4.3.2. Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов . Максимально независимой подсистемой векторов (18) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:

1. Векторы этого набора линейно независимы.

2. Любой вектор системы (18) линейно выражается через векторы этого набора.

Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Максимально независимая подсистема системы векторов (18) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами.

Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Если ранг системы векторов меньше числа ее векторов, то она может иметь несколько базисов.

Всякая система векторов пространства , содержащая более векторов, линейно зависима.

Понятие базиса распространяется и на пространство , которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность -мерных векторов.

Определение. Система векторов называется базисом пространства , если:

1. Векторы этой системы линейно независимы.

2. Всякий вектор из линейно выражается через векторы данной системы.

Теорема. Линейно независимая система векторов в пространстве является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно .

4.4. Разложение вектора по базису

4.4.1. Представление вектора в произвольном базисе.

Пусть система векторов является базисом, а вектор - их линейная комбинация. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов двумя способами:

и

где наборы чисел и , среди которых обязательно есть ненулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого имеем

.

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы , в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения и ) равна нулю, т.е. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

В произвольном базисе пространства

(21)

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам

, (22)

причем это разложение является единственным для данного базиса. В наборе коэффициентов разложения

(23)

числа называются координатами вектора в базисе (21), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора в данном базисе.

Для нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (21) необходимо приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора .

Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме:

,

,

,

.

Выполнение описанной процедуры приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных координат разложения вектора в базисе (21):