9) Обозначения узлов, направлений и плоскостей в кристалле.
Начало координат в пространстве кристалла выбирают в одном из его узлов, при этом положение любого узла в пространственной решетке выражается через элементарные трансляции:
R = m a + n b + p c, |
или |
m1 a1 + m2 a2 + m3 a3 |
1.2 |
Если в элементарной ячейке содержится один узел (такие ячейки называют примитивными), то координаты m, n, p являются целыми числами, а вся решетка --- решеткой Бравэ:
R = m a + n b + p c, |
m, n, p Î Z |
1.3 |
Совокупность индексов узла, заключенную в двойные квадратные скобки [[mnp]], называют символом узла.
Если элементарная ячейка содержит не один узел, числа m, n, p --- не обязательно целые. Для дальнейшего нам будет удобно такие решетки также представлять как составленные из нескольких примитивных
R = m a + n b + p c + Pi |
m, n, p Î Z |
1.4 |
где Pi --- вектора узлов базиса.
Плоскость, проходящая через узлы кристаллической решетки, называется кристаллографической плоскостью.
Прямая, проходящая через узлы кристаллической решетки, называется кристаллографическим направлением.
Для обозначения кристаллографических плоскостей и направлений пользуются индексами Миллера. Чтобы установить индексы Миллера, элементарную ячейку вписывают в пространственную систему координат (оси X,Y, Z – кристаллографические оси). За единицу измерения принимается период решетки.
Обозначение кристаллографических плоскостей и кристаллографических направлений
а – кристаллографические плоскости; б – кристаллографические направления
Для определения индексов кристаллографической плоскости необходимо:
установить координаты точек пересечения плоскости с осями координат в единицах периода решетки;
взять обратные значения этих величин;
привести их к наименьшему целому кратному, каждому из полученных чисел.
Полученные значения простых целых чисел, не имеющие общего множителя, являются индексами Миллера для плоскости, указываются в круглых скобках. Примеры обозначения кристаллографических плоскостей на рисунке, позиция а.
Другими словами, индекс по оси показывает на сколько частей плоскость делит осевую единицу по данной оси. Плоскости, параллельные оси, имеют по ней индекс 0 (110).
Ориентация прямой определяется координатами двух точек. Для определения индексов кристаллографического направления необходимо:
одну точку направления совместить с началом координат;
установить координаты любой другой точки, лежащей на прямой, в единицах периода решетки;
привести отношение этих координат к отношению трех наименьших целых чисел.
Индексы кристаллографических направлений указываются в квадратных скобках [111].
Под индексами плоскостей понимают величины, обратные длинам этих отрезков, приведенные к целым числам (и отнесенные к обратным значениям периодов решетки), то есть, индексы плоскости будут (n/h, n/k, n/l), где n подбирается так, чтобы сделать эти числа целыми с наибольшим общим делителем 1 (n --- наименьшее общее кратное). Их называют индексами Миллера плоскости и заключают в круглые скобки ((hkl) или (h1, h2, h3)). Если плоскость не пересекает ось, соответствующий индекс равен 0. Плоскость с индексами (hkl) содержит все направления [m, n, p], индексы которых удовлетворяют условию
m h + n k + p l = 0 |
|
Очевидно, что плоскость (k, l, m) всегда содержит такие направления как [l, -k, 0], [0, m, -l ], [m, 0, -k].