Тема 3.1. Загальні відомості про систему координат Гаусса-Крюгера

У вищій геодезії приймають, що фігурою Землі є загальний земний еліпсоїд відповідних розмірів, на поверхні якого положення точок визначається геодезичними координатами. Застосування цих координат в практиці розв’язування різноманітних геодезичних задач ускладнено, оскільки самі координати задаються кутовими одиницями виміру, лінійне значення яких залежить від широти; напрямки меридіанів, від яких відраховуються азимути не паралельні між собою; алгоритми обчислень – складні, оскільки базуються на громіздких формулах. Це спричинило до використання в геодезії і інженерно - геодезичній практиці системи плоских прямокутних координат.

Можливість використання плоских прямокутних координат в геодезичній практиці настає тільки тоді, коли отримують зображення еліпсоїда на площині. Дослідженнями встановлено, що перехід від еліптичної поверхні до плоскої не можливий без спотворень. Тому такий перехід здійснюють за певними законами, що отримали назву картографічних проекцій. Основна вимога, що ставиться до картографічних проекцій стосується умови однозначності зображення, яка, в загальному, визначається рівняннями

(3.1)

де геодезичні координати точки на поверхні еліпсоїда, а , - плоскі декартові координати цієї ж точки в проекції на площині.

Вид функцій і визначає не тільки закон відображення еліпсоїд на площині, але і встановлює характер спотворень у відповідній проекції. Доведено, що лінійні спотворення присутні у всіх картографічних проекціях, а спотворень кутів і площ можна уникнути підбором функцій і В геодезичній практиці найбільше поширення отримали рівнокутні ( конформні) проекції, що зберігають рівність кутів і, тим самим, забезпечують подібність відтворення фігур в нескінчено малій області довкруги точки.

З великої кількості рівнокутних картографічних проекцій в геодезичній практиці України використовують рівнокутну поперечно-циліндричну проекцію, яку в геодезичній літературі називають проекцією Гаусса-Крюгера. Ця проекція була розроблена визначним німецьким математиком і геодезистом К.Гауссом в 1820-1830 роках, а практичне розповсюдження отримала після розробки австрійським вченим Л.Крюгером робочих формул зручних для обчислень в 1912 – 1919 роках.

Суть цієї проекції проілюструємо на рисунку 18. Нехай земна куля, як вихідна поверхня для картографування, меридіанами поділена на 60 шести градусних зон. В кожній зоні виділяють середній меридіан, що отримав назву осьового меридіана зони. Проектування окремої зони на площину проводять так, щоб осьовий меридіан відобразився без лінійних спотворень у вигляді вертикальної прямої лінії, а екватор в границях зони – горизонтальною прямою лінією. Граничні меридіани зони відобразяться у проекції кривими, а масштаб зображення всієї зони буде більшим за одиницю, тобто лінійні спотворення у зоні будуть зростати від осьового меридіана до країв зони, і, тим самим, величина цих спотворень буде ограничена розмірами зони.

Зображення осьового меридіана зони і екватора в проекції утворюють в зоні дві взаємоперпендикулярні лінії, що дозволяє прийняти їх за осі плоскої декартової системи координат.

	Меридіани:
	граничні
	осьовий
	Екватор

Рис.18. Зона в проекції Гаусса-Крюгера

Перетин цих ліній утворює початок координат в границях зони і надає можливість визначати положення довільної точки в границях зони плоскими координатами х і у. Координати х і у називають зональними координатами на площині в проекції Гаусса-Крюгера. В кожній із 60-ти зон утворюється своя зональна система координат, початки якої будуть розміщені у відповідних зонах, а координатні осі будуть не паралельними до відповідних осей інших зон.

В границях зони координати х і у можуть мати різні знаки. Для території України знаки координати х будуть тільки додатними, оскільки вся територія України розміщена вище екватора, а координата у може мати різні знаки, розміри нашої території значно більші розміру зони. Щоб не користуватися від’ємними координатами у при створенні карт, початку координат у кожній зоні умовно присвоюють значення ординати рівне 500км.

В загальному, рівняння, що відображають закон побудови зображення точок на площині в проекції Гаусса-Крюгера запишеться так:

(3.2)

В (3.2) різниця довготи точки і довготи осьового меридіана зони, випрямлена дуга осьового меридіана зони, ізометрична широта точки.

До переваг проекції відносять:

1. Рівнокутність проекції, що свідчить про відсутність кутових спотворень в проекції і дозволяє отримувати подібні зображення нескінчено малих фігур. Ця характеристика свідчить і про те, що масштаб зображення в довільній точці є величиною постійною і не залежить від напрямку, по якому його визначають у даній точці.

2. Положення точки в проекції може бути визначено як прямокутними плоскими координатами х і у, так і геодезичними координатами B і L. Між цими системами координат встановлюється функціональна залежність, що дозволяє переобчислювати координати з одної системи у іншу.

3. Величина лінійних спотворень зростає від осьового до країв зони і не може бути як завгодно великою. В середніх широтах значення лінійної похибки на границі зони складає від 0.8м до 1.0м, що забезпечує точність картографування до масштабу 1:5000. Для більш великих масштабів застосовують проектування в трьохградусних зонах.