34) Функция распределения электронов.

Электроны, как частицы, обладающие полуцелым спином, под­чиняются, как известно, статистике Ферми — Дирака. Вероятность того, что электрон будет находить­ся в квантовом состоянии с энер­гией Е, выражается функцией Фер­ми — Дирака

Здесь F — электрохимический по­тенциал, или уровень Ферми, ко­торый, в общем случае, тоже за­висит от температуры.

Рис. 5.2. Функция Ферми —Ди­рака.

Уровень Ферми тесно связан с термодинамическими характеристиками системы. Так, например, его можно определить как при­ращение свободной энергии системы при добавлении к ней одного электрона при условии постоянства объема и температуры. Однако мы не будем пока входить подробнее в обсуждение термо­динамического смысла F, а будем рассматривать ее как некоторую характерную энергию, зависящую от типа полупроводника, его состава и состояния (температуры, давления и др.), значение кото­рой подлежит дальнейшему определению.

Из выражения (3.1) видно, что уровень Ферми можно также определить как энергию такого квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна ¹/₂.

Вид функции Ферми — Дирака схематически показан на рис. 5.2. При Т = 0 она имеет вид разрывной функции. Для Е < F она равна 1, а, значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами. Для Е > F функция f = 0 и соответствующие квантовые состояния совершенно не заполнены. При Т ≠ О функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий, порядка нескольких kT, в окрестности точки E = F быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Вероятность того, что данное квантовое состояние с энергией Е не занято электроном, f_p, есть

Вычисление различных статистических величин значительно упрощается, если F лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны Е_с хотя бы на (2 - 3)kT_. Тогда в распределении (3.1) можно считать

и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана класси­ческой статистики

где С — постоянная.

В этом случае мы говорим, что электронный газ не вырожден. Аналогично, в полупроводнике р-типа для отсут­ствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми F тоже лежал внутри запрещенной зоны и был располо­жен выше энергии Е_v хотя бы на (2 - 3)kT. Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводи­мости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного элек­тронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае существенно необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака (3.1) или (3.1а);

35) Концентрация электронов и дырок в зонах, эффек­тивная плотность состояний.

Согласно сказанному выше концентрация электронов в зоне проводимости равна

Отметим, что в качестве верхнего предела в написанном интеграле мы должны были бы взять энергию верхнего края зоны проводимости. Однако так как функция f для значений энергий Е > F быстро убывает с увеличением Е, то замена верхнего предела на оо практически не меняет значения интеграла.

Интеграл (4.1) удобно представить в следующем виде. Выберем новую переменную интегрирования

Обозначим, далее,

Величина ζ, носит название химического потенциала для электро­нов, a ζ * есть его безразмерное значение. Обозначим, наконец, для сокращения

Эта величина получила название эффективной плотности состоя­ний в зоне проводимости (смысл этого названия будет выяснен ниже), Тогда нетрудно убедиться, что интеграл (4.1) принимает вид

где

Значение интеграла (4.5) зависит только от параметра ζ *, т. е. от химического потенциала, и температуры.

Этот интеграл изве­стен как интеграл Ферми — Дирака (или, точнее, интеграл Ферми — Дирака с индексом ¹/₂) и в общем случае не выражается через эле­ментарные функции.

Рассуждая аналогично, легко найти и выражение для концен­трации положительных дырок в валентной зоне. Отличия от пре­дыдущего случая заключаются лишь в том, что мы, во-первых, должны использовать выражение (2.5) для плотности состояний в валентной зоне. Во-вторых, мы должны подсчитывать не число заполненных, а число незанятых состояний. И, наконец, интегри­рование по энергиям нужно производить в пределах валентной зоны. Поэтому

где f_p выражается формулой (3.1а). Вводя, как и выше, безразмер­ную переменную

и безразмерный параметр

мы приходим к формуле, аналогичной соотношению (4.4):

Здесь N_v есть эффективная плотность состояний в валентной зоне:

а Ф_1/2, (η *) — прежний интеграл Ферми (4.5). Однако теперь он содержит другой параметр η *, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны. Разность

есть химический потенциал для дырок.

Формулы (4.4) и (4.8) справедливы для полупроводника, одно­родного по составу и в отсутствие внешних полей. Легко обобщить их на случай, когда в образце имеется электрическое поле с потен­циалом φ, плавно изменяю­щимся в пространстве. Действительно, в этом случае применимо представление об искривленных зонах и, следовательно, вели­чины Е_с и E_v надо заменить на Е_с — еφ и E_v — еφ, где Е_с и Е_х, — энергии краев зон при φ = 0. Поэтому, если ζ есть безразмерный химический потенциал при φ = 0, то выражение для концентра­ции электронов принимает вид

Аналогично, для концентрации дырок получаем