Тема 2.2. Диференційні формули першого роду для прямої геодезичної задачі в просторових системах координат
Мета роботи: Засвоїти суть диференційних формул першого роду для прямої геодезичної задачі що розв’язується в просторових системах координат, та методику використання цих формул для обчислення поправок в координати.
Завдання: Шляхом практичної реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення поправок в координати наступної точки, якщо змінилися координати, азимут і довжина лінії у вихідній точці.
Основні теоретичні положення
Теоретичні засади отримання диференційних формул для розв’язку прямої геодезичної задачі в просторових системах координат базуються на використанні формул зв’язку між геодезичними і просторовими геоцентричними координатами, що задаються формулами (1.72)
,
(
1.72)
а також формулами, що встановлюють зв'язок між просторовими топоцентричними координатами точки і її просторовими полярними координатами, що задаються формулами (1.73)
.
(1.73)
В загальному малі зміни просторових декартових і геодезичних координат довільної точки простору знаходяться між собою у такій залежності:
(2.8)
Диференцюючи (1.72) і підставляючи похідні у (2.8), отримаємо після перетворень:
(2.9)
Відомо, що суть прямої геодезичної задачі в просторових системах координат полягає у визначенні геодезичних координат наступної точки простору за відомими геодезичними координатами попередньої точки і відомими значеннями просторових полярних координат D,A,Z у цій точці.
У нашому випадку задача полягає у знаходженні поправок у геодезичні координати наступної точки за рахунок змін просторових полярних координат у попередній точці.
Нехай просторові полярні координати отримали зміни на величину dD12 , dA12, dZ12. Встановимо, як ці зміни вплинуть на геодезичні координати наступної точки, тобто визначаємо поправки в координати цієї точки dB2, dL2, dH2.
Зв'язок між змінам просторових полярних координат і поправками до геодезичних координат наступної точки встановлюють такі рівняння:
+
+
+
.
(2.10)
+
+
+ . (2.11)
(2.12)
У формулах (2.10),(2.11),(2.12) використані такі позначення:
,
,
(2.13)
Для обчислення коефіцієнтів за формулою (2.13) використовують геодезичні координати двох точок простору і різницю їх довгот, яку обчислюють за виразом l = L2 - L1.
Аналізуючи структуру формул (2.10), (2.11), (2.12) бачимо, що вирази при диференціалах геодезичних координат є коефіцієнтами, оскільки для двох заданих пунктів обчислюються за вихідними значеннями геодезичних і полярних координат. Тому, для скорочення запису, позначимо їх коефіцієнтами:
(2.14)
Окрім цього, введемо додатково ще такі позначення:
(2.15)
З урахуванням позначень (2.15) і (2.14) формули для обчислення поправок у геодезичні координати наступної точки простору запишемо так:
(2.16)
Формули (2.16) розв’язують поставлене завдання з визначення поправок у координати точки простору за зміну полярних координат у попередній точці.
Виконання роботи
Вихідні дані:
Вихідними даними для розв’язку задачі з визначення поправок в геодезичні координати точки Q2 за диференційними формулами першого роду у просторовій системі координат є:
просторові геодезичні координати початкової точки Q1 – геодезична широта B1, геодезична довгота L1 і геодезична висота Н1 ( таблиця 2.6), а також просторові полярні координати Z12,A12,D12, що визначать просторовий напрямок з вихідної точки на точку Q2:
Таблиця 2.6 – Вихідні дані в точці Q1
-
Геодезичні координати вихідної точки
Числове значення
Формули переходу
B1
49°50'08,024"
+n'+5n"
L1
24°00'52,148"
+2n'+15n"
H1
1254,000 м
+10n м
Просторові полярні координати
Числове значення
Формули переходу
Z12
92°11'34,726"
+n'+5n"
A12
154°27'41,328"
+2n'+15n"
D12
29354,657м
+10n м
просторові геодезичні координати точки Q2 (таблиця 2.7):
Таблиця 2.7
-
Геодезичні координати точки Q2
Числове значення
Формули переходу
B2
49°35'50,916"
+n'+5n"
L2
24°11'21,862"
+2n'+15n"
H2
198,204м
+10n м
зміни полярних координат у вихідній точці ( таблиця 2.8):
Таблиця 2.8
-
Зміни координат у точці Q1
Величини
Числове значення
ΔZ12
1.895"
ΔA12
5.482"
ΔD12
4.567м
Завдання: Розрахувати значення поправок до просторових геодезичних координат точки Q2.