4.5.5. Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров.

Будем полагать, что бюджеты стран, которые мы обозначим соответственно , расходуются на покупку товаров. Будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть - доля бюджета , которую -ая страна тратит на закупку товаров у -ой страны. Введем матрицу коэффициентов

(57)

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), то справедливо условие

(58)

Матрица (57) со свойством (58), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли.

Для -ой страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

.

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. или

, (59)

Если считать, что , , то получаем систему неравенств

(60)

Покажем, что в условиях (59) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все неравенства системы (60). Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

Учитывая (58), выражения в скобках равны единице, следовательно, мы приходим к противоречивому неравенству

,

откуда очевиден только знак равенства.

Таким образом, неравенства (60) принимают знак равенства

(61)

С экономической точке зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.

Введя вектор бюджетов (каждая компонента этого вектора характеризует бюджет соответствующей страны). Тогда систему уравнений (61) можно записать в матричной форме

, (62)

Уравнение (62) означает, что собственный вектор структурной матрицы , отвечающий ее собственному значению , состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (62) в виде, позволяющим определять и решать соответствующие задачи

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

(усл. ден. ед.)

Решение. Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению заданной структурной матрицы , т.е. решив уравнение , которое в нашем случае имеет вид

Найдем ранг этой системы, для этого преобразуем матрицу к ступенчатому виду:

Поскольку ранг этой системы равен трем, то имеем три основных переменных и одну свободную - . Выразим основные переменные через свободную :

Из последнего уравнения системы находим , далее найденное значение подставляет во второе уравнение системы:

, , ,

Из первого уравнения системы, учитывая найденные значения и , найдем значение :

,

Итак, , , . Пусть , тогда , , .

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину :

, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):

, , , .