Тема 3.4.1. Редукція відстаней з поверхні еліпсоїда на площину в проекції Гаусса-Крюгера

Нехай точки А і В на площині в проекції Гаусса-Крюгера є вершинами геодезичної мережі ( рис.20). Геодезична лінія, що їх з’єднує є кривою, довжиною S.

Рис.20. Редукція виміряної віддалі і напрямку

Кут δ, що утворює на площині в проекції Гаусса-Крюгера хорда з геодезичною лінією S називається поправкою в напрямок за кривину зображення геодезичної лінії і є величиною малою. Тому зв'язок між довжиною геодезичної лінії S і довжиною хорди d встановлюється рівнянням

(3.16)

де т – масштаб зображення.

Отримати за рівнянням (3.16) формулу в замкнутому вигляді для визначення довжини хорди d складно, оскільки масштаб т, що входить в підінтегральний вираз є складною функцією довжини геодезичної лінії. Тому при інтегруванні враховують, що зона в проекції Гаусса-Крюгера має ограничені розміри, і довжини сторін в геодезичних мережах, як правило, не перевищують 30 км. Ці фактори дозволяють використати для інтегрування (3.16) спрощені методи, одним з яких є метод чисельного інтегрування з використанням формули Сімпсона. Якщо довжину сторони поділити на дві рівних частини, тоді інтеграл в (3.16) запишеться так:

(3.17)

Формула (3.17) свідчить про те, що функціональний зв'язок між S і d встановлюється за значеннями масштабів зображення тільки у трьох точках лінії: початковій, середній і кінцевій. Запишемо ці формули:

(3.18)

де R – середній радіус кривини еліпсоїда у відповідній точці лінії.

Якщо формули (3.18) підставити у (3.17) і зробити в них заміни, прийнявши

і ,

,

а

то після перетворень і спрощень, отримують:

(3.19)

При редукуванні сторін довжиною до 20км останньою складовою у формулі (3.19) можна знехтувати.

Виконання роботи

Для засвоєння методики редукування довжини геодезичної лінії на площину в проекції Гаусса-Крюгера розв’яжемо приклад за наступними даними.

Вихідні дані:

1. Геодезичні координати точки на поверхні еліпсоїда.

Таблиця 3.7

Геодезичні координати точки
	Числове значення	Формули переходу
B1	49°50'08,024"	+n'+5n"
L1	24°00'52,148"	+2n'+15n"
B2	49°35'50,916"	+n'+5n"
L2	24°11'21,862"	+2n'+15n"

2. Довжина геодезичної лінії на поверхні еліпсоїда S = 26690,090м +10n м

Завдання: Обчислити значення редукованої віддалі на площині в проекції Гаусса-Крюгера.