Тема 2.1. Диференційні формули першого роду для прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда

Мета роботи: Засвоїти суть диференційних формул першого роду для прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда та методику використання цих формул для обчислення поправок в координати.

Завдання: Шляхом практичної реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення поправок в координати наступної точки, якщо змінилися координати, азимут і довжина лінії у вихідній точці.

Основні теоретичні положення

Приймемо, що вихідним пунктом є точка Q₁ з геодезичними координатами B₁ і L_1, і в цій точці відомим є значення азимута напрямку на точку Q₂ – А₁₂, а також довжина геодезичної лінії між цими точками – S₁₂. Шляхом розв’язку прямої геодезичної задачі між цими точками визначено геодезичні координати точки Q₂ – B₂ і L₂, а також обернений азимут в точці Q₂ – А₂₁.

Нехай, вихідні геодезичні координати, азимут і довжина лінії зазнали незначних змін на величини dB₁, dL₁, dA₁₂ і dS₁₂. Очевидно, що ці зміни викличуть зміни в геодезичних координатах точки Q₂ – dB₂ і dL₂, зміни оберненого геодезичного азимута на величину dA₂₁. Ці зміни виражаються у функціях змін вихідних координат dB₁, dL₁, dA₁₂ і dS₁₂ такими рівняннями:

(2.1)

Розглянемо геометричний шлях визначення впливу зміни широти вихідної точки на координати і обернений азимут в точці Q₂. Цей вплив буде визначатися складовими формули (2.1). Отримаємо формули для визначення цього впливу на основі рисунка 13.

Рис.13 До визначення впливу зміни широти вихідної точки

Нехай приріст широти точки Q₁ складає величину , а довгота точки, азимут і довжина вихідної лінії залишилися незмінними. Тоді точка Q₁ зміститься по меридіану в точку Q₁'. Це зміщення приведе до переміщення у просторі точки Q₂ в положення Q₂''. Значення цього переміщення у складових формул (2.1) знаходимо на основі диференційних рівнянь геодезичної лінії і розв’язку сферичного трикутника Q₁ Q₁' Q₁''. Отримуємо:

(2.2)

В формулі (2.2) - різниця довгот точок Q₁ і Q₂, а індекси в складових визначають точку, за координатами якої вони обчислюються.

Щоб оцінити влив на координати точки Q₂ і обернений азимут в ній зміни довжини вихідної сторони на величину при незмінних значеннях інших координат вихідної точки і початкового азимута, необхідно на рисунку 13 уявно продовжити лінію Q₁Q₂ на приросток довжини Очевидно, в цьому випадку, точка Q₂ зміститься на поверхні еліпсоїда по азимуту лінії Q₁Q₂ в іншу точку, що приведе до змін координат в цій точці і оберненого азимута в ній. Ці зміни оцінюються складовими формул (2.1) На основі диференційних формул геодезичної лінії ці зміни знаходимо з виразів:

,

(2.3)

Для визначення впливу зміни вихідного азимута на координати точки Q₂ і обернений азимут в ній розглянемо рисунок 14.

Рис.14 До визначення впливу зміни азимута вихідної точки

Припустимо, що вихідний азимут А₁₂ геодезичної лінії Q₁Q₂ змінився на малу величину dA₁₂, в результаті чого точка Q₂ перемістилась у точку Q₂'. Величина цього переміщення на поверхні еліпсоїда обчислюється через параметр m, що отримав назву приведеної довжини геодезичної лінії і може бути визначений з виразу Доведено [M], що для довжин геодезичних ліній до 600км приведену довжину геодезичної лінії можна визначати за формулою:

(2.4)

де R - є середнім радіусом кривини еліпсоїда у відповідній точці.

Очевидно, що зміщення точки Q₂ на поверхні еліпсоїда приведе до зміни її геодезичних координат і до зміни оберненого азимута у цій точці. Ці зміни визначаються складовими формул (2.1) і мають такий вид:

З розв’язку стероїдного трикутника Q₁Q₂Q₂' отримуємо формули для визначення поправок у широту і довготу за вплив зміни вихідного азимута. Маємо:

(2.5)

Поправка в обернений азимут за зміну вихідного азимута на малу величину буде мати дві складові, що будуть враховувати, по перше, поворот геодезичної лінії на кут і ця складова визначається виразом і, по друге, складовою, що враховує зміну зближення меридіану при зміні положення точки Q₂. Тоді сумарна поправка в обернений азимут визначиться формулою:

(2.6)

З урахуванням значень всіх складових кінцеві диференційні формули першого роду (2.1) для прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда отримуємо такими:

(2.7)

Формули (2.7) є спрощеними і забезпечують точність визначення поправок в 0,001" для віддалей у 40-50км [ з].

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку задачі з визначення диференціальних поправок за зміну вихідних координат є:

1. Геодезичні координати і азимути двох точок еліпсоїда- Q₁ і Q₂ ( табл.1.5).

Таблиця 2.1 – Вихідні дані

Геодезичні координати вихідної точки
	Числове значення	Формули переходу
B1	49°50'08,024"	+n'+5n"
L1	24°00'52,148"	+2n'+15n"
А12	154°27'41,324"	10n° +10n'
Геодезичні координати точки Q2
	Числове значення	Формули переходу
B2	49°35'50,916"	+n'+5n"
L2	24°11'21,862"	+2n'+15n"
А21	334°35'41,744"	10n° +10n'

2.Зміни широт довгот, азимута і довжини вихідної сторони у вихідному пункті Q₁ ( таблиця 2.2)

Таблиця 2.2 - Зміни координат

Зміни координат вихідної точки
	Числове значення		Формули переходу
dB1	2.364"		+0.5n"
dL1	0.895"		+1.5n"
dА12	1.482"		+1.0n"
dS12		2.567м		+ 2,0nм

3.Довжина вихідної сторони S₁₂ = 26690.090м.

Завдання: Розрахувати значення поправок в геодезичні координати точки Q₂ і обернений азимут у цій точці.