4. Система линейных уравнений с неизвестными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк, поэтому если строки расширенной матрицы, т.е. уравнения системы (3) линейно независимы, то ранг расширенной матрицы равен числу ее уравнений, т.е. . Если уравнения линейно зависимы, то .

Вопрос о разрешимости системы уравнений (3) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера-Капелли (Кронекер Леопольд (1823 – 1891) – немецкий математик, Капели Альфредо (1855 – 1910) – итальянский математик).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть , переменных называют основными, или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные ёёпеременных называются неосновными, или свободными.

Решение системы (3), в котором все неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Так как каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний, то и базисных решений имеется не более

Таким образом, совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее , где .

Метод Гаусса по сравнению с другими методами имеет следующие достоинства:

• значительно менее трудоемкий;

• позволяет однозначно установить совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

• дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Пример 1. С помощью метода Гаусса решить систему

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы (для удобства вычислений берем в качестве первой строки коэффициенты второго уравнения, у которого коэффициент при равен единице):

,

Один из миноров матрицы системы, например, , следовательно, ранг матрицы системы равен порядку ненулевого минора и равен двум, т.е. .

Рассмотренный минор является базисным минором, составленным из коэффициентов при переменных и , следовательно, за основные переменные берем и . Оставляем в левой части переменные и , остальные неосновные переменные переносим в правые части уравнений. В результате получаем систему:

откуда

Задавая неосновным переменным произвольные значения находим бесконечное множество решений системы, т.е. общее решение системы:

В качестве основных переменных можно было взять другие их группы с отличным от нуля базисным минором. Для каждой такой группы получится «свое» общее решение, но все общие решения равносильны в том смысле, что они определяют равные бесконечные множества частных решений, получаемых из общего при фиксированных значениях неосновных переменных.

Пример 2. Найти все базисные решения системы, приведенной в примере 1.

Решение. Ранг матрицы системы , следовательно одно из уравнений системы, например третье, можно отбросить.

Общее число групп основных переменных не более чем , поэтому возможны следующие группы основных переменных ; ; ; ; ; .

Выясним, могут ли переменные быть основными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих переменных , то могут быть основными переменными. Рассуждая аналогично, находим, что из всех возможных групп основных переменных только переменные не могут быть основными, т.к.

Найдем базисное решение, взяв в качестве основных переменных , а неосновных - . Приравняв неосновные переменные нулю, т.е. , получим систему уравнений в виде:

откуда , т.е. первое базисное решение будет .

Если взять за основные переменные и приравнять нулю соответствующие неосновные переменные , т.е. , то получим второе базисное решение . Аналогично находятся и остальные базисные решения , и .

Замечание. Все базисные переменные системы можно было найти из общего решения, полученного в примере 1, приравнивая соответствующие переменные нулю. Например, при получаем базисное решение , а при или при получаем базисное решение .