Виконання роботи

Розв’язок сфероїдного трикутника способом аддітаментів

А	51,64481111
В	82,88003611
С	45,47550555
R	6381134,987
в	22178,453
Sв	0,045
в'	22178,408
a'	17526,996
c'	15934,983
Sа	0,022
Sс	0,017
a	17527,02
c	15935,00

2. Розв’язують за теоремою синусів сфероїдний трикутник як плоский, використовуючи вихідні значення всіх сферичних кутів А, В, С і розраховану довжину вихідної сторони в'. Знаходять дожини двох інших сторін а' і с' .

3. Для кожної із визначених сторін по формулі ( 1.25) визначають аддитамент Аа і Ас , використовуючи для цього розраховані довжини сторін а' і с'. За цими аддитаментами, на основі формул (1.24), обчислюють довжини сторін стероїдного трикутника а і с.

Точність обчислення – до 0,01м. Розв’язуємо за вихідними даними сфероїдний трикутник і отримаємо такі значення довжин сторін.

Оскільки ці два способи розв’язку є рівноцінними, то точність визначення довжин сторін повинна бути однаковою. За рахунок похибок заокруглень допускається розходження у результатах обчислень довжин сторін не більше як в 0,01м.

Контрольні запитання

1. Які трикутники на поверхні земного еліпсоїда називаються сфероїдними?

2. Скількома елементами характеризується сфероїдний трикутник?

3. Сформулюйте теорему Лежандра для розв’язку малих сфероїдних трикутників.

4. В чому суть методики розв’язку малих сфероїдних трикутників, розробленої на основі теореми Лежандра?

5. Вважаючи Землю кулею, обчислити сферичний надлишок для рівностороннього сферичного трикутника зі стороною 30км.

6. Що називають аддитаментом сторони?

7. Вважаючи Землю кулею, обчислити аддитамент сторони, довжиною 30км.

8. В чому суть методики розв’язку малих сфероїдних трикутників, розробленої на основі теорії способу аддитаментів?

9. Чи враховують сферичний надлишок при розв’язку малих сфероїдних трикутників за методикою, розробленою на основі теорії способу аддитаментів?

Тема 1.4. Розв’язок головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда

Тема 1.4.1. Розв’язок прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда із застосуванням допоміжної точки ( спосіб Шрейбера).

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення геодезичних координат кінцевої точки і значення оберненого азимута у цій точці.

Основні теоретичні положення

Поверхня земного еліпсоїда відтворює фігуру Землі, і тому на цю поверхню тим чи іншим способом проектуються ( в геодезії використовується термін – редукуються) всі геодезичні виміри, виконані на фізичній поверхні Землі, всі пункти геодезичної мережі. На основі цих редукованих даних необхідно визначити геодезичні координати всіх пунктів геодезичної мережі.

При розв’язку таких задач вважають, що для початкової точки мережі відомі значення геодезичних координат, відоме значення азимута із початкової точки на наступну точку мережі і відоме значення віддалі між цими точками. Нехай такою початковою точкою є точка Q₁ ( рис.5).

Прямою геодезичною задачею на поверхні еліпсоїда називають методику визначення геодезичних координат наступної точки мережі Q₂( рис.5), оберненого азимута у ній за відомими геодезичними координатами початкової ( чи попередньої) точки, відомим значенням азимута А₁₂ напрямку, що з’єднує ці точки і відомою довжиною геодезичної лінії між цими точками S₁₂.

В геодезичній практиці часто виникає необхідність у розв’язку оберненої геодезичної задачі.

Оберненою геодезичною задачею на поверхні еліпсоїда називають методику визначення за відомими геодезичними координатами двох точок Q₁ і Q₂ на поверхні еліпсоїда прямого А₁₂ і оберненого А₂₁ азимутів напрямку, що з’єднує ці точки, а також віддалі між ними S₁₂.

Одним із способів розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда є спосіб розв’язку за допомогою допоміжної точки, запропонований австрійським ученим-геодезистом Шрейбером. Його суть полягає у тому, що точка Q₂, координати якої необхідно визначити, проектується на меридіан вихідної точки у точку Q₀ (рис.5). Розв’язок задачі, у цьому випадку, здійснюють за таким алгоритмом:

1. Розв’язують прямокутний сфероїдний трикутник Q₁ Q₀ Q₂ і за цим розв’язком визначають довжини сторін Q₁ Q₀ і Q₀ Q₂.

2. Визначають геодезичну широту В₀ допоміжної точки Q₀.

3. З розв’язку сфероїдного трикутника Q₀ Р Q₂ визначають різницю довгот l і зближення меридіанів t у точці Q₂. За різницею довгот l і відомим значенням геодезичної довготи вихідної точки розраховують геодезичну довготу точки Q₂.

4. Для прямокутного сфероїдного трикутника Q₁ Q₀ Q₂ визначають сферичний

надлишок ε, і за його значенням з урахуванням значення зближення меридіанів t у точці Q₂, обчислюють значення оберненого азимута в точціQ₂.

5. Розраховують різницю широт d допоміжної точки Q₀ і точки Q₂. За цим значенням і за відомим значенням широти В0 допоміжної точки обчислюють геодезичну широту точки Q₂.

Реалізацію цього алгоритму за допомогою відповідних формул розглянемо одночасно з розглядом алгоритму розв’язку поставленого в роботі завдання.

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда є: геодезичні координати початкової точки Q₁ – геодезична широта B₁ і геодезична довгота L₁ ( таблиця 4.1); геодезичний азимут напрямку з точки Q₁ на точку Q₂ – А₁₂ ; довжина геодезичної лінії, що з’єднує точку Q₁ з точкою Q₂ – S₁₂.

Таблиця 1.3 - Дані для розв’язку прямої геодезичної задачі

Назва вихідних Вихідні дані Формули переходу до

даних індивідуальних даних

В₁ 56°11'22.738" + (1*n)'+ (10*n)"

L₁ 49°55'07.449" - (1*n)'- (10*n)"

A₁₂ 45°28'31.817" +(10*n)+(10*n)'+(10*n)"

S₁₂ 26690.090м +(100*n)м+(10*n)см

Завдання: Розрахувати значення геодезичних координат наступної точки і значення оберненого азимута у цій точці шляхом розв’язку прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки.

Алгоритм розв’язку завдання

Розглянемо розв’язок поставленого завдання за вищенаведеним алгоритмом.

1. Розв’язок прямокутного сфероїдного трикутника Q₁ Q₀ Q₂ (рис.5).

Рис.5 До розв’язку сфероїдного трикутника

Метою розв’язку є визначення у прямокутному сфероїдному трикутнику Q₁ Q₀ Q₂ довжин сторін Q₁ Q₀ і Q₀ Q₂. Для цього використовуємо формули:

і = . (1.26)

В (1.26) використані такі позначення:

,

(1.27)

де R – середній радіус кривини еліпсоїда у точці з широтою B₁, що обчислюється за формулою .

Реалізацію алгоритму, основаного на використанні формул (1.26), розглянемо на прикладі.

Елементи формул Значення

2. Визначення геодезичної широти В₀ допоміжної точки Q₀.

В теорії розв’язку геодезичної широти В₀ у прямої геодезичної задачі цим способом виводиться формула для визначення приростку широти між вихідною точкою Q₁ і допоміжною точкою Q₀. Ця формула записується так:

(1.28)

Нижні індекси при тих чи інших елементах у формулі (1.28) означають, що відповідні елементи обчислюються за відповідними формулами, з використанням вихідної геодезичної широти B₁. У (1.28) використано також позначення першої стероїдної функції широти

.

При визначенні геодезичної широти В₀ допоміжної точки Q₀ враховують те, що ця допоміжна точка знаходиться на меридіані вихідної точки Q₁. Тоді для обчислення геодезичної широти В₀ використовують залежність:

В₀ = B₁ + b₀ (1.29)

3. Визначення різниці довгот l точок Q₁ і Q₂ та зближення меридіанів t у точці Q₂. Для розв’язку поставленої задачі зробимо додаткову побудову ( рис.6). За відомим значенням широти допоміжної точки Q₀ розраховують значення радіуса кривини першого вертикала у цій точці N₀, і цим радіусом описують допоміжну сферу, на яку способом центрального проектування з точки Т проектують всі елементи стероїдного трикутника Q₁РQ₂. Отримують сферичний трикутник Q₀P₀Q₂'. Особливістю способу центрального проектування є збереження рівності кутових елементів трикутників. Це означає, що кут при вершині Р у сфероїдному трикутнику, який є різницею довгот l точок Q₁ і Q₂ буде рівний куту при вершині P₀ у сферичному трикутнику Q₀P₀Q₂'. Це ж положення відноситься і двох інших кутів, а саме кута в 90° при вершині Q₀ і кута при вершині Q₂ - 90-t. Що стосується сторін, то їх довжини передаються зі спотвореннями, за винятком сторони Q₀Р і відповідної сторони на сфері - Q₀P₀, значення яких буде однаковим, оскільки цим сторонам відповідає один і то же центральний кут у точці Т.

Таким чином, розв’язок поставленої задачі зводиться до визначення пошукуваних величин із розв’язку прямокутного сферичного трикутника Q₀P₀Q₂' . Сторону цього трикутника Q₀Q₂', позначену як с, визначаємо за формулою

= , (1.30)

використовуючи одне із рівнянь (1.26).

За правилом Непера розв’язку прямокутних сферичних трикутників знаходимо:

,

(1.31)

При розв’язку геодезичних побудов величини , і с є величинами малими, що дозволяє застосувати розклад їх функцій в ряди.

Рис.6 До визначення різниці довгот і зближення меридіанів

Після деяких перетворень отримують:

,

) . (1.32)

В (1.32) використані такі позначення:

,

. (1.33)

Знаючи різницю довгот точок Q₁ і Q₂ , обчислюють геодезичну довготу точки Q₂ .

.

Виконаємо обчислення числового прикладу за розглянутим алгоритмом.

4. Обчислення значення оберненого азимута в точці Q₂.

Значення оберненого азимута в точці Q₂ визначаємо на основі розв’язку прямокутного сферичного трикутника Q₁Q₀Q₂. Для цього розглянемо рисунок 7. На основі нього встановимо, що обернений азимут А₂₁ може бути визначений з такого рівняння:

.

Рис.7 До визначення оберненого азимута

В цьому рівнянні t – зближення меридіанів у точці Q₂, а х – невідомий кут у прямокутному сферичному трикутнику Q₁Q₀Q₂ в цій же точці. Для визначення цього невідомого кута запишемо

,

де - сферичний надлишок трикутника Q₁Q₀Q₂.

Тоді для визначення оберненого азимута у точці Q₂ використовуємо рівняння:

(1.34)

В формулі (1.34) зближення меридіанів визначається за формулою (1.32), а для обчислення сферичного надлишку застосовують формулу:

(1.35)

Виконаємо обчислення числового прикладу за розглянутим алгоритмом.

Визначення оберненого азимута
Елементи і	Розраховані значення
складові формул	елементів
A₁₂	0,79369729
c"	613,9360967
b₀"	605,0975095
ε"	0,900520089
t"	922,5633119
А₂₁	3,939758291
А₂₁	225° 43' 53,480"

5. Обчислення значення геодезичної широти точки Q₂.

При обчисленні широти точки Q₂ виходять із того, що ця точка і допоміжна точка Q₀ розміщені майже на одній паралелі, і тому різниця широт між ними d є величиною малою. На першому кроці цього розв’язку знаходять різницю широт точок Q₀ і Q₂' ( рис.6) d₀ = B₀ - B₂'. Для цього, за правилом Непера, розв’язують на сфері радіуса N₀ прямокутний сферичний трикутник Q₀P₀Q₂'. Після визначення d₀ встановлюють функціональний зв’язок між відповідними елементами сфери і еліпсоїда, Ставлять вимогу щоб дуга меридіана на сфері, що відповідає різниці широт d₀ була рівною дузі меридіана на еліпсоїді, що відповідає різниці широт d. Математично ця умова записується так:

. (1.36)

Звідси різниця геодезичних широт d точок Q₀ і Q₂ визначається за формулою:

) . (1.37)

В (1.37) допоміжні величини с, λ і τ обчислюють за формулами (1.30) і (1.33).

За визначеною різницею широт і відомим значенням геодезичної широти В₀ допоміжної точки Q₀ обчислюють значення широти точки Q_2.. Маємо:

. (1.38)

Таким чином розв’язують пряму геодезичну задачу способом допоміжної точки з визначення координат точки Q₂ і оберненого азимута у ній.

Розглянемо приклад обчислення геодезичної широти точки Q_2.

.Тема 1.4.2. Розв’язок прямої геодезичної задачі за середніми аргументами

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда із застосуванням середніх значень геодезичної широти і азимута ( спосіб Гаусса).

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення геодезичних координат кінцевої точки і значення оберненого азимута у цій точці.

Основні теоретичні положення

Відомо, що пряма геодезична задача вважається розв’язаною, якщо будуть визначені між відповідними точками еліпсоїда приростки геодезичних координат і азимута.

Розглянемо розв’язок поставленої задачі за таким алгоритмом:

1. Отримаємо розв’язок задачі на сфері довільного радіуса.

2. Встановлюємо функціональний зв’язок між елементамисфери і відповідними елементами еліпсоїда.

3. Знаходимо розв’язок задачі на еліпсоїді.

Розв’язок задачі на сфері довільного радіуса

Нехай на сфері довільного радіуса задано сферичний трикутник АВС ( рис.8). Приймемо, що в цьому трикутнику елементами є: три кути - А.В, і С, і тири сторони – а,b і с. Виконаємо розв’язок трикутника АВС за формулами Гаусса-Деламбра. Запишемо основні рівняння:

(1.39)

Пристосуємо ці формули до розв’язку прямої геодезичної задачі. Нехай сферичні координати вершини С – широта φ₁ і довгота λ₁ , вершини В – φ₂ і λ₂ . а орієнтуючі кути в цих вершинах відповідно - α₁₂ і α₂₁ . Тоді кут при вершині А в цьому трикутнику буде дорівнювати різниці сферичних довгот Δλ, сторона СА = 90-φ₁ , а сторона ВА = 90- φ₂ . З цими сферичними величинами елементи формул (5.1) приймуть такі значення: ; ; ; і , де і - середні значення відповідно сферичної широти і орієнтуючого кута, а Δφ, Δλ і Δα – приростки сферичної широти, довготи і орієнтуючого кута.

За цими даними отримаємо розв’язок прямої геодезичної задачі на сфері. Знаходимо для приростків координат і орієнтуючого кута такі вирази:

,

,

(1.40)

Встановлення функціонального зв’язку між елементами

сфери і відповідними елементами еліпсоїда

Припустимо, що нам відоме значення середньої геодезичної широти між заданими точками на поверхні еліпсоїда Q₁ і Q₂ - В_m і за цим значенням широти обчислено значення радіуса кривини еліпсоїда – N_m . Окреслимо цим радіусом геоцентричну сферу ( рис.9) і спроектуємо на поверхню цієї сфери сферичний трикутник АВС способом центрального проектування так, щоб точці Q₁ еліпсоїда відповідала точка С сфери, точці Q₂ – точка В сфери, точці Р – точка А сфери.

З теорії центрального проектування відомо, що при переході з одної поверхні на іншу зберігається рівність кутів у фігурах, які перепроектовуються. Це означає, що кути трикутника АВС будуть рівні кутам трикутника Q₁РQ₂ , тобто α₁₂ = А₁₂ , 360°-α₂₁ = 360°- А₂₁ , Δλ = а також Окрім цього, за умовою побудови допоміжної сфери радіуса Nm встановлюємо, що φm = Вm.

Виходячи з цих залежностей, отримуємо:

Δα = α₂₁ - (α₁₂ + 180°) = а = А₂₁ - (А₁₂ +180°)

і αm = Аm. (1.41)

Щоб встановити функціональний зв’язок між різницею широт на сфері Δφ і на еліпсоїді b поставимо вимогу рівності елементарних дуг меридіана на сфері, що відповідає різниці широт Δφ, і елементарної дуги меридіана на еліпсоїді, що відповідає різниці широт b. Математично ця умово записується так:

. (1.42)

Залежність між довжиною сторони Q₁Q₂ = S₁₂ на еліпсоїді довжиною сторони СВ = σ₁₂ на сфері встановлюють рівнянням:

. (1.43)

Розв’язок задачі на еліпсоїді

Розв’язок задачі на еліпсоїді базується на формулах розв’язку задачі на сфері (1.40) і на залежностях між елементами сфери та еліпсоїда, що визначаються умовами (1.41),(1.42),(1.43). Замінюючи у (1.40) сферичні елементи трикутника на еліпсоїдальні, отримуємо:

). (1.44)

Тоді, геодезичні координати точки Q₂ і обернений азимут в цій точці будуть визначатися з формул:

(1.45)

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда є: геодезичні координати початкової точки Q₁ – геодезична широта B₁ і геодезична довгота L₁ ( таблиця 1.3); геодезичний азимут напрямку з точки Q₁ на точку Q₂ – А₁₂ ; довжина геодезичної лінії, що з’єднує точку Q₁ з точкою Q₂ – S₁₂.

Завдання: Розрахувати значення геодезичних координат наступної точки Q₂ і значення оберненого азимута у цій точці шляхом розв’язку прямої геодезичної задачі за середніми аргументами Вm і Аm.

Алгоритм розв’язку завдання

Аналіз формул (1.44) розв’язку прямої геодезичної задачі свідчить про те, що безпосередньо визначити приростки координат і азимута за ними неможливо, оскільки на початку розв’язку невідомими є середні значення широт і азимута . Тому використання цього способу для розв’язку прямої геодезичної задачі можливе шляхом застосування методики послідовних наближень. Розглянемо послідовність дій за цією методикою.

1. Перше наближення. Приймають, що у першому наближенні середнє значення широти дорівнює геодезичній широті першої точки, тобто B₁, а середнє значення азимута дорівнює вихідному азимуту А₁₂, тобто А₁₂. З цими даними обчислюють приростки координат і азимута за спрощеними формулами, отриманими на основі (1.44). Маємо:

(1.46)

.

Розглянемо приклад розв’зку за вихідними даними.

Розв'язок задачі у першому наближенні
Елементи	Отримані
формул	розв'язки
а	6378245
e²	0,0066934
В₁	56,18964944
A₁₂	45,47550472
S₁₂	26690,090
Mm	6379721,914
Nm	6393032,919
b"	605,096
l"	1103,329
a"	916,7382

2. Друге наближення. Розраховують для другого наближення значення геодезичної широти

B₁+ b"/2

і А₁₂ + a"/2 . (1.47)

З цими значеннями середніх аргументів здійснюють обчислення приростків координат і азимута за повними формулами (1.44). Отримують:

Третє і наступні наближення виконують за наступною методикою. Розраховують за формулами (1.47) значення середньої широти і середнього азимута, використовуючи для цього приростки координати b" і азимута a" з попереднього наближення. За цими даними, по формулах (1.44), обчислюють приростки координат і азимута. За даними прикладу знаходимо.

Ітерації завершують, коли різниця у приростках координат і азимута у двох суміжних наближеннях не перевищує наперед заданої величини, наприклад 0,01".

Отримавши кінцеві значення приростків координат, приступають до визначення координат і оберненого азимута за формулами:

B₂ = B₁ + b,

L₂ = L₁ + l,

A₂₁ = A₁₂ +180°+a. (1.48)

За значеннями приростків координат і азимута, отриманих у третьому наближенні, на основі (1.48),отримуємо:

B₂ = 56° 21' 26,451",

L₂ = 50° 13' 35,617",

A₂₁ = 225° 43' 53,480".

Тема 1.4.3. Розв’язок оберненої геодезичної задачі за середніми аргументами

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда із застосуванням середніх значень геодезичної широти і азимута.

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення прямого і оберненого азимута лінії, що з’єднує дві точки на поверхні еліпсоїда і довжину геодезичної лінії між ними.

Основні теоретичні положення

Оберненою геодезичною задачею на поверхні еліпсоїда називають методику визначення прямого та оберненого азимутів геодезичної лінії, що з’єднує дві точки на поверхні еліпсоїда і її довжини за відомими геодезичними координатами цих точок.

Розглянемо теорію розв’язку цієї задачі на основі формул (1.44) розв’язку прямої геодезичної задачі за середніми аргументами.

Нехай на поверхні еліпсоїда задано точки Q₁ і Q₂ (рис.10) їх геодезичними координатами – широтою В і довготою L.

За відомими геодезичними координатами цих точок обчислюємо їх різниці, а також середнє значення широти. Маємо:

,

,

(1.49)

Співставляючи перші два рівняння (1.44) з даними, отриманими за (1.49) бачимо, що у правій і лівій частинах цих рівнянь відомими будуть всі складові за винятком добутків і . Визначимо з (1.44) ці добутки. Знаходимо:

= R,

= P. (1.50)

Права частина формул (1.50) повністю визначається за даними (1.49), тому для спрощення подальшого використання цих частин їх позначають довільними символами, наприклад літерами R і P.

Поділивши друге рівняння з (1.50) на перше, отримаємо:

(1.51)

Формула (1.51) дозволяє обчислити табличне значення середнього азимута .

Відомо, що всякий азимут є орієнтуючим кутом, який може приймати значення від 0° до 360°. Тому визначене значення азимута за формулою (1.51) без урахування знаків величин R і P, є тільки табличним значенням азимута в границях від 0° до 90°. Відрахованим від найближчого кінця меридіану. Щоб правильно розрахувати азимут необхідно встановити напрямок лінії, тобто четверть у якій знаходиться лінія. Для цього використовують знаки приростів координат і . Додатній знак для приросту свідчить, що точка Q₂ розміщена на північ від точки Q₁ ( ), а від’ємний знак – про розміщення точки Q₂ на південь від точки Q₁ ( ). Знак приросту довготи дозволяє встановити розміщення точки Q₂ відносно меридіана точки Q₁: додатній знак відповідає розміщення точки Q₂ на схід, а від’ємний знак – про розміщення точки Q₂ на захід від меридіана точки Q₁. Якщо, наприклад, приріст широти від’ємний ( відповідає знаку величини R) , а приріст довготи додатній ( відповідає знаку величини Р) , то напрям лінії знаходиться у південно-східній четверті, і середній азимут необхідно обчислювати за формулою

значення середнього азимута визначають віддаль між точками Q₁ і Q₂ на еліпсоїді, використовуючи формули (1.50). Знаходимо:

= = (1.52)

Щоб обчислити прямий та обернений азимути лінії, що з’єднує точки Q₁ і Q₂ на еліпсоїді використовують формули:

і (1.53)

Виконання роботи

Вихідні дані: На поверхні еліпсоїда задано геодезичні координати двох точок.

Таблиця 1.4 – Геодезичні координати точок

Назва точок	Геодезична широта		Геодезична довгота
	Значення	Формули переходу	Значення	Формули переходу
Q1	56° 11' 22,738"	+n'+5n"	49° 55' 07,449"	+n'+5n"
Q2	56° 21' 26,451"	+5n'+15n"	50° 13' 35,617"	+5n'+15n"

Завдання: Розрахувати значення прямого і оберненого геодезичних азимутів лінії, що з’єднує на еліпсоїді точки Q₁ і Q_2. і значення довжини лінії між цими точками.

Алгоритм розв’язку завдання

Розглянемо алгоритм розв’язку завдання, що складається з двох з двох складових частин.У першій складовій розглянемо методику визначення середнього значення азимута напрямку і віддалі між точками. Для цього за формулами (1.50) розраховують допоміжні величини P і R і за допомогою їх визначають за (1.51) табличне значення середнього азимута. Віддаль між точками обчислюємо за формулою (1.52).

За вихідними даними знаходимо.

Визначення віддалі і середнього азимута

a	6378245
e²	0,0066934
b	603,713
l	1108,168
Bm	0,98215783
Mm	6379808,943
Nm	6393061,989
P	19070,47291
Q	18672,89529
AmT	0,795931957
Am	45,6035147
S₁₂	26690,07223
S₁₂	26690,07223
S₁₂	26690,07223

Друга складова частина розв’язку оберненої геодезичної задачі цим способом стосується обчислення прямого і оберненого азимутів.

Розв’язок починають з обчислення допоміжних величин P і R за формулами (1.50), враховуючи те, що прирости широти і довготи мають додатні знаки. Це означає, що лінія з точки Q₁ на точку Q₂ розміщена у північно-східній четверті, і тому А_m = А_mT.

Щоб розрахувати прямий і обернений азимути лінії Q₁Q₂ поступають так.

За формулою (1.44) обчислюють приріст азимута а, використовуючи середній азимут А_m.

). (1.44)

За визначеним приростом азимута а, на основі формул (1.53) розраховують значення прямого і оберненого азимутів зазначеної лінії.

Розв’язок оберненої геодезичної задачі за розглянутою методикою забезпечує належну точність визначення пошукуваних величин.

Тема 1.4.4. Розв’язок прямої геодезичної задачі шляхом чисельного інтегрування диференційних рівнянь геодезичної лінії ( спосіб Рунге-Кутта)

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда із застосуванням чисельного інтегрування диференційних рівнянь геодезичної лінії ( спосіб Рунге-Кутта).

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі засвоїти методику розв’язку задачі і отримати значення геодезичних координат кінцевої точки і значення оберненого азимута у цій точці.

Основні теоретичні положення

Відомо, що безпосередній спосіб розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда базується на формулах:

(1.54)

Інтеграли, що входять у наведені формули отримали назву еліптичних інтегралів. Аналіз (1.54) показує, що підінтегральні вирази характеризують зміну відповідних приростів координат і азимуту на шляху інтегрування від s = 0 до s=s при зміні широт і азимутів на кожному кроці цієї лінії. Якщо вважати віддаль s кроком інтегрування, то підінтегральний вираз, що служить для обчислення приростів координат і азимута можна представити функцією двох змінних - геодезичної широти В і геодезичного азимута А, тобто

(1.55)

Найбільш ефективним шляхом обчислення означених інтегралів із (1.54) при розв’язку прямих геодезичних задач є метод Рунге-Кутта, що використовує при чисельному інтегруванні диференційних рівнянь виду (1.55) розклад функції в ряд Тейлора за степенями h, що дорівнюють кроку інтегрування, до четвертого порядку.

Метод Рунге-Кутта належить до багатокрокових одноточкових способів чисельного інтегрування. Термін «багатокрокове одноточкове чисельне інтегрування» означає, що функція, наприклад (1.55), обчислюється у рівновіддалених проміжних точках інтервалу [0,S] і на кожному кроці інтегрування за вихідні значення аргументів приймають ті, що були отримані на попередній стадії обчислень. В роботі С.Г.Савчука [ ] доказано, що при довжині геодезичних ліній до 100 км можна використовувати однокрокове інтегрування ( h = s ), допускаючи при цьому похибки у визначенні координат і азимута в границях від 2 10^-6 до 8 10^-6".

Розв’язок прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда за формулами способу Рунге-Кутта отримують у виді:

(1.56)

Складові визначають за формулами:

(1.57)

В (1.57) h – крок інтегрування, - функції, що дозволяють визначати прирости геодезичної широти, довготи і азимута на різних стадіях обчислень.

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку прямої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда способом Рунге-Кута є: геодезичні координати початкової точки Q₁ – геодезична широта B₁ і геодезична довгота L₁ ( таблиця 1.3),

геодезичний азимут напрямку з точки Q₁ на точку Q₂ - і довжина геодезичної лінії на поверхні еліпсоїда, що з’єднує ці токи - S₁₂.

Таблиця 1.5 – Дані для розв’язку прямої геодезичної задачі

Завдання: Розрахувати значення геодезичних координат наступної точки і значення оберненого азимута у цій точці шляхом розв’язку прямої геодезичної задачі способом Рунге-Кута.

Алгоритм розв’язку завдання

Розв’язок поставленої задачі виконаємо на основі формул(1.56) і (1.57). Їх аналіз показує, що складові формул k необхідно обчислювати шляхом чотирьох послідовних стадій обчислень.

Перша стадія обчислень. Функції з (1.57) отримують для кожного виду на основі диференційних рівнянь геодезичної лінії для кожного виду коефіцієнтів k. Записуємо:

(1.58)

На основі вихідних даних ( табл.1.3), формул (1.59) і (1.58) визначають такі числові значення коефіцієнтів k .

Значення коефіцієнтів k на першій стадії обчислень.

В₁	56,18964944
A₁₂	45,47550472
а	6378245
e²	0,0066934
M₁	6379721,914
N₁	6393032,919
S₁₂	26690,09
	605,096
	1103,329
	916,738

Друга стадія обчислень. На цій стадії значення коефіцієнтів k визначають на основі другого рівняння з формул (1.57). Прийнявши крок інтегрування , і розрахувавши нові значення широти

В₁^І =

і азимута А₁₂^І = , (1.60)

обчислюють значення коефіцієнтів k₂^В, k₂^L, k₂^A. Для цього використовують формули (1.58) і (1.59) та значення широт і азимутів, визначених за формулами (1.60). В результаті отримують значення коефіцієнтів k на другій стадії обчислень.

Значення коефіцієнтів k на другій стадії обчислень .

Третя стадія обчислень. Ця стадія обчислень передбачає визначення коефіцієнтів k₃^В, k₃^L, k₃^A.Вихідною формулою для цих визначень є третє рівняння із (1.57). Для практичної реалізації цього рівняння попередньо визначають значення широти і азимута на цій стадії обчислень.

По аналогії з (1.60), запишемо:

В₁^ІІ =

А₁₂^ІІ = . (1.61)

З цими значеннями широти і азимута, на основі формул (1.58) і (1.59), розраховують значення коефіцієнтів k₃^В, k₃^L, k₃^A. З цими значеннями широти і азимута, на основі формул (1.58) і (1.59), розраховують значення коефіцієнтів k₃^В, k₃^L, k₃^A.

Значення коефіцієнтів k на третій стадії обчислень.

Елементи Отримані

формул розв’язки

Четверта стадія обчислень. На останньому кроці розв’язку прямої геодезичної задачі цим способом для визначення коефіцієнтів k₄^В, k₄^L, k₄^A використовують четверте рівняння формули (1.57). Обчислюють нові значення широти і азимута за формулами

В₁^ІІІ =

А₁₂^ІІІ = , (1.62)

і на основі формул (1.58) і (1.59) розраховують значення коефіцієнтів k₄^В, k₄^L, k₄^A.

Значення коефіцієнтів k на четвертій стадії обчислень

Елементи Отримані

формул розв’язки

Всі значення коефіцієнтів k , розрахованих на чотирьох стадіях обчислень, підставляють у формули (1.56) і визначають кінцеві значення широт, довгот і азимутів кінцевої точки.

Отримують:

В₂ = 56° 11' 22,738"+ 603,713" = 56° 21' 26,451",

L₂ = 49° 55' 07,449"+ 1108,168"= 50° 13' 35,617",

A₂₁= 45° 28' 31,817"+ 921,662" = 225° 43' 53,479".

Тема 1.4.5. Розв’язок оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда за формулами способу Рунге-Кутта

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда із застосуванням формул і алгоритму способу Рунге-Кутта..

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення прямого і оберненого азимута лінії, що з’єднує дві точки на поверхні еліпсоїда і довжину геодезичної лінії між ними.

Основні теоретичні положення

За умовою оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда вихідними відомими величинами є геодезичні координати двох точок. Нехай нам відомі геодезичні широти В₁ і В₂ точок еліпсоїда Q₁ і Q₂ і їх геодезичні довготи L₁ і L₂. За цими даними обчислюють різниці відповідних координат ΔВ і ΔL.

Отримаємо розв’язок поставленої задачі у першому наближенні на поверхні сфери ( рис.11).

Рис.11 Розв’язок задачі на сфері

Нехай точкам Q₁ і Q₂ еліпсоїда відповідають на сфері точки Q₁^' і Q₂^', азимут цього напрямку на сфері А₁₂^', а віддаль між ними - σ₁₂ . За теоремою для чотирьох елементів трикутника Q₁^'Р Q₂^' знаходимо:

(1.63)

Введемо позначення для чисельника і знаменника у (1.63).

,

. (1.64)

Тоді значення азимута напрямку визначиться формулою:

(1.65)

Оскільки азимут може приймати значення в границях від 0° до 360°, то необхідно врахувати, що безпосереднє використання формули (1.65) дозволяє визначати тільки табличне значення орієнтуючого кута лінії , відраховане від найближчого кінця меридіана. Встановлення четверті, до якої відноситься напрямок лінії, здійснюють за знаками приростів координат ΔВ і ΔL і, відповідно, за відомими формулами зв’язку переходять від табличних кутів до азимутів.

Виконаємо розв’язок сферичного трикутника Q₁^'Р Q₂^' за теоремою синусів і теоремою п’яти елементів. З отриманих рівнянь знаходимо формулу для обчислення сферичної відстані між точками Q₁^' і Q₂^' - σ₁₂ . Маємо:

. (1.66)

Приймемо, що сфера, на якій побудовано сферичний трикутник, має радіус а, що відповідає великій півосі референц-еліпсоїда. Тоді, у першому наближенні довжина сторони на еліпсоїді буде визначатися формулою

(1.67)

Отримані у першому наближенні значення прямого азимута і віддалі разом з геодезичними координатами початкової точки В₁ і L₁, дають можливість розв’язати на поверхні еліпсоїда пряму геодезичну задачу між точками Q₁ і Q₂ довільними способами, і отримати у першому наближенні значення геодезичних координат точки Q₂ - В₂^' і L₂^' , а також приблизне значення оберненого азимута .

Отримані у першому наближенні значення геодезичних координат точки Q₂ - В₂^' і L₂^' порівнюються з точними вихідними значеннями цих координат. З цих порівнянь отримують у першому наближенні різниці ΔВ^І і ΔL^І. Знаходимо:

,

(1.68)

Ці різниці свідчать про те, що взяті для розв’язування прямої геодезичної задачі значення прямого азимута і віддалі є помилковими і вимагають уточнення. Поправки, що уточнюють значення прямого азимута і віддалі розраховують за диференційними формулами першого роду для оберненої геодезичної задачі [ ]. Запишемо:

(1.69)

В (1.69) m – приведена довжина геодезичної лінії, що обчислюється за формулою

(1.70)

де - є середнім радіусом кривини еліпсоїда в точці Q₂; M₂ і N₂ – радіуси кривини меридіана і першого вертикала, обчислені за широтою точки Q₂; - значення оберненого азимута у точці Q₂, який можна визначати з виразу

За розрахованими поправками і визначають уточнені значення віддалі і прямого азимута: і , що дозволяє за цими даними повторно розв’язати пряму геодезичну задачу між точками Q₁ і Q₂ на еліпсоїді і отримати нові значення геодезичних координат точки Q₂ і оберненого азимута в цій точці у другому наближенні. Такі ітерації за розглянутим алгоритмом проводять до того часу, поки обчислені координати точки Q₂ і її задані координати не будуть сходитись з установленою точністю.

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку оберненої геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда способом Рунге-Кута є: геодезичні координати початкової точки Q₁ – геодезична широта B₁ і геодезична довгота L₁ ( таблиця 1.4), геодезичні координати кінцевої точки Q₂ - геодезична широта B₂ і геодезична довгота L₂.

Таблиця 1.4 – Геодезичні координати точок

Назва точок	Геодезична широта			Геодезична довгота
	Значення	Формули переходу	Значення		Формули переходу
Q1	56° 11' 22,738"	+n'+5n"	49° 55' 07,449"		+n'+5n"
Q2	56° 21' 26,451"	+5n'+15n"	50° 13' 35,617"		+5n'+15n"

Завдання: Розрахувати значення прямого і оберненого геодезичних азимутів лінії, що з’єднує на еліпсоїді точки Q₁ і Q_2. і значення довжини лінії між цими точками.

Алгоритм розв’язку завдання

З метою визначення на поверхні допоміжної сфери прямого азимута лінії Q₁ Q_{2 -} і віддалі використовуємо формули (1.63 – 1.66). Для реалізації цих формул знаходимо різниці вихідних геодезичних координат

,

(1.71)

Використовуючи дані числового прикладу ( таб.1.4), знаходимо на першому кроці розв’язку.

Перший крок розв’язку

В₁	56,18964944
В₂	56,3573475
L₁	49,91873583
L₂	50,22656028
l	0,307824447
x	0,002933522
y	0,00297644
A'₁₂	45,41606851
A'₁₂	45° 24' 57,847"
σ₁₂	0,004179097
S'₁₂	26655,30333

Для правильного обчислення азимута за формулою (1.65) необхідно врахувати знаки приростів координат ΔВ і ΔL і правильно встановити четверть, у якій розміщено лінія Q₁ Q_2.

Отримавши приблизні значення азимута лінії та її довжини S'₁₂, приступають до розв’язку прямої геодезичної задачі з метою визначення геодезичних координат точки Q₂ і оберненого азимута в цій точці.

Оберемо для цього методику розв’язку прямої геодезичної задачі за формулами з використанням середніх аргументів.

Таким чином у першому наближенні отримуємо:

Перше наближення

При розв’язку прямої геодезичної задачі у першому наближенні цим способом приймаємо, що середній азимут напрямку дорівнює визначеному значенню азимута цієї лінії, тобто А_т = , середнє значення широти обчислюється як середнє арифметичне із вихідних значень геодезичних широт двох точок, а різницю приростів координат обчислюють за формулою (1.71).

Розв’язок завдання у першому наближенні дозволив отримати значення геодезичних координат точки Q₂, порівняти їх з вихідними значеннями координат цієї точки, і за формулою (1.68) отримати різниці координат, які характеризують ступінь помилковості прямого азимута і віддалі , прийнятих для розв’язку задачі

Ці різниці використовуємо для розрахунку поправок, що уточнюють значення прямого азимута і віддалі за формулами (1.69).

Знаходимо за результатами першого наближення.

Розрахунок поправок ΔА і ΔL

S'₁₂	26655,30333
а	6378245
e²	0,0066934
В₂	56,3573475
A'₂₁	225,4160685
ΔB	-0,000340229
ΔL	0,001387685
M₂	6379895,868
N₂	6393091,024
R	6386490,038
m	26655,22594
ΔA1	0,187432081
ΔS1	34,50299042
A₁₂2	45,60350059
S₁₂2	26689,80632

При реалізації алгоритму обчислення поправок ΔA¹ і ΔS¹ у першому наближенні значення азимуту A'₂₁ визначають з залежності A'₂₁ = , а радіуси кривини меридіана M₂ і першого вертикала N₂ розраховують за відомими формулами за широтою другої точки - В₂. Для визначення приведеної довжини геодезичної лінії m використовують формулу (1.70).

Поправками ΔА^І і ΔS^І уточнюють значення прямого азимута і віддалі , прийнятих для розв’язку прямої геодезичної задачі у першому наближенні, отримують нове значення азимуту напрямку з точки Q₁ на точку Q₂ - A₁₂² і нове значення віддалі між цими точками - S₁₂², і з оновленими значеннями цих величин повторно розв’язують пряму геодезичну задачу між точками Q₁ і Q_2.

У другому наближенні знову використовуємо алгоритм розв’язку прямої геодезичної задачі з використанням середніх аргументів. Приймаємо, що середній азимут напрямку Am = A₁₂². Тоді, з тими ж значеннями приростів широти b і довготи l , що і першому наближенні, і з тим же значенням середньої широти Вm, проводимо обчислення геодезичних координат другої точки лінії.

В другому наближенні отримуємо.

Друге наближення

Результатом розв’язку прямої геодезичної задачі у другому наближенні є геодезичні координати кінцевої точки. Порівнюючи їх з вихідними координатами цієї ж точки, знаходимо у другому наближенні різницю геодезичної широти ΔB^ІІ і геодезичної довготи ΔL^ІІ.

Ці різниці знову використовуємо для розрахунку поправок, що уточнюють значення прямого азимута і віддалі за формулами (1.69).

Знаходимо за результатами другого наближення.

Розрахунок поправок ΔА і ΔL

S'₁₂	26689,80632
а	6378245
e²	0,0066934
В₂	56,3573475
A'₂₁	225,6035006
ΔB	1,62861E-06
ΔL	3,39949E-06
M₂	6379895,868
N₂	6393091,024
R	6386490,038
m	26689,72863
ΔA2	3,74558E-05
ΔS2	0,277025402
A₁₂3	45,60353805
S₁₂3	26690,08334

Визначені при розв’язку поправки ΔA² і ΔS² дозволяють знайти нові значення азимута A₁₂³ і віддалі S₁₂³ , що будуть використані для обчислення геодезичних координат і азимутів кінцевої точки у третьому наближені.

Застосуємо знову алгоритм розв’язку прямої геодезичної задачі за формулами з середніми аргументами. Приймемо, що у третьому наближенні середнє значення азимута лінії Am = A₁₂³ , а довжина цієї лінії - S₁₂³. Тоді, залишивши без зміни значення приростів широти b і довготи l , що і першому наближенні, і з тим же значенням середньої широти Вm, проводимо обчислення геодезичних координат другої точки лінії у третьому наближенні. Отримуємо:

Третє наближення

Результати розв’язку прямої геодезичної задачі у третьому наближенні свідчать про те, що кінцеві значення геодезичних координат отримані з належною точністю ( розходження у значеннях геодезичних широт складають -9,9 10^-8" , а за геодезичними довготами - 2,7 10^-5" . Тому можна вважати, що прийняте для розв’язку значення віддалі S₁₂ = S₁₂³ = 26690.083м є кінцевим значенням відстані між точками Q₁ і Q₂ на поверхні еліпсоїда, а розраховані кінцеві значення прямого і оберненого азимутів є такими:

А₁₂ = А°₁₂ = 45°28'31,906",

А₂₁ = А°₂₁ = 225°43'53,568".

Тема 1.4.6. Розв’язок прямої геодезичної задачі в просторових системах координат

Мета роботи: Засвоїти спосіб розв’язку прямої геодезичної задачі у просторі із застосуванням формул і алгоритму розв’язку в просторових системах координат.

Завдання: Шляхом реалізації алгоритму розв’язку поставленої задачі отримати значення координат наступної точки простору.

Основні теоретичні положення

Використання для побудови геодезичних мереж на земній поверхні супутникових методів сприяло широкому використанню у геодезичній практиці просторових систем координат. Найбільше поширення отримали дві просторові системи координат: система просторових геоцентричних прямокутних координат X,Y,Z і система просторових геодезичних координат B,L,H , де Н – геодезична висота точки спостереження ( див. тему 1). Функціональний зв’язок між зазначеними координатами встановлюється рівняннями:

,

(1.72)

В (1.72) N – радіус кривини першого вертикала, що визначається формулою (1.11) за параметрами прийнятого референц-еліпсоїда.

Окрім зазначених вище систем координат, при розв’язку геодезичних задач між точками у просторі, використовують ще і системи топоцентричних координат, які можуть бути просторові прямокутні і просторові полярні. В цих системах початок координат розміщується у деякій точці простору Q( як правило - точці спостереження).

Рис.12 Система геоцентричних і топоцентричних координат

За основну координатну площину в топоцентричній просторові прямокутній системі координат приймають площину геодезичного горизонту в точці спостереження, в якій і розміщується координатна площина хQу. Вісь х в цій системі розміщують у площині геодезичного меридіана точки спостереження і її додатній напрямок завжди направлений на північ. Вісь z в цій системі є зовнішнім продовженням нормалі в точці Q, а вісь у – доповнює декартову систему координат до лівої. Просторова полярна система топоцентричних координат задається в точці спостереження Q геодезичною зенітною відстанню Z₀, геодезичним азимутом А, і відстанню D до наступної точки простору.

Прямою геодезичною задачею в просторовій системі координат називають методику визначення координат наступної точки простору ( геодезичних B,L,H або декартових X,Y,Z ) за відомими координатами вихідної точки ( геодезичних B,L,H або декартових X,Y,Z ), і відомим значенням просторових полярних координат Z₀,A,D з вихідної точки на точку, координати якої визначаються.

Розглянемо теорію розв’язку прямої геодезичної задачі за алгоритмом, описаним в роботі [c]. Приймаємо, що вихідна точка на поверхні еліпсоїда задана геодезичними координатами B,L,H і, окрім цього, вихідними є значення просторових полярних координат Z₀,A,D з вихідної точки на точку, координати якої визначаються. Тоді розв’язок задачі базується на послідовному виконанні таких дій.

1. За вихідними геодезичними координатами B,L,H вихідної точки обчислюють просторові геоцентричні координати X,Y,Z , використовуючи формулами (1.72).

2. Розраховують топоцентричні координати пошукуваної точки за значеннями просторових полярних координат Z₀,A,D. Формули для цих обчислень мають вид:

. (1.73)

3. На наступному кроці розв’язку задачі встановлюється функціональний зв’язок між топоцентрчними координатами точки і її геоцентричними координатами. Цей зв’язок встановлюється такою залежністю:

= P (1.74)

В (1.74) Р – матриця повороту, елементи якої визначаються за геодезичними координатами вихідної точки. Знаходимо:

Р = (1.75)

Визначені за (1.74) координати і є кінцевими геоцентричними координатами, що визначаються при розв’язку прямої геодезичної задачі. Якщо кінцевою метою є визначення геодезичних координат, то подальші обчислення виконують за алгоритмом, описаним в темі 1, де розглянута методика визначення геодезичних координат за відомими геоцентричними координатами.

Виконання роботи

Вихідні дані:

Вихідними даними для розв’язку прямої геодезичної задачі в просторовій системі координат є: геодезичні координати початкової точки Q₁ – геодезична широта B₁, геодезична довгота L₁ і геодезична висота Н₁ ( таблиця 1.5), а також просторові полярні координати Z₀,A,D, що визначать просторовий напрямок з вихідної точки на точку Q₂, координати якої необхідно визначити.

Таблиця 1.5 – Вихідні дані

Геодезичні координати вихідної точки
	Числове значення	Формули переходу
B1	49°50'08,024"	+n'+5n"
L1	24°00'52,148"	+2n'+15n"
H1	1254,000 м	+10n м
Просторові полярні координати
	Числове значення	Формули переходу
Z0	92°11'34,726"	+n'+5n"
A	154°27'41,328"	+2n'+15n"
D	29354,657м	+10n м

Завдання: Розрахувати значення просторових геоцентричних координат точки Q_2.

Алгоритм розв’язку завдання

Розв’язок завдання виконаємо за наступним алгоритмом.

Розрахунок координат точок

За параметрами еліпсоїда Красовського розраховуємо радіус кривини першого вертикала і, використовуючи формули (1.72), на основі геодезичних координат вихідної точки, визначаємо її просторові геоцентричні координати, а також за формулами (1.73) топоцентричні координати точки Q₂ відносно координат точки Q₁.

За формулою (1.75) розраховуємо складові матриці повороту Р. Отримуємо:

	-0,69805	-0,40697	0,58916
Р =	-0,31100	0,91344	0,26249
	0,64498	0	0,764197

У відповідності з формулою (1.74), для отримання геоцентричних координат точки, необхідно перемножити матрицю повороту Р на матрицю топоцентричних координат точки Q₂ і результат додати до матриці геоцентричних координат точки Q₁. Знаходимо ( в метрах):

X_Q2 =

3778549,385,

Y_Q2 =

1697307,747,

Z_Q2 =

4834126,909.