона max(i,j) ≤ k≤ n.

Действительно, по свойству скалярного произведения

с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ = с_i⁽⁰⁾ . ( I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾),

D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ = D_ki⁽⁰⁾ . ( m_k D_kj⁽⁰⁾).

Число слагаемых в суммах и диапазоны суммирования легко устанавливаются из (4.3). Свойство а) удобно проиллюстрировать геометрически (рис.4.1 – случай i>j):

б) А – симметрическая матрица. Для этого нужно доказать, что a_ij = a_ji ; а для этого достаточно показать, что

с_i^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ = с_j^{(0) T} I_k⁽⁰⁾ с_i⁰⁾ и D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ = D_kj^(0)T m_k D_ki⁽⁰⁾.

Поскольку с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾ – скаляр, то (с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾)^T = с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾. С другой стороны

выполнение предписанных действий транспонирования над (с_i^(0)T I_k⁽⁰⁾ с_j⁽⁰⁾)^T дает с_j^{(0) T} I_k^(0)T с_i⁽⁰⁾ = с_j^(0)T I_k^(0)T с_i⁽⁰⁾, что и служит доказательством.

Доказательство для D_ki^(0)T m_k D_kj⁽⁰⁾ полностью аналогично.

k

c_k⁽⁰⁾

c_k⁽⁰⁾

D_ki⁽⁰⁾

i

c_i⁽⁰⁾

n

i-1

D_kj⁽⁰⁾

c_j⁽⁰⁾

j

Рис.4.1. Геометрическая интерпретация соотношений для расчета элементов матрицы A.

в) А – положительно определенная матрица (т.е. А>0).

Запишем выражение для кинетической энергии ИМ:

_n

КЕ = ½  (V_j^(0)T m_j V_j⁽⁰⁾ + _j^(0)T I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾) =

^j=1

_{n j j}

½    (с_k^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_l⁽⁰⁾ + D_jk^(0)T m_j D_jl⁽⁰⁾)q`<sub>k</sub>q`_l.

^{j=1 k=1 l=1}

Изменим порядок суммирования:

j = 1 k = 1 l = 1 -> k = 1,…,n

j = 2 k = 1,2 l = 1,2 l = k,…,n

j = 3 k = 1,2,3 l = 1,2,3 j = k (или l), т.е. = max(k,l)

… … …

j = n k = 1,2,3,…,n l = 1,2,3,…,n

_{n n n n n}

КЕ = ½    (с_k^{(0) T} I_j⁽⁰⁾ с_l⁽⁰⁾ + D_jk^(0)T m_j D_jl⁽⁰⁾) q`<sub>k</sub> q`_l = ½   a_kl q`<sub>k</sub>q`_l .

^{k=1 l=1 j=max(k,l) k=1 l=1}

Таким образом, КЕ – квадратичная форма с матрицей A. По условиям физической реализуемости механической системы матрица квадратичной формы КЕ является положительно определенной. Поэтому A – положительно определенная матрица.

2.3. Свойства вектора b = {b_i}.

_j

С учетом выражений для с<sup>`</sup><sub>k</sub><sup>(0)</sup> и  D`_jk⁽⁰⁾ q^`_k элемент b_i можно

^k=1

представить в виде

_{n j}

b_i =  с_i^{(0) T} (I_j⁽⁰⁾  (_k⁽⁰⁾) с_k⁽⁰⁾ q_k^` + (_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾ ) +

^{j=i k=1}

_n

 D_ji^(0)T m_j ( (_j⁽⁰⁾) (_j⁽⁰⁾) _0j t_j +

^{j = i}

_{j j}

 (_k⁽⁰⁾) (_k⁽⁰⁾) _0k (v_k (1-_k)q_k + l_k) + 2  (_k⁽⁰⁾) _0k (v_k (1-_k)q^`_k) +

^{k=1 k=1}

_{j j l}

 ( (_k⁽⁰⁾) _0kv_k_kq_k^{`</sup> ) <sub>0j</sub>t<sub>j</sub> +   ( (<sub>k</sub><sup>(0)</sup>) <sub>0k</sub>v<sub>k</sub><sub>k</sub>q<sub>k</sub><sup>`} ) _0l (v_l (1-_l) q _l + l _l )).

^{k=1 l =1 k =1}

Физический смысл b_i – сила или момент, воздействующие на оси шарниров при движении ИМ. Из представленного выражения видно, что b_i квадратично зависит от вторых производных обобщенных координат. Слагаемые, входящие в b_i представляют собой центробежные силы, моменты от действия этих сил, а также кориолисовы силы и моменты от действия сил Кориолиса.