3. Силы, действующие вдоль осей шарниров им.

Ось шарнира с номером i совпадает с осью Z_i-1. Поэтому для определения сил, действующих вдоль осей шарниров следует, во-первых, векторы сил реакций связей перевести в системы из СК₀ в СК _i-1 , а во-вторых, спроецировать получившиеся векторы на оси Z_i-1:

_{n n}

f _Zi^(i-1) = e^T _i-1i _i0  (m_j V^{` (0)</sup><sub>j</sub> - F<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup> ) = v<sub>i</sub><sup>T</sup> <sub>i0</sub>  (m<sub>j</sub> V<sup>` (0)}_j - F_вj ⁽⁰⁾ ),

^{j =i j =i}

поскольку e^T _i-1i = v_i^T, (i = 1,2,…,n).

1.4. Моменты, действующие вдоль осей шарниров.

Для определения моментов, действующих вдоль осей шарниров следует, во-первых, векторы моментов реакций связей перевести из СК₀ в СК _i-1 , а во-вторых, спроецировать получившиеся векторы на оси Z_i-1:

_n

 _Zi ^(i-1) = v_i^T _i0  (I_j⁽⁰⁾ ^`_j⁽⁰⁾ + (_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾ - M_вj ⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_n

v_i^T _i0  (R_ji⁽⁰⁾)(m_j V^`_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾),

^j=i

i = 1,2,…,n.

Силы и моменты, с которыми ИМ воздействует на оси шарниров равны соответственно –f _Zi^(i-1) , - _Zi ^(i-1) (i = 1,2,…,n).

1.5. Силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора. Обратная задача динамики им.

Силы и моменты, развиваемые приводами манипулятора, определяются из выражений (3.5), если соответствующий шарнир поступательного типа или из выражений (3.6), если шарнир вращательного типа.

Для того, чтобы учесть тип шарнира воспользуемся множителями-индикаторами _i. Обозначим

_дi = (1 -_i ) *сила, развиваемая i-м приводом +

_i * момент, развиваемый i-м приводом.

Силы и моменты, развиваемые приводами, действуют вдоль осей шарниров. Их значения определяются по выражениям п.1.3, если соответствующий шарнир поступательного типа, или по выражениям п.1.4, если шарнир вращательного типа. Нужно помнить, что сила (или момент) привода с номером i действует вдоль оси Z СК _i-1 . Тогда

_дi = (1 - _i) f _Zi^(i-1) + _i  _Zi ^(i-1).

Подставив в последнее выражение значения сил и моментов, развиваемых приводами, получим

_n

(1 - _i ) v_i^T _i0  (m_j V^{` (0)}_j - F_вj ⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_n

_i v_i^T _i0  (I_j⁽⁰⁾ ^`_j⁽⁰⁾ + (_j⁽⁰⁾) I_j⁽⁰⁾ _j⁽⁰⁾ - M_вj ⁽⁰⁾ ) +

^j=i

_n

_i v_i^T _i0  (R_ji⁽⁰⁾)(m_j V^`_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾) = _дi ,

^j=i

i = 1,2,…,n

Заметим, что а) _i v_i^T _i0 = с_i^{(0) T} , б) (1 - _i ) v_i^T _i0 + _i v_i^T _i0 (R_ji⁽⁰⁾) = D_ji^{(0) T} .

Замечание а) очевидно (устанавливаем сравнением с полученными выше выражениями для с_i⁽⁰⁾ ). Для того, чтобы убедиться в справедливости замечания б) проделаем следующие операции над D_ji⁽⁰⁾:

(D_ji⁽⁰⁾ )^T = ((1 - _i ) v_i^T _i0 + _i v_i^T _i0 (R_ji⁽⁰⁾))^T = _0i v_i (1-_i) + ^T(R_ji⁽⁰⁾)_0iv_i_i =

_0i v_i (1-_i) - (R_ji⁽⁰⁾)_0iv_i_{i =} _0i v_i (1-_i) + (_0iv_i_i) R_ji⁽⁰⁾ = D_ji⁽⁰⁾

С учетом этого выражение для сил и моментов приводов представим в виде :

_{n n}

 с_i^{(0) T} (I_j⁽⁰⁾ ^{`</sup><sub>j</sub><sup>(0)</sup> + (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) I<sub>j</sub><sup>(0)</sup> <sub>j</sub><sup>(0)</sup> - M<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup> ) +  D<sub>ji</sub><sup>(0)T</sup> (m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾) = _дi.

^{j=i j=i}

Последнее уравнение совместно с полученными ранее выражениями для ^{`</sup><sub>j</sub><sup>(0)</sup> , <sub>j</sub><sup>(0)</sup> , V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ позволяют определить силы и (или) моменты, которые развивают приводы при известных параметрах движения звеньев ИМ (q _i, q^` _i, q`` _i, i = 1,2,…,n ). Определение сил и (или) моментов, развиваемых приводами по заданным параметрам движения носит название обратнай задачи динамики (ОЗД) ИМ.

Отметим, что произведение каких-либо двух векторов вида a^($)Tb^($) есть координатная запись скалярного произведения векторов a и b, представленных в проекциях на оси СК_$, т.е. векторов a^($) и b^($). Исходя из этого момент (или сила) воздействующие на i-й привод ИМ есть сумма скалярных произведений векторов с_i⁽⁰⁾ и I_j⁽⁰⁾ ^{`</sup><sub>j</sub><sup>(0)</sup> + (<sub>j</sub><sup>(0)</sup>) I<sub>j</sub><sup>(0)</sup> <sub>j</sub><sup>(0)</sup> - M<sub>вj</sub> <sup>(0)</sup> (j = i,…,n) плюс сумма скалярных произведений векторов D<sub>ji</sub><sup>(0)</sup> и (m<sub>j</sub> V<sup>`}_j ⁽⁰⁾ - F_вj ⁽⁰⁾) (j = i,…,n).