Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
С каждой точкой
комплексной плоскости связан радиус-вектор
,
длина которого называется модулем
комплексного числа
и обозначается
,
где
.
Угол ,
образованный радиусом-вектором
с осью
,
называется аргументом
комплексного числа
и обозначается
.
Из рисунка 1
очевидно, что
,
.
Следовательно, комплексное число
можно представить в виде
(92)
Представление
комплексного числа в виде (92), где
,
называется тригонометрической
формой комплексного числа.
Свойства арифметических операций над комплексными числами
П
ри
сложении (вычитании) комплексных чисел
их радиусы-векторы складываются
(вычитаются) по правилу параллелограмма.
Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент – сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.,
если
,
то
,
и
,
(93)
если
,
то
,
и
(94)
Геометрически
умножение числа
на число
означает изменение длины радиуса-вектора
(или
)
в
(или
)
раз и его поворот вокруг точки О против
часовой стрелки на угол
(или
).
Так как в соответствии с формулами (93) и (94) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, то формула Муавра - возведения комплексного числа в натуральную степень , имеет вид:
(95)
Пример.
Комплексные числа
и
представить в тригонометрической форме
и найти
и
.
Решение.
Запишем тригонометрическую форму комплексного числа , используя формулу (92):
,
т.к.
,
то
,
т.к.
,
то
,
тогда
,
т.е.
Выполним аналогичные действия для комплексного числа :
,
т.к.
,
то
,
т.к.
,
то
,
тогда
,
т.е.
.Применяя формулы (93) и (94), получаем:
.
Пример.
Найти
.
Решение.
В примере, решенном
ранее, была получена тригонометрическая
форма для комплексного числа
.
Поэтому по формуле Муавра находим:
.
Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Пусть
Тогда, используя определение корня и формулу Муавра, получаем
или
Откуда следует, что
и
Итак,
,
,
т.е.
,
(96)
где
.
При
значения корня будут повторяться. Таким
образом, корень
-й
степени из комплексного числа (не равного
нулю) имеет
различных значений.
Пример.
Найти
.
Решение.
В примере, решенном ранее, была получена тригонометрическая форма для комплексного числа . Поэтому по формуле (96) имеем:
.
откуда получаем три значения корня
На комплексной
плоскости найденные значения корня
представляют равноотстоящие друг от
друга точки
,
расположенные на окружности радиуса
.
Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера:
(97)
тогда показательная форма комплексного числа имеет вид:
(98)
Пример. Комплексные числа и представить в показательной форме.
Решение.
Ранее было получено
,
Следовательно, по формуле (98) получим:
,
.