3.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль является, с одной стороны, производителем своей продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связей между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. В трудах известного американского экономиста В.В. Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 г.г. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения

Будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев таким периодом является год.

Введем следующие обозначения:

- общий объем продукции - отрасли (ее валовой выпуск);

- объем продукции - отрасли, потребляемый - отраслью при производстве объема продукции ;

- объем продукции - отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления, к которому относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов, экспорт и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск - отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности) балансовые соотношения имеют вид:

(11)

Уравнения (11) называются соотношениями баланса.

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостной баланс.

Линейная модель стоимостной экономики

В.В. Леонтьев на основе анализа экономики США в период перед Второй мировой войной установил важный факт: в течение длительного времени величины меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление объясняется тем, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления -отраслью продукции -й отрасли при производстве продукции объема есть технологическая константа (например, потребление энергоресурсов на единицу выпускаемой продукции сырья).

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -й отрасли объема нужно использовать продукцию -й отрасли объема , где - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. Числа называются коэффициентами прямых затрат.

Согласно гипотезе линейности имеем:

(12)

Тогда уравнения (11) можно переписать в виде системы уравнений:

(13)

Введем в рассмотрение вектор-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат (или технологическую матрицу):

, , (14)

Тогда система уравнений (13) в матричной форме имеет вид:

(15)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описание матричного представления (14) это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух случаях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления .

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (15) с известной матрицей и заданным вектором . В дальнейшем мы будем иметь дело именно с такой задачей.

Между тем система (15) имеет ряд особенностей, вытекающих из прикладного характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов и должны быть неотрицательны.